2022年选修不等式选讲第二节证明不等式的基本方法.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 其次节 证明不等式的基本方法1比较法1作差比较法 理论依据： ab. ab0；ab. ab0. 证明步骤：作差变形判定符号得出结论2作商比较法 理论依据： b0,a b1. ab；a b0,b1. ab. 证明步骤：作商变形判定与 2综合法1 的大小关系得出结论1定义：从已知条件动身,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论 证而得出命题成立,这种证明方法叫做综合法综合法又叫顺推证法或由因导果法2思路：综合法的思索路线是“ 由因导果” ,也就是从一个组已知的不等式动身,不断地用必要条件代替前面的不等式,直至推导出要求证明的不等式3利用综合法证明不等式时,应留意对已证不等式的使用,常用的不等式有： 1a2 0；2|a|0； 3a 2b22ab,它的变形形式又有ab 24ab,a 2b 22ab 2 2 等；4a b2ab,它的变形形式又有a1 a2a0,b a a b2ab 0, b aa b 2ab0等3分析法名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1定义：从要证的结论动身,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实定义、公理或已证明的定理、性质等 ,从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法2思路：分析法的思索路线是“ 执果索因” ,即从要证的不等式动身,不断地用充分 条件来代替前面的不等式,直至找到已知不等式为止3用分析法证“ 如 A 就 B” 这个命题的模式是：为了证明命题 B 为真,只需证明命题 B1 为真,从而有 只需证明命题 B2 为真,从而有. 只需证明命题A 为真,而已知A 为真,故 B 必真4反证法 先假设要证的命题不成立,以此为动身点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件或已证明的定理、性质、明显成立的事实等矛盾的结论,以说明假设错误,从而证明原命题成立,我们把它称为反证法反证法主要适用于以下两种情形：1要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰；2假如从正面证明,需要分成多种情形进行分类争论,而从反面进行证明,只争论一 种或很少的几种情形5放缩法证明不等式时, 通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,明的目的,我们把这种方法称为放缩法简化不等式, 从而达到证1已知 0 a1a2,0 b1b2,且 a1a2b1 b2, a1 b1,就关于三个数：a1b1a2b2；a1b2a2b1；a1a2b1b2的大小关系说法： a1b1a2b2 最大； a1b2a2b1 最小； a1a2b1b2最小； a1b2a2b1与 a1a2 b1b2 大小不能确定,其中正确选项 _解析： a1b1a2b2 a1b2a2b1 a1a2b1b2 0,a1b1a2b2a1b2a2b1. a1b2 a2b1a1a2 b1b2a1b1b2a2 名师归纳总结 a1b120,第 2 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a1b2a2b1a1a2b1b2,故正确答案： 2设 P2,Q73,R62,就 P、Q、R 的大小次序是 _解析： 222 26, 262,即 PR；又 6372, 6273,即 RQ；故有 PRQ. 答案： PRQ3如 x,y,z 是正数,且满意xyzxyz1,就 xyyz的最小值是 _解析： xyyzxyxzy 2yzyxyzxz2 xyz xyz 2. 答案： 2 4如不等式x1 x|a5|1 对一切非零实数x 均成立,就实数a 的取值范畴是_解析：x1 x|x| 1 x2|x| ·1 |x|2,故应有 2 |a5|1,即|a5|1,因此 4a6. 答案： 4a 6 × 35已知 a bcd,就1 ab1 b c1 cd ad的最小值为 _1×bc1解析： 原式11bc1 cd a b b c c d331×ababcd3ab bc cd 9. 答案： 9 热点考向一 比较法名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例1 求证： 1当 xR 时, 12x 42x 3 x 2；2当 a,bR时, a ab b ab . 【证明】1法一： 12x42x 3x2 2x 3x1x1x1 x12x 3x1 x12x 32xx1 x12xx 21x1 x122x22x1 ,x122 x1 2 21 2 0,12x42x 3x 2. 法二： 12x 42x3x2 x 42x3x2x42x21 x12· x 2 x 2120 12x 42x3x2. 2aab baabba bab2当 ab 时, a b1. 当 ab0 时,a b1,ab 2 0,a bab1. 2当 ba0 时,名师归纳总结 0a b1,a b ab20,a b 21. 