2022年华南理工大学《高等数学》期末试题及答案二.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 高等数学（下册）测试题二一、挑选题（每道题 3 分,本大题共 15 分）（在括号中填上所选字母）1设 z x y f y,且 f u 可导,就 x zy z 为（D ）x x yA 2xy ；B 2 x y z ；C 2 x y ；D 2z 2从点 P 2, 1, 1 到一个平面引垂线,垂足为点 M 0,2,5,就这个平面的方程是（B ）A 2 x 3 y 6 z 36 0；B 2 x 3 y 6 z 36 0；C 2 x 3 y 6 z 36 0；D 2 x 3 y 6 z 36 03微分方程 1 x y 1 的通解是（D ）2A y 1 x ln |1 x | C ；By ln |1 x | C x C ；2Cy x ln |1 x | C x C ；Dy 1 x ln |1 x | C x C 4设平面曲线 L 为下半圆周 y 1 x 2,就曲线积分 x 2y 2d s等于（A ）L名师归纳总结 A ；B 2 ；）；. 第 1 页,共 7 页C 3；D 4 5累次积分2d x1x1xy4d xxx1xy（A y e dy e d1y2y2a0A e；B 2e ；C 3e；D 4e 二填空题（每道题5 分,本大题共15 分）1曲面3xyz z 3a 3在点 0,a,a 处的切平面方程是xzx；2微分方程y2y3y2 e x的待定特解形式是* yx axb e3设是球面x2y22 za2的外测,就曲面积分x y zy z x2z x y 4x2y2z32- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 三 、一条 直线在 平面：x2y0上 , 且与另 两条直线L 1 ：xyz1及L2 ：141x 4 y 1 z 2（即 L2：x 4 2 z 2）都相交, 求该直线方程 （此题 7 分）2 0 1 y 1 0 x y z 1解：先求两已知直线与平面的交点,由 x 2 y 0 , t ,1 4 1x t y 4 , t z 1 t ,5 t 0, t 0, x y 0, z 1. M 1 0,0,1由 x 2 y 0, x 4 y 1 z 2 t ,2 0 1x 4 2 , t y 1, z 2 t ,4 2 t 2 0, t 3, x 2, z 1. M 2 2,1, 1x z 1由两点式方程得该直线：y2 22 2 2四、求函数 u x y z 3 z 在点 M 0 1, 1,2 处的梯度及沿梯度方向上函数的方向导数（此题 7 分）解：gradu 2 ,2 , 2 z 3 , gradu M 0 2, 2,1沿梯度方向上函数的方向导数 gradu M 0 4 4 1 3五、做一个容积为 1 立方米的有盖圆柱形桶,问尺寸应如何,才能使用料最省？（此题 8分）解：设底圆半径为r ,高为 h ,就由题意,要求的是S2r22rh 在条件2 r h1下的最小值；S2r22r122r22,dS4r240,r31,h1234由 实rrdrr22r际问题知,底圆半径和高分别为r31,h3才能使用料最省2六 、 设 积 分 域D为x2y24 ,x0 ,y0所 围 成 , 试 计 算 二 重 积 分sin2 xy2d（此题 8 分）D名师归纳总结 解：观看得知该用极坐标,x22 y4 ,x0 ,y0第 2 页,共 7 页r24, cos0, sin0,0r2,02- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Dsinx 2y2d2d2sinr2rdr22sinr2dr2cos r221 cos4七、00020运算三重积分z v ,式中为由zzx2y2所确定的固定的圆台体（此题 8 分）12解：解：观看得知该用先二后一的方法八z v22z dz 24 z215数,求曲线积分zdzdxdyz1441Dz1、设f x 在,上有 连续的一阶导12 y f xy dyxx2 y f xy1d y,其中曲线L 是从点A 3,2 3到点B1,2的直Ly2线段（此题 8 分）解：在上半平面 y0上Qxx2 y f xy 1f xy 1xyfxy （本xy22 yPy1yf xy 1f xyxyfxy Q且连续,yyy2x114 2 dx从而在上半平面 y0上该曲线积分与路径无关,取折线A3,2C3,2B1,23L12 y f xy dxx2 y f xy1d y232 y f3 1d yyy22y232312123 3 y dy23d y11dx12f2 dx6f t dt32xf t dt22y23232y2236333321x139134y22322222 zR 2 z03九、运算曲面积分xyzd S ,其中,为上半球面：2 xy2名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 题 8 分）解：由于 x y z x , y z,故 x y z d S z Sx y z为上半球面,就 cos 0, n 2 ,2 y ,2 z / x y z , n , ,R R R2 2 2 2 2 R 2 2原式 z dxdy R x y dxdy d R r rdrR D R 0 0 RR R2R r 2r 3dr 2 1R r 2 2 1r 4R 3R 0 R 2 4 0 2十、求微分方程 tan x d y 2e cos xy 0, y | 1 的解（此题 8 分）d x x2d y cos x解：y cot x 2e ,d xcot xdx cos x cot xdx lnsin x cos x lnsin xy e 2e e dx c e 2e e dx cy 1 2e cos xsin xdx c 1 c 2e cos xsin x sin x由 y | x2 1,得 1 c 2, c 1, ysin 1x 1 2e cos x2十一、试证 f x y , x 2 xyy 4, , 0,0在点 0, 0 处不连续,但存在有一阶偏0, , 0,0导数（此题 4 分）名师归纳总结 解：沿着直线xky2, , 0,0,lim y 0x ky 20f x y , lim y 0x ky 202 xy4kk1第 4 页,共 7 页2 xy2依靠 k 而变化,从而二重极限不存在,函数在点0, 0 处不连续；而f x ,00,f0,y0,fx0,00,fy0,00十 二 、 设 二 阶 常 系 数 线 性 微 分 方 程yyyex的 一 个 特 解 为y2 ex1xex,试确定常数,并求该方程的通解 （此题 4 分）解：由解的结构定理可知,该微分方程对应齐次方程的特点根应为r 12,r 21,否就不能- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 有这样的特解；从而特点方程为r2r1r23 r20,因此3,2y 1yx1ex,y 13x2ex,c21xy 1x xe 为非齐次方程的另一个特解,ex,x2x e3x1x e2x xex23x2x故3,2 ,1,yyex通解为yc 1 e2xxe附加题：（供学习无穷级数的同学作为测试）名师归纳总结 1求无穷级数n1xn1的收敛域及在收敛域上的和函数11n1第 5 页,共 7 页n3 n解：Rlim na n1lim nn13n1n2n 323an1由于在x3时发散,在x3时条件收敛,故收敛域为 3,3看s tn11tn1,t 1,1,s01,n就ts tn1tn111t,ts tt11tdtln 1t,0从而n1xn11sx1 ln 1 xx,x 3,00,33nn 3331, 3x02求函数f x x2 ln4x 在x 01处的幂级数绽开式解：f x x11 ln 5x1x11ln 5ln 1x5x11ln 5n0n1nx51n1x1ln 5x1 ln 5n0n1nn1x1n2n0n1n11 5n 1 5- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ln 5ln 51x1n0n 521n6n11x1n25n1n2名师归纳总结 3将函数f x 0, 2x0绽开成傅立叶级数,并指明绽开式成立的范畴第 6 页,共 7 页1, 0x2解：作周期延拓,T4,l2,a 012fx dx121 dx12220a n12fxcosn xdx12cosn xdx1sinn0222202nan12fxsinn xdx12sinn xdxn1cosn11n1n222202从而fx1n11n1nsinn x,x2 , k kZ22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页
