2022年实数指数与指数函数.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第十一讲 实数指数与指数函数适用学科数学适用年级高一适用区域全国本讲时长120 分钟学问点1.指数的运算2.指数函数的概念3.指数函数的图象和性质教学目标 把握有理指数幂的定义及性质；懂得指数函数的概念、图像与性质；综合运用指数函数的图像与性质解决问题教学重点 指数函数的概念、图像与性质教学难点 综合运用指数函数的图像与性质解决问题教学过程 一、学问讲解 考点 1 根式的概念名师归纳总结 如x（1）定义：如一个数的 n 次方等于an1 ,且nN,就这个数称为a 的 n 次方根即,第 1 页,共 13 页na,就 x 称 a 的 n 次方根（n1 且nN）n当 n 为奇数时,a的n次方根记作n a ；当 n 为偶数时,负数a 没有 n 次方根,而正数a 有两个 n 次方根且互为相反数,记作aa0 . （2）性质：nana；当 n 为奇数时,nana；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当 n 为偶数时,n学习必备a|欢迎下载0 an|a aa a0 考点 2 幂的有关概念（1）规定：anaaanN；1 a01 a0,ap1pQ）apmnama0,m、nN,且nan（2）性质：arasarsa0 ,r、 sQ）,arsarsa0 ,r、 sQ）,abrarbra0 ,b0 ,rQ ）（注）上述性质对r、 sR 均适用考点 3 指数函数定义：函数yaxa0 ,且a1 叫做指数函数图象与性质：a1 0a1 图象图图像分布在一、二象限,与y 轴相交,落在x 轴的上方 . 像都过点（ 0,1）第一象限的点的纵坐标都大于0 且小特第一象限的点的纵坐标都大于1；其次征象限的点的纵坐标都大于0 且小于 1. 于 1；其次象限的点的纵坐标都大于1. 从左向右图像逐步上升. 从左向右图像逐步下降. （ 1）定义域： R性（ 2）值域：（0,+）（ 3）过定点（ 0, 1）,即 x0 时, y1. 名师归纳总结 质4x0 时, y1；x0 时, 0y1 x 0 时, 0y1；x0 时, y1. 第 2 页,共 13 页（ 5）在 R 上是增函数在 R 上是减函数- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二、例题精析【例题 1 】【题干】 求以下各式的值：12（3）93；（4）381 4（1）1002；（2）83；2111 27. 【答案】（1）1002=1022=10. 22（2）83=233=22=4. （3）93=323=33=22（4）381 4=343=33=1 27. 4【解析】 同答案【例题 2 】【题干】 用分数指数幂的形式表示以下各式（a 0）a ·3 a（1）a3a；（2）2 3a ·a2；（3）【答案】（1）a3.a3 aa1a31722a . . （2）2 3a ·a2=a2a2=a2+2=a8. 333（3）a ·3 a=aa1=a4=a2333【解析】 同答案【例题 3 】名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【题干】 运算：332545.0+学习必备欢迎下载.021×0 .321÷0 .06250.2523÷030 .008 2289【答案】28 2724911000217504262519【解析】原式3234981010000472514212 22935210299【例题】【题干】 化简：4 b2a42 31ba2 a22 3b5a3a2.38 a33abaa3a33【答案】 a21 1 1 1 1 2 1a 3 a 3 3 2 b 3 3 a 3 2 b 3 a a 3 2【解析】 原式1 1 1 1 1 1 1 a 3 2a 3 2 b 3 2 b 3 2 a a 2 a 3 55a 13 a 13 2 b 13 1 a1 a 61 a 13 a a 23 a 2. a 3 2 b 3 a 6提示： 这是一组很基本的指数运算的练习题,虽然在考试中这些运算要求并不高,但是数式运算是学习数学的基本功,通过这样的运算练习娴熟把握运算公式、法就, 以及学习数式变换的各种技巧 . 根式运算或根式与指数混合运算时将根式化为指数式运算较为便利,对于运算的结果,不强求统一用什么形式来表示,假如有特别要求, 可依据要求写出结果,但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数 . 【例题 5 】【题干】 比较以下各组数的大小名师归纳总结 （1）0 . 