2022年圆锥曲线椭圆双曲线抛物线知识点总结例题习题精讲.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 椭圆一、椭圆的定义1 、 椭 圆 的 第 一 定 义 ： 平 面 内 一 个 动 点 P 到 两 个 定 点 F 1、F 2 的 距 离 之 和 等 于 常 数 PF 1 PF 2 2 a F 1 F 2 ,这个动点 P 的轨迹叫椭圆；这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距；留意：如PF 1PF2F1F2,就动点 P 的轨迹为线段F 1F 2；如PF1PF2F 1F2,就动点 P 的轨迹无图形；二、椭圆的方程1、椭圆的标准方程（端点为a、b,焦点为 c）1ab0,其中c2a2b2；（1）当焦点在 x 轴上时,椭圆的标准方程：x2y222ab（2）当焦点在 y 轴上时,椭圆的标准方程：y2x2221ab0 ,其中c2a2b2；ab2、两种标准方程可用一般形式表示：x2y21或者mx2+ny2=1 mn三、椭圆的性质（以x2y21ab0为例 ）a2b21、对称性 ：对于椭圆标准方程x2y21ab0：是以x轴、 y 轴为对称轴的轴对称图形；并且是以原点为对a2b2称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心；2、范畴 ：名师归纳总结 椭圆上全部的点都位于直线xa和yb所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满意xa,第 1 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - yb；3、顶点：椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点；椭圆x2y21ab0与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为A 1a ,0 ,a2b2A 2a ,0 ,B 1 0 ,b ,B 2 0 ,b ； a 和 b 分别叫做椭圆线段A 1A 2,B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴,A 1A 22 a,B 1B 22 b的长半轴长和短半轴长；4、离心率： 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用ce表示,记作e2 cc；2 aa 由于ac0,所以 e的取值范畴是0e1 ；e越接近 1,就 c 就越接近 a ,从而ba22越小,因此椭圆越扁；反之, e越接近于 0, c就越接近 0,从而 b 越接近于 a ,这时椭圆就越接近于圆；当且仅当ab时,c0,这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为x2y2a； 离心率的大小只与椭圆本身的外形有关,与其所处的位置无关；留意：椭圆x2y21的图像中线段的几何特点（如下图）：PM1PM22 a2a2b2PF1PF2ePF1PF22 aPM1PM2c5、椭圆的其次定义：平面内与一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离的比为常数（|PF |e）；de,（0 e1）的点的轨迹为椭圆名师归纳总结 即：到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形,也即上图中有PF1PF2e；PM1PM2第 2 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 焦点在 x 轴上：x2y21（ab0）准线方程：xa2a2b2c焦点在 y 轴上：y2x21（ ab0）准线方程：ya2a2b2c6、椭圆的内外部需要更多的高考数学复习资料,请在淘.宝 .上.搜.索.宝.贝. “ 高考复习资料高中数学学问点总结例题精讲 具体解答 ”或者搜 .店.铺.“ 龙奇迹【学习资料网】”（1）点P x 0,y 0在椭圆x2y21 ab0的内部2 x 0y21022a22abb（2）点P x 0,y 0在椭圆x2y21 ab0的外部2 x 0y21022a2b2ab四、椭圆的两个标准方程的区分和联系标准方程x2y21ab0y2x21ab0 a2b2a2b2图形焦点F 1c , 0 ,F2c 0, F 1,0c ,F 2,0c 名师归纳总结 性质焦距PF 1F 1F 22 cF 1F 22 caey 0第 3 页,共 23 页范畴xa,ybxb,y对称性关于 x 轴、 y 轴和原点对称 a , 0 , b , 0 顶点,0b ,0a ,轴长长轴长 = a,短轴长 = bec0e1离心率aa2xa准线方程a2ycc焦半径aex 0,PF 2aex 0PF 1aey 0,PF 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 五、其他结论需要更多的高考数学复习资料,请在淘 .