2022年学而思高中完整讲义直线与圆锥曲线板块一直线与椭圆学生版3.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 板块一 .直线与椭圆 1 1椭圆的定义：平面内与两个定点F 1,F 2的距离之和等于常数（大于|F F 2|）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距2椭圆的标准方程：x22 y1 ab0,焦点是F 1c ,0,F 2 c , ,且c2a2b a2b2y22 x1 ab0,焦点是F 10,c,F 20,c ,且c2a22 b a2b23椭圆的几何性质（用标准方程2 x2 a2 y2 b1 ab0争论）：范畴：axa,byb；对称性：以 x 轴、 y 轴为对称轴,以坐标原点为对称中心,椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心；椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点,如图中的A 1,A 2,B 1,B 2；长轴与短轴：焦点所在的对称轴上,两个顶点间的线段称为椭圆的长轴,如图中线段的 A A ；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴,如图中的线段 B B 椭圆的离心率：ec,焦距与长轴长之比,0e1, e越趋近于 1,椭a圆越扁；反之, e越趋近于 0 ,椭圆越趋近于圆yx=-aF 1cOB2y=bf x,y0的位置关系：Mx=aA1F 2A2x4直线 l ：Axaby=-bB1ByC0与圆锥曲线 C ：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离对于抛物线来说,平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点,但并不是相切；对于双曲线来 说,平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点,但并不相切这三种位 置关系的判定条件可归纳为：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 设直线 l ：AxByC0,圆锥曲线 C ：f x,y0,由AxByC0f x,y0消去 y （或消去 x ）得：ax2bxc0如a0,2 b4ac ,0相交；0相离；0相切如a0,得到一个一次方程：C 为双曲线,就 l 与双曲线的渐近线平行； C 为抛物线,就 l 与抛物线的对称轴平行因此直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的 必要条件,但不是充分条件5连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立,求出两交点的坐 标,然后运用两点间的距离公式来求；另外一种求法是假如直线的斜率为k ,被圆锥曲线截得弦AB 两端点坐标分别为x 1,y 1,x,y就弦长公式为|AB|211k2x12x112yyk两根差公式：假如x 1, 满意一元二次方程：ax2bbxcc0,2a4 aca（0 ）就x 124bx2x 1x 224x x2aa6直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有： 从方程的观点动身, 利用根与系数的关系来进行争论,这是用代数方法来解 决几何问题的基础要重视通过设而不求与弦长公式简化运算,并同时留意在 适当时利用图形的平面几何性质 以向量为工具,利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题典例分析【例 1】 直线ykx2与椭圆2 xy21交于不同两点A 和 B ,且OA OB1（其中O为3坐标原点）,求 k 的值【例 2】 在平面直角坐标系xOy 中,经过点 0,2且斜率为 k 的直线 l 与椭圆x22 y1有2两个不同的交点P 和 Q 求 k 的取值范畴；名师归纳总结 设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A, ,是否存在常数k ,使得第 2 页,共 7 页向量 OPOQ 与 AB 共线？假如存在,求k 值；假如不存在,请说明理由- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 3】 已知m1,直线l xmy2 m0,椭圆C:2 x2 my21,F ,F 2分别为椭圆 C2的左、右焦点当直线 l 过右焦点 F 时,求直线 l 的方程；设直线 l 与椭圆 C 交于 A , B 两点,AF F 2,BF F 2 的重心分别为 G ,H 如原点 O 在以线段 GH 为直径的圆内,求实数 m 的取值范畴yAO xB2 2【例 4】 已知椭圆 x2 y2 1 a b 0 短轴的一个端点 D 0, 3,离心率 e 1过 D 作a b 2直线 l 与椭圆交于另一点 M ,与 x轴交于点 A（不同于原点 O ）,点 M 关于 x轴的对称点为 N ,直线 DN 交 x轴于点 B 求椭圆的方程；求 OA OB 的值yDNOABxM【例 5】 已知椭圆中心在原点,一个焦点为F 10,22,且离心率e满意：2 3, , 成等 e 43比数列求椭圆方程；名师归纳总结 是否存在直线l ,使 l 与椭圆交于不同的两点M 、 N ,且线段MN 恰被直线第 3 页,共 7 页x1平分,如存在,求出l 的倾斜角的范畴；如不存在,请说明理由2【例 6】 直线 ykxb 与椭圆2 xy21交于 A 、 B 两点,记AOB 的面积为 S ,4求在k0,0b1的条件下,S 的最大值；当AB2,S1时,求直线AB 的方程- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 7】 已知椭圆的中心在原点O ,焦点在 x 轴上,点A 2 3 ,0是其左顶点,点C 在椭圆上且AC CO0,|AC| |CO 