72与 721（ 2）3 2 与13（3）2.05与0.52（ 4）11,12,12第 4 页,共 13 页333>22521121233>3【答案】225- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【解析】（1）由2 x 在,0+学习必备欢迎下载,0.72<72上是增函数,0 7.<7（2）由x 2 在 R 上是增函数,3< ,3 2<2 ,即3 2<（13）2）=05.22（3）由x 2 在 R 上是增函数,.0 5> ,0 25.<2 ,即2.05<（1 2（4）由1x在 R 上是减函数,1<2,11>12,3323322又20,+上是增函数,1>1,12>12；x 在332525故11>12>12333225【例题 6 】【题干】 已知函数fxax1,a0ax11 判定函数的奇偶性；2 求该函数的值域；名师归纳总结 3 证明f x 是 R 上的增函数11axfx第 5 页,共 13 页【答案】（1）奇函数（ 2）1,1 （3）见解析【解析】（1）定义域为xR, 且fxaxax11axfx是奇函数；（ 2）fxaxx1121a21axax11, 0 ax212 即函数fxax1的值域为1,1；ax1（ 3）设1x ,x2R, 且1x x ,就ax 1ax 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - f1xfx2ax 11ax2学习必备欢迎下载2 ax 21 0,1 a2ax 1ax 11ax 21x 11 ax2f x 是 R 上的增函数需要精确把握定义域、值域、 奇偶性、 单调性等基本概念,提示：函数的性质综合问题,充分运用数形结合、分类争论、等价转换等数学思想,敏捷运用通性通法三、课堂运用【基础】1.求值以下各式的值：2251；1 25；163D a28 ；2481【答案】 4 132 2758【解析】 23 2 23 222 24 8 3332512 5 152 151122251 2521521 5321632 34 32 3327448182化简3 6a946 3a94的结果为（）A a16 B a8 C a4 【答案】 C名师归纳总结 【解析】 原式1111第 6 页,共 13 页a9634a9364lg1a2 a2a ,应选 C40 ；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【巩固】1如a2 x21,就a3xa3x等于（）2 1 D2 1 axaxA22 1 B222C 2【答案】 A【解析】 留意到a2x21ax3axaxa2xx1a2x）a3xa3xax3axaxaxaxaxa的图象可能是（选 A a2x1a2x221xb ay2在以下图象中,二次函数yax2bxc与函数【答案】 A【解析】 由函数ybx知b 0,于是抛物线 ayax2bxc的对称轴应在y 轴左边, B、为增函数,图aD 两个答案被排除对于答案C, 明显b1,b 2,函数 aybx2aa象与之不符,被剔除应选Aybx的提示： 从图象看, c 0,关键由 a 与 b 大小打算重要的条件是指数函数a底b 0,使得对称轴与 ax 轴的交点横坐标b0再由 0b 1,便定出 ab的位置2 a2a【拔高】1设y14.09,y28.044,y 31.15,就（B）y 3y2Ay y y 2y C1y y 3yD1y y y 2【答案】 D名师归纳总结 【解析】化为同底,再利用单调性即可第 7 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y 12.18,y22.132,y学习必备5欢迎下载32.1,又 函数 y 2 是单调增函数,x 1y y y ,应选 Dx 2 2 x 32求函数 y3 的定义域、值域和单调区间【答案】 定义域 , 值域 0 , 81 单调减区间 1, 【解析】 1 定义域明显为 , 2 u f x 3 2 x x 2 4 x 1 2 4,y 3 是 u 的增函数,u0 3 u 3 4, 即函数的值域为 0 , 81 u 3 当 x 1 时,u f x 为增函数,y 3 是 u 的增函数,y由 x u y 原函数单调增区间为 , 1；u 3 是 u 的增函数,当 x 1 时, u fx为减函数,y由 x u y 原函数单调减区间为1, 提示：这是复合函数的典型例子是指数函数与二次函数的复合,由于外层指数函数y uu 3 是 u 