宝 .上.搜.索.宝.贝. “ 高考复习资料 高中数学 学问点总结 例题精讲 具体解答 ”或者搜 .店.铺.“ 龙奇迹【学习资料网】”2 21、如 P x 0 , y 0 在椭圆a x2b y2 1 上,就过 0P 的椭圆的切线方程是 x xa 2 y yb 2 12 22、如 P x 0 0 , y 0 在椭圆 x2 y2 1 外 ,就过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,就切点弦 P1P2 的直线a b方程是 x x2 y y2 1a b2 23、椭圆 x2 y2 1 a b0的左右焦点分别为 F1,F2,点 P 为椭圆上任意一点 F PF 1 2,就椭圆a b的焦点角形的面积为 S F PF 1 2 b 2 tan22 24 、 椭 圆 x2 y2 1（ a b 0 ） 的 焦 半 径 公 式 ：| MF 1 | a ex , 0 | MF 2 | a ex 0 F 1 c ,0 , a bF c 2 ,0 M x 0 , y 0 5、设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点, A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M 、N 两点,就 MF NF；6、过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A 1、A2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和 A 2Q 交于点 M ,A 2P 和 A 1Q 交于点 N,就 MF NF；名师归纳总结 7、AB是椭圆x2y2x1的不平行于对称轴的弦,Mx0y 0为 AB的中点,就k OMkABy02b2,即a2b2a2K ABb2x0；a2y02y21内,就被 Po 所平分的中点弦的方程是x xy yx02第 4 页,共 23 页在椭圆8、如P x 0,y 022aba2b2a2b229、如P x 0 0,y 0在椭圆y21内,就过 Po 的弦中点的轨迹方程是x2y2x xxy y22aba2b2a2b2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 双曲线一、双曲线的定义1 、 第 一 定 义 ： 到 两 个 定 点 F 1与 F2 的 距 离 之 差 的 绝 对 值 等 于 定 长 （ |F1F2|） 的 点 的 轨 迹（PF 1 PF 2 2 a F 1 F 2（ a 为常数）；这两个定点叫双曲线的焦点；要留意两点：（1）距离之差的肯定值；（2）2a|F 1F 2|；当|MF 1|MF 2|=2a 时,曲线仅表示焦点 F2所对应的一支；当|MF 1|MF 2|=2a 时,曲线仅表示焦点 F 1所对应的一支；当 2a=|F 1F 2|时,轨迹是始终线上以F1、F2为端点向外的两条射线；当 2a |F 1F 2|时,动点轨迹不存在；2、其次定义： 动点到肯定点 F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数 ee1时,这个动点的轨迹是双曲线；这定点叫做双曲线的焦点,定直线 l 叫做双曲线的准线；二、双曲线的标准方程（b 2c 2a 2,其中 | F 1 F |=2c）需要更多的高考数学复习资料,请在淘.宝 .上.搜.索.宝.贝. “ 高考复习资料高中数学学问点总结例题精讲 具体解答 ”或者搜 .店.铺.“ 龙奇迹【学习资料网】”三、点与双曲线的位置关系,直线与双曲线的位置关系1、点与双曲线2、直线与双曲线四、双曲线与渐近线的关系五、双曲线与切线方程名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 六、双曲线的性质七、弦长公式x x 分别为 A、B 的横坐标,k2|a|,1、如直线 ykxb 与圆锥曲线相交于两点A 、B,且就ABx 1x22y 1y22,ABk21x 1x 2k21x 1x 224x x 21如y y 分别为 A、B 的纵坐标,就 1 2AB11y 1y 211y 1y 224y y 1 2；k2k22、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A、B 两点,就弦长|AB|2b2；a3、如弦 AB 所在直线方程设为xkyb ,就 AB 1k2y 