2022年大学物理知识总结习题答案量子物理基础3.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 第十章 量子物理基础第十章 量子物理基础本章提要1 光的量子性·物体由于自身具有肯定温度而以电磁波的形式向四周发射能量的现象称热辐射；·在任何温度下都能全部吸取照耀到它表面上的各种波长的光（电磁波）,就这种物体称为肯定黑体,简称黑体；·单位时间内物体单位表面积发出的包括全部波长在内的电磁波的辐射功率,称为辐射出射度；2 维恩位移定律·在不同的热力学温度 T 下,单色辐射本事的试验曲线存在一个峰值波长 m,维恩从热力学理论导出 T 和 m 满意如下关系 mT = b其中 b 是维恩常量；3 斯忒藩玻尔兹曼定律·斯忒藩玻尔兹曼定律说明黑体的辐射出射度M 与温 T 的关系MT4其中 s 为斯忒藩玻尔兹曼常量；对于一般的物体MT4e称发射率；4 黑体辐射名师归纳总结 ·黑体辐射不是连续地辐射能量,而是一份份地辐射能量,并且每一份能第 1 页,共 15 页量与电磁波的频率成正比,这种能量分立的现象被称为能量的量子化,每一份最小能量 E=hv被称为一个量子；黑体辐射的能量为E=nhv,其中 n1,2,3, ,等正整数, h 为普朗克常数；·普朗克黑体辐射公式简称普朗克公式Ml =2hc2hc e1-15/ kT- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ··第十章量子物理基础光是以光速运动的粒子流,这些粒子称为光量子,简称光子；一个光子具有的能量为Eh；5 粒子的波动性·德布罗意认为实物粒子也具有波粒二象性,它的能量E、动量 p 跟和它相联系的波的频率、波长满意以下关系Emc2hp=mu=h这两个公式称为德布罗意公式或德布罗意假设；物质波或德布罗意波；与实物粒子相联系的波称为·D Dp x. h 或者DEDt. h 这一关系叫做不确定关系； 其中为位置不确定量、动量不确定量、能量不确定量、时间不确定量；·物质波是一种表示粒子在空间概率分布的概率波；6薛定谔方程及其应用·微观粒子的运动状态需要用波函数来描述,通常以 y 表示；一般来说, y是空间和时间的函数,即 y = y , x y z t , , ；波函数的运动方程为薛定谔方程；2 2·粒子显现在单位体积内的概率就是 y；因此,y 又叫概率密度；·定态薛定谔方程的非相对论形式为抖抖 2x y2 + 2y y2 + . 2z y2 + 2h m E 2-U y = 0其中, m 为粒子的质量, U 为粒子在外力场中的势能函数,E 是粒子的总能量；·在无限深方势阱中的粒子能量为2 2 2 2k h 2 p hE n = = n 22 m 2 ma整数 n 称为量子数；每一个可能的能量值称为一个能级；·在势垒有限的情形下 , 粒子可以穿过势垒到达另一侧, 这种现象叫做势垒贯穿；7 电子运动状态·量子力学给出的原子中电子的运动状态由以下四个量子数打算（1） 主量子数 n,它大体上打算了原子中电子的能量；（2） 角量子数 l, l=1,2,3,L,n-1它打算电子绕核运动的角动量的大小；一般说来, 主量子数 n 相同,而角量子数名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第十章 量子物理基础l 不同的电子,其能量也稍有不同；（3） 磁量子数m lm l=0, 北 1,2, L,.l它打算电子绕核运动的角动量矢量在外磁场方向中的指向；（4） 自旋磁量子数m sm = .1 2它打算电子自旋角动量矢量在外磁场中的指向,也影响原子在外磁场中的能量；摸索题10-1 什么是黑体？为什么从远处看山洞口总是黑的？答：在任何温度下都能全部吸取照耀到它表面上的各种波长的光（电磁波）,这种物体称为肯定黑体,简称黑体；山洞就形成一个空腔,光从洞口射入山洞,经过多次反射后几乎不再射出洞口,口是黑的；因此山洞形成一个肯定黑体, 从远处看山洞10-2 假设人体的热辐射是黑体辐