商变形判定结论,而变形第 4 页,共 14 页aabbab. 【点评】用比较法证明不等式的一般步骤是：作差- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 的方法一般有配方法、通分和因式分解12022 年江苏卷 设 a,b 是非负实数,求证a 3b3aba2b2名师归纳总结 证明： a3b3aba 2b 2 分析法第 5 页,共 14 页a3a2 abb3b 2ab a 2 aabb2 bab ab · a5b5当 ab 时,ab且a 5b 5,当 ab 时,ab且a 5b 5,a3b3aba 2b 20,a3b3aba2b 2. 热点考向二分析法执果索因寻求结论成立的充分条件例2已知 a0,求证：a2 1 2a2a1 a2. 【证明】要证原不等式成立,只需证a2 1 a 22a1 a2,即证 a21 a 24a 21a 24 a1 a222a1 a 2,只需证2·a21 a 2 a1 a,即证 2a2 1 a 2a 2 1 a 22,只需证 a21 a 2 2. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由基本不等式知 a 2 1a 22,上式明显成立原不等式成立【点评】分析法又叫逆推证法或执果索因法是从要证明的不等式动身,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最终把要证明的不等式归结为判定一个明显成立的不等式为止2已知 a b0,求证：a b2ab2abab 8b2. 8a证明： 欲证ab2ab2aba b2,8a8b只需证ab 8a2ab2ab2. 28bab0,名师归纳总结 a b只需证2 2aabab,第 6 页,共 14 页222b即ab1ab. 2a2 b欲证ab1,只需证ab2a,2 a即ba.该式明显成立欲证 1ab,只需证 2bab,2b即ba.该式明显成立ab1ab成立,且以上各步都可逆2a2 bab8a2a b 2abab2成立 . 8b热点考向三综合法综合法 - 由因导果-由已知条件利用定理公式直接推出结论- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例3 已知 a0,b0,2cab,求证： cc 2abacc 2ab. 【证明】由于 a b2c,所以 a2c b. 又由于 a0,所以 a 22ac ab,所以 ac 2c 2ab,所以 |ac|c 2ab,所以c 2ab acc 2ab,所以 cc 2abacc 2ab. 【点评】综合法往往是分析法的逆过程,表述简洁,条理清晰所以在实际证题时,要常把分析法和综合法结合起来使用3已知 a、 b0 ,且 ab1,求证：11 a 1 b 1 ab8；2a 2b 21 2；abab,2证明： 由ab1,a、b0, ,名师归纳总结 得ab1 2. ab1 4.1 ab4. 第 7 页,共 14 页1a1 b 1 abab1 a1 b1 ab2 ab·21 ab44 48,1 a1 b 1 ab8. 2a 2 b 2ab22ab12ab- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 12×1 41 2,a 2b 21 2. 不等式证明的其它方法 热点考向四例4 已知 a2,求证： logaa1loga 1a. 【证明】a2,a11. log aa10,loga1a0. log a a1log a 1 alogaa1 ·log aa1log a a1 loga a1 22,loga a1 log a a 1 22log a a212 2logaa 2 21,2log aa1log a1a. 名师归纳总结 【点评】1此题所用的证明方法叫放缩法在不等式的证明中,“ 放” 和“ 缩”是第 8 页,共 14 页常用的推证技巧“ 放” 和“ 缩 ”的方向与 “放” 和“ 缩”的量的大小是由题目分析得出的常见的放缩变换有变换分式的分子和分母,如：1 2k1,1 2k1,1 kk k1k k1k2,1k 1 kk2kN*,k1利用函数的单调性,真分数性质 “如 0a b,k1m0,就a bam” ,添加或削减项,利用有界性等bm2在放缩法证明不等式时,“ 放” 和“ 缩”均有一个度- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4设 m 是|a|,|b|和 1 中最大的一个,当证明： 由已知 m|a|,m|b|,m1. 又|x|m,|x| |a|,|x|b|,|x|1,|a x b 2|a x| |b 2| |a| |x| |b| 2|x| |x| 211 |x| 1|x| |x|2. |a x b 2|2 成立一、填空题|x|m 时,求证： |a x b 2|2. 1已知 Ma 2b 2,Nabab1,就 M、N 的大小关系为 _解析： a 2b 2abab1 a 2b 2abab1 1 22a 22b 22ab2a2b 2 1 2a 22abb 2 a 22a1b 22b1 1 2ab 2a1 2b1 20,a 2b 2abab1,M N. 