1y2；4、特殊地,焦点弦的弦长的运算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用其次定义求解八、焦半径公式九、等轴双曲线十、共轭双曲线名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 抛物线一、抛物线的概念平面内与肯定点F 和一条定直线l l 不经过点 F 距离相等的点的轨迹叫做抛物线；定点F 叫做抛物线的焦点,定直线l 叫做抛物线的准线；二、抛物线的性质三、相关定义1、通径： 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦 H1H 2称为通径；通径：|H1H 2|=2P 2、弦长公式：| AB | 1 k 2 | x 1 x 2 | 1 12 | y 1 y 2 |k23、焦点弦： 过抛物线 y 2 px p 0 焦点 F 的弦 AB ,如 A x y 1 , B x 2 , y 2 ,就21 | AF | x 0+ p , 2 x x 2 p,y y 2p 22 43 弦长 AB p x 1 x 2 , x 1 x 2 2 x 1 x 2 p,即当 x1=x2时,通径最短为 2p 4 如 AB 的倾斜角为 ,就 AB = 2 p2sin（5）AF 1+ BF 1=P 2四、点、直线与抛物线的位置关系需要具体的抛物线的资料,请在淘 .宝.上.搜.索.宝.贝. “ 高考复习资料高中数学学问点总结例题精讲 详细解答 ”名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 圆锥曲线与方程一、圆锥曲线的统肯定义平面内的动点 Px,y 到一个定点 Fc,0的距离与到不通过这个定点的一条定直线 l 的距离之比是一个常数 ee0,就动点的轨迹叫做圆锥曲线；其中定点 Fc,0称为焦点,定直线 l 称为准线,正常数 e 称为离心率；当 0e1 时,轨迹为椭圆；当 e=1 时,轨迹为抛物线；当 e 1 时,轨迹为双曲线；c特殊留意：当 e 0 时,轨迹为圆（e,当 c 0 , a b 时）；a二、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质三、曲线与方程四、坐标变换1、坐标变换：2、坐标轴的平移：3、中心或顶点在h,k 的圆锥曲线方程x3y0的双曲线方程为【例】以抛物线y283x的焦点 F 为右焦点 ,且两条渐近线是_. 名师归纳总结 - - - - - - -解：抛物线2 y83x的焦点 F 为 2,30 ,设双曲线方程为2 x2 3y,42329,双3曲线方程为x2y2193【例】双曲线x2y2=1bN的两个焦点F 1、F2,P 为双曲线上一点,|OP|5,|PF 1|,|F1F2|,|PF 2|成等比数4b2列,就 b2=_；解：设 F 1c,0）、 F2c,0、Px,y,就 |PF 1| 2+|PF 2|2=2|PO|2+|F 1O| 2252+c2,即 |PF 1| 2+|PF2| 250+2c2,又 |PF 1| 2+|PF 2| 2=|PF 1|PF2|2+2|PF1| ·|PF 2|,依双曲线定义,有|PF1|PF 2|=4,依已知条件有 |PF1| ·|PF 2|=|F 1F2|2=4c216+8c250+2c2, c 217 , 3又 c 2=4+b 217 , b 235 , b 32=1；【例】当 m 取何值时,直线l ： yxm 与椭圆9x2162 y144相切,相交,相离？解：yxxm 2y2144916代入得92 x16x2 m 144化简得25x232mx162 m1440第 8 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 32 242 2516 m1442 576 m14400当0, 即m5时,直线 l 与椭圆相切；F,M 是椭圆上的任意点,|MF |的最当0 ,即5m5时,直线与椭圆相交；当0 ,即m5或m5时,直线与椭圆相离；【例】已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,它的一个焦点为大值和最小值的几何平均数为2,椭圆上存在着以y=x 为轴的对称点M 1 和 M 2,且 |M 1M 2|=410,试求椭3圆的方程；解： |MF |max=a+c,|MF |min=a c,就 a+cac=a2 c 2=b2,b2=4,设椭圆方程为x2y21a24设过 M 1和 M 2 的直线方程为y=x+m 将代入得：4+a 2x 22a 2mx+a2m 24a2=0 设 M 1x1,y1、 M 2x2,y2,M 1M 2 的中点为 x0, y0,就 x0=1x1+x2=a2m,y0=x0+m=44 m2；,24a2a代入 y=x,得a2m44 m2,4a2a由于 a 24, m=0,由知x1+x2=0,x1x2=44a22,又 |M 1M 