的增函数,所以该函数的单调性由内层函数也就是二次函数fx32xx2打算另一类由基本初等函数经过四就运算而形成的函数,其单调性和奇偶性的判定需采纳前面所学方法课程小结（1）指数运算常规方法将小数化为分数,带分数化为假分数,负指数化为正指数,根指数化为分数指数（2）a0 a1时,yax与yax的图象关于y 轴对称,即y1x与yax的a图象关于 y 轴对称（3）指数函数都以x 轴为渐近线 （当0a1 时,图象向左无限接近x 轴,当a1时,图象向右无限接近x 轴）（4）比较大小问题的处理方法名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 看类型学习必备欢迎下载化为同底用单调性其它类型找中间量（5）复合函数的单调性对于复合函数的单调性,可以依据各层函数单调性去判别课后作业【基础】1.求值（ 1）253（2）251=2 5（3）0 .0081 12244【答案】（1）；33252=522=53=125；2512=5212=512 4223 0 .0081 14=8114=3 101=10；100003【解析】 同答案2. 指数函数fxa21 x是减函数,求实数a 的取值范畴【答案】2,1 ,12【解析】 同答案名师归纳总结 3. 已知指数函数fx =ax（ a 0 且 a 1）的图象过点（3, ）,求f0, 1, 3f的值.第 9 页,共 13 页【答案】f0=0=1f1=1=3f3 =1=131x【解析】 由f3 ,得a3=,即a=3,fx=3,f0 =0=1；f 1 =1=3；f3 =1=13- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4.求函数y511的定义域学习必备欢迎下载x【答案】0,+【巩固】1.运算以下各式（式中字母都是正数）11（2）138211115（1）2a b2 6a b3 3 a b6；m n82115【答案】（1）原式2 6 3a326b2364ab04a ；13（2）原式m48 n88 2 m n3【解析】 同答案2. 运算以下各式（1）3251251425 ；（2）a2a0）6 55 ；a3 .2 a11【答案】（1）原式253125 2543115 23121535 5 53252256（2）原式a222 a12523a665 a1a2a3【解析】 同答案3. 已知a1,3求aaa12 a213 的值 . aa2a14a4a名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【答案】原式182473学习必备欢迎下载52050 52005【解析】a13a129a17,a12aaaa1249a2147,aa211aaa1aa3a3 a1a1a1222222a2a22a1a113618,aa5,而4a414a412a21aaa5. 原式 182 473 2050200553,就 a4函数yax在1,0上的最大值与最小值的和为【答案】 a2；5函数 y2x11的值域是 _ _【答案】 0 ,1 【拔高】1如 nN*,就4n21n14n21n1（）D22nA2 nB2C1 2n【答案】 A 2以下各式中正确选项（）名师归纳总结 A1 221 521 21B111 221 52第 11 页,共 13 页3333332C1 521 211 22D1 521 221 21333333- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【答案】 D名师归纳总结 【解析】 由y1x是减函数,得1211,答案 B、C 被剔除第 12 页,共 13 页33222又1212,应选 D33523函数ya1x与y1x具有不同的单调性,就ma11与n13的大小关3aa系是（）A m nBm nC m nD不能确定【答案】D【解析】a11a210a1m n ；110aa或a11a2a2m n 应选 D101a1a4已知函数fxexex,gxex2ex2 1 判定函数fx、g x 的奇偶性；2 证明f x 是 R 上的增函数；3 证明：f x2fxgx ；gx 2fx21【答案】（1）（略）fx 为奇函数,gx为偶函数；2 x e 是 R上的增函数,ex是 R 上的减函数,f x 是 R上的增函数；3 证明：f x e2x2e2x,2fxgx 2ex2exex2ex2 ex2e2x,f x 2fxgx；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - gx2fx2ex2ex2学习必备2欢迎下载exex2e2xe2x2e2xe2x2144【解析】 同答案名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 13 页