答案： M N名师归纳总结 2如 a,bR,且 a b,M a bb a,Nab,就 M 与 N 的大小关系是 _第 9 页,共 14 页解析： a b,abb2 a,b aa2 b. a bbb aa2a 2 b,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a bbaba. MN. 答案： M N3设两个不相等的正数a、 b 满意 a3b3a2b2,就 ab 的取值范畴是 _解析： a 3b 3a 2b2a b,a2abb 2ab,ab 2abab,ab ab2ab,又0aba b 2 2,ab0ab 2 ab 2 2,解之得 1ab4 3. 答案：1,434如 logx y 2,就 xy 的最小值是 _ 名师归纳总结 解析： logxy 2,y1 x 2,第 10 页,共 14 页xy x1 x 22x 2 1 233 1 4 33 2. 答案：3 23 2 5设不等式xyaxy对一切 x0,y0 恒成立,求实数 a 的最小值为 _解析： 原题即 axy对一切 x0,y0 恒成立xy设 Axy,xyA 2xy2xy12 xy2,xyxy- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当 xy 时等号成立, A0,0A2.即 A 有最大值 2. 当a2时,xya x y对一切 x0,y0 成立a 的最小值为 2. 答案：2 6有以下四个不等式：x1x3x2 2；abb 2a 2； 10；a2b22|ab|. |a|1其中恒成立的为 _ 写出序号即可 解析： x1x3x2 2 10,x1x3x2 2,错2a 2abb 2 ab2 23b 40,ab b 2a 2,错明显成立由均值不等式,|a|2|b| 22|ab|,即 a2 b 22|ab|成立答案： 7如 a1 b0,就以下四个结论2|a|b|； abab；b aa b2； a b 2ab. 其中正确选项 _解析： 1 a1 b0,ba0,b a0,|b|a|,故错误ba0,明显正确名师归纳总结 又b a0,a b 0,且 b a a b,正确第 11 页,共 14 页2 2又a b 2aba b2ab- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a 22abb 2ab20,bb2a b2ab,正确答案： 8设 a0,b0,Mab ab2,Na a2b b2,就 M 与 N 的大小关系是 _解析： a0,b0,Naa2babb2ab2ab 2abM. ab2MN. 答案： M N9设 x,y,zR,如 x2y2z 24,就 x2y2z 的最小值为 _时, x,y,z_. 解析： x 2y2z 2x 2y 2z 21 22 22 24× 936,x2y 2z 最小值为6,此时x 1 y2z 2. 又x 2y 2z 24,x2 3,y4 3,z 4 3. 答案： 62 3,4 3, 4二、解答题10求证：1 1 21 2 2 1 n 2<2nR*11 n 证明： 1 k 2<1k 1 11 k,k k111 21 2 2 1 n2<1 11 21 21 3 n1111 n 21 n<2. 112022 年辽宁 已知函数 fx|x2|x5|. 1证明： 3fx3；名师归纳总结 2求不等式fx x 2 8x15 的解集第 12 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3,x2,解析： 1证明： fx |x2|x5|2x7,2<x<5,3,x 5.当 2<x<5 时, 3<2x7<3,所以 3fx3. 2由1可知,当 x2 时, fx x 2 8x15 的解集为空集；当 2<x<5 时, fxx28x 15 的解集为 x|53x<5 ；当 x5 时, fx x 2 8x15 的解集为 x|5x 6 综上,不等式 fxx 2 8x15 的解集为 x|53x6 12已知 a,b,c 均为正数,证明：a 2b 2c 21 a1 b1 2 6 3,并确定 a,b,c 为何值时,等号成立证明： 法一： 由于 a,b,c 均为正数,由均值不等式得a 2b 2c 23abc2 3,1113abc1,a b c 3所以1 a1 b1 29abc2 3.故 a 2b 2c 21 a1 b1 23abc2 39abc 2 3. 又 3abc2 39abc2 3 2 276 3,所以原不等式成立当且仅当abc 时,和式等号成立当且仅当3abc2 39abc2 3时,式等号成立即当且仅当 abc31 4时,原式等号成立法二： 由于 a,b,c 均为正数,由基本不等式得a 2b 22ab,b 2c 22bc,名师归纳总结 c 2 a 22ac. 第 13 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以 a2b2c2abbcac同理1a 2b 12c 12ab 1 bc 1 ac故 a 2b 2c 2a1 b1 2abbcac 3 1 bc3 1 ab3 1 ac6 3.所以原不等式成立当且仅当 abc 时,式和式等号成立,当且仅当 abc,ab2bc2ac23时,式等号成立名师归纳总结 即当且仅当abc31 4时,原式等号成立第 14 页,共 14 页- - - - - - -