2|=2x1x224x1x2410a3代入 x1+x2,x1x2可解 a2=5,故所求椭圆方程为：x2y2=1；54【例】某抛物线形拱桥跨度是20 米,拱高 4 米,在建桥时每隔4 米需用一支柱支撑,求其中最长的支柱的长；解：以拱顶为原点,水平线为 x 轴,建立坐标系,名师归纳总结 如图,由题意知,|AB|=20,|OM |=4,A、B 坐标分别为 10, 4）、 10, 4）|=0.16设抛物线方程为x2=2py,将 A 点坐标代入,得100=2p×4,解得 p=12；5,于是抛物线方程为x2=25y；由题意知E 点坐标为 2, 4,E点横坐标也为2,将 2 代入得 y=0；16,从而 |EE第 9 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4=3.84；故最长支柱长应为 3.84 米；【例】已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在坐标轴上,直线 y=x+1 与椭圆交于 P 和 Q,且 OPOQ,|PQ|= 10 ,求椭圆方程；2解：设椭圆方程为 mx 2+ny 2=1m0,n0,Px1,y1,Qx2,y2 y x 1由 2 2 得m+nx 2+2nx+n1=0,=4n 24m+nn1 0,即 m+nmn0,mx ny 1由 OPOQ,所以 x1x2+y1y2=0,即 2x1x2+ x1+x2+1=0 ,2 n 1 2 n +1=0, m+n=2 m n m n又 2 4 m n mn 10 2,将 m+n=2,代入得 m· n= 3 m n 2 4由、式得 m= 1 ,n= 3 或 m= 3 ,n= 12 2 2 22故椭圆方程为 x+ 3 y 2=1 或 3 x 2+ 1 y 2=1；2 2 2 2【例】已知圆 C1 的方程为 x 2 2y 1 2 203,椭圆 C2的方程为 xa 22 b y2 21 a b 0 ,C2的离心率为 2 ,假如 C1 与 C2 相交于 A、B 两点,且线段 AB 恰为圆 C1的直径,求直线 AB 的方程和椭圆 C2 的方2程；yAC 1解：由eF22,得cO2,a22 c2F12B2.xx2y21.,bc设椭圆方程为2b2b22a2名师归纳总结 设Ax 1,y 1. Bx2,y2. 由圆心为21, .x 1x24,y1y 22.1减,y得x32 x 1x2 22 y 1b2y2 20.又2 x 1y2 1,1x2 22 y 2,10,两式相2b2b22 b2b222 bx 1x2x1x22 y 1y 2y 1y 2又x 1x24.y 1y22. 得y 1y 22.1直线AB的方程为yx2 .即第 10 页,共 23 页x 1x 2将yx3代入x2y2,1得3x12x182b2.022b2b- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 直线AB 与椭圆C2相交.24 b272.0由AB2x 1x22x 1x224x 1x220.得3224 b27220.2 的椭圆 C 相交于 A、B 两点,直线 233解得b28.故全部椭圆方程x2y21 .168【例】过点 1,0的直线 l 与中心在原点,焦点在x 轴上且离心率为y=1 x 过线段 AB 的中点,同时椭圆 2C上存在一点与右焦点关于直线l 对称,试求直线l 与椭圆 C 的方程；yF2Boy=1xF1x2A解法一：由e=c2,得a2a2b21,从而 a 2=2b2,c=b；设椭圆方程为x2+2y2=2b 2, Ax1,y1,Bx2,2a2y2在椭圆上；就 x1 2+2y1 2=2b 2,x2 2+2y2 2=2b 2,两式相减得,x1 2x2 2+2 y1 2 y2 2=0,y 1 y 2 x 1 x 2.x 1 x 2 2 y 1 y 2 设 AB 中点为 x0, y0,就 kAB=x 0,又 x0,y0在直线 y= 1 x 上, y0= 1 x0,于是x 0= 1,kAB= 1,2y 0 2 2 2y 0设 l 的方程为 y=x+1；右焦点 b,0关于 l 的对称点设为 x,y ,就 x yb 1解得 x 1y x b 1 y 1 b2 2由点 1,1b在椭圆上,得 1+21b 2=2b 2,b 2= 9 , a 2 9；16 8所求椭圆 C 的方程为 8 x 2 16y 2=1,l 的方程为 y=x+1；9 9解法二：由 e= ca 2 2, 得 a 2a 2 b 2 12,从而 a 2=2b 2,c=b；设椭圆 C 的方程为 x 2+2y 2=2b 2, l 的方程为 y=kx1,名师归纳总结 将 l 的方程代入C 的方程,得 1+2 k 2x 24k2x+2k22b 2=0,12k2；,解得 k=0,或 k=1；第 11 页,共 23 页就 x1+x2=14k22,y1+y2=kx11+kx21=kx1+x22k=2k2 