求椭圆的方程；如平行于 CO 的直线 l 和椭圆交于 M , N 两个不同点,求CMN 面积的最大值,并求此时直线 l 的方程2 2【例 8】 如图, 点 A 是椭圆 x2 y2 1 a b 0 短轴的下端点 过 A 作斜率为 1的直线交椭a b圆于 P ,点 B 在 y 轴上,且 BPx 轴,AB AP 9如 B 点坐标为 0, ,求椭圆方程；如 B 点坐标为 0, ,求 t 的取值范畴yBPxOA【例 9】 已 知 椭 圆 C 的 焦 点 是F 1 0,3,F2 0,3, 点 P 在 椭 圆 上 且 满 足PF 1PF 24 求椭圆 C 的标准方程；名师归纳总结 设直线l: 2xy20与椭圆 C 的交点为A , B 第 4 页,共 7 页）求使PAB 的面积为1 2的点 P 的个数；）设 M 为椭圆上任一点,O 为坐标原点,OMOAOB ,R ,求22 的值【例 10】已知椭圆x22 y2 b1 ab0的离心率为6a23如原点到直线xyb0的距离为2 ,求椭圆的方程；设过椭圆的右焦点且倾斜角为45 的直线 l 和椭圆交于A B 两点i）当 |AB|3,求 b 的值；ii ）对于椭圆上任一点M,如OMOAOB,求实数,满意的关系式- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 11】已知椭圆M:x22 y2 b1ab0的左右焦点分别为F 12, 0 ,F 22, 0在椭a2圆 M 中有一内接三角形ABC ,其顶点 C 的坐标3 , 1 , AB 所在直线的斜率为33求椭圆 M 的方程；当ABC 的面积最大时,求直线AB 的方程ByCAF1OF2xF , 2 F ,且|F F2|2,【例 12】已知椭圆 C 的中心在原点, 焦点在 x轴上,左右焦点分别为点1 ,3在椭圆 C 上2求椭圆 C 的方程；过F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点, 且AF B 的面积为122,求以F 为7圆心且与直线l 相切的圆的方程,且点1 ,3 2在【例 13】已知椭圆 C 的对称中心为原点O ,焦点在 x 轴上,离心率为12该椭圆上求椭圆 C 的方程；过椭圆 C 的左焦点 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点,如 AOB 的面积为6 2,求圆心在原点 O 且与直线 l 相切的圆的方程72 2【例 14】椭圆 C ：xa 2b y2 1 a b 0 的离心率为2 3,长轴端点与短轴端点间的距离为5 求椭圆 C 的方程；名师归纳总结 设过点 D 0, 4 的直线 l 与椭圆 C 交于E,F两点,O为坐标原点, 如OEF为第 5 页,共 7 页直角三角形,求直线l 的斜率- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 15】已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆 C 的离心率为1,且经过点M1,3,22过点P2, 1的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点A,B 求椭圆 C 的方程；是否存直线l ,满意PA PBPM2？如存在,求出直线l 的方程；如不存在,请说明理由【例 16】已知椭圆x22 y1 ab0的左右焦点分别为F ,F ,离心率e2 2,右准a2b2线方程为x2F MF N226,求直线 l 的求椭圆的标准方程； （准线方程xa2）c过点F 的直线 l 与该椭圆交于M , N 两点,且3方程【例 17】设椭圆x2y21 ab0的左、右焦点分别为F 、 2 F ,离心率e2, M 、2b22aN 是直线 l ：x|2 a上的两个动点,且F MF N0c如|F M| |F N|2 5,求 a 、 b 的值F F 共线证明：当 |MN取最小值时,F MF N 与yMF 1OF2xN【例 18】已知椭圆2 C x2 y1,过点M0,3的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点A 、4B 名师归纳总结 如 l 与 x 轴相交于点N ,且 A 是 MN 的中点,求直线l 的方程；AB3时,实第 6 页,共 7 页设 P 为椭圆上一点,且OAOBOP（ O 为坐标原点）,求当数的取值范畴- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 19】已知1F、F 分别是椭圆x22 y1 ab0的左、右焦点,右焦点F2c,0到上a2b2顶点的距离为2,如a26c 求此椭圆的方程；点 A 是椭圆的右顶点,直线yx 与椭圆交于M 、 N 两点（ N 在第一象限内） ,又 P 、Q 是此椭圆上两点, 并且满意NPNQ|F F20,求证：向量 PQ 与 AM|NP|NQ共线【例 20】一束光线从点F 1 1 0, 动身,经直线l ： 2xy30上一点 P 反射后,恰好穿过点 F 21 0,求点 F 关于直线 l 的对称点 F的坐标；求以 F 、F 为焦点且过点 P 的椭圆 C 的方程；设直线 l 与椭圆 C 的两条准线分别交于A、 B 两点,点 Q 为线段 AB 上的动点,且不为 A 、 B ,求点 Q 到F 的距离与到椭圆C 右准线的距离之比的最小值,并求取得最小值时点Q 的坐标1ab0的左顶点A 和上顶点【例 21】已 知直线x2y20经过椭圆C:2 xy22 ab2D 椭圆 C 的右顶点为 B 点 S 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点, 直线 AS ,BS与直线l:x10分别交于 M,N两点3求椭圆 C 的方程；求线段 MN 的长度的最小值当线段 MN 的长度最小时,在椭圆C 上是否存在这样的点T ,使得TSB的面积为1 5？如存在,确定点T 的个数；如不存在,说明理由ylMDSBAOxN名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页