k直线 l：y=1 x 过 AB 的中点 2x 12x2,y 12y2,就1k2k2122k212k2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 如 k=0,就 l 的方程为y=0,焦点 Fc,0关于直线l 的对称点就是F 点本身,不能在椭圆C 上,所以k=0名师归纳总结 - - - - - - -舍去,从而k=1,直线 l 的方程为y=x1,即 y=x+1,以下同解法一；解法三：设椭圆方程为x2y21ab01a2b2直 线 l 不 平 行 于y 轴 , 否 就AB 中 点 在x 轴 上 与 直 线y1x过AB中 点 矛 盾 ； 故 可 设 直 线2l的方程为ykx122 代入 1消y 整理得：k2a2b2x22k2a2xa2k2a2b203设A x 1,y 1Bx 2,y2,知：x 1x2k2k2a22又y 1y2kx 1x22k 代 入 上 式 得 ：2a2bkx 12 kx 21,k2kk2a2ab21,kkb21,又e22k222ka2222k2b22a22c222e21,直线l的方程为y1x,a2a此时a22b2,方程 3化为3x24x22 b20,1624 1b283 b210b3,椭圆C的方程可写成：x22y22b24 ,又c2a2b2b2,3右焦点F ,设点F关于直线l的对称点x 0,y0,就y0b102bx01,y01b,x0y01x2又点 1,b 在椭圆上,代入 4 得：12 1b 2b2,b33,43b29,a29168所以所求的椭圆方程为：x2y2199816【例】如图,已知P1OP2 的面积为27 ,P 为线段 P1P2的一个三等分点,求以直线 4OP1、 OP2 为渐近线且过点 P 的离心率为13 的双曲线方程；2第 12 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - yP2Po xP1解：以 O 为原点, P1OP2的角平分线为x 轴建立如下列图的直角坐标系；设双曲线方程为a x 22 b y2 2=1a0,b0,由 e 2=a c 22 1 ba 2 132 2,得 ba 32；两渐近线 OP1、OP2 方程分别为 y= 3 x 和 y=3 x2 2设点 P1x1,3 x1,P2x2,3 x2x10,x20,2 2就由点 P 分 P 1P 2 所成的比 = P 1 P=2,得 P 点坐标为 x 1 2 x 2 , x 1 2 x 2,PP 2 3 2又点 P 在双曲线a x 22 49 a y 22 =1 上,所以 x 19 a 22 x 2 2 x 19 a 22 x 2 2=1,即x1+2x2 2x12x2 2=9a 2,整理得 8x1x2=9a 2又 | OP 1 | x 1 2 9 x 1 2 13 x 1 |, OP | x 2 2 9 x 2 2 13 x 24 2 4 23sin P 1 OP 21 2 tantan 2 P 1P Ox1 Ox 1 29 2 12134S P 1 OP 2 1 | OP 1 | | OP 2 | sin P 1 OP 2 1 13 x 1 x 2 12 27 ,2 2 4 13 4即 x1x2= 922 2由、得 a 2=4,b 2=9；故双曲线方程为 x y =1；4 92 2【例】过椭圆 C：y2 x2 1 a b 0 上一动点 P 引圆 O：x 2 +y 2 =b 2 的两条切线 PA、PB,A、B 为切点,a b直线 AB 与 x 轴, y 轴分别交于 M 、N 两点； 1 已知 P 点坐标为 x0,y0 并且 x0y0 0,试求直线 AB 方程；2 22 如椭圆的短轴长为 8,并且| OM a| 2 | ON b| 2 16 25,求椭圆 C 的方程； 3 椭圆 C 上是否存在点 P,由 P向圆 O 所引两条切线相互垂直？如存在,恳求出存在的条件；如不存在,请说明理由；名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解： 1设 Ax1,y1,Bx2, y2 切线 PA：x 1xy 1yb2,PB：x 2xy2yb2P 点在切线 PA、PB 上,x 1x0y 1y 02 bx 2x0y2y0b2CB .直线 AB 的方程为x0xy0yb2x0y002在直线 AB 方程中,令y=0,就 Mb2,0；令 x=0,就 N0,b2 x 0y0|a2|2|b2|2a2y2 0x2 0a2252a2b22OMONbb162b=8 b=4 代入得 a 2 =25, b2 =16 椭圆 C 方程：y2x21xy025163 假设存在点Px0,y0满意 PAPB,连接 OA、OB 由|PA|=|PB|知,四边形 PAOB 为正方形, |OP|=2 |OA| 2 x 0y2 02b2又 P 点在椭圆 C 上a2x2 0b22 y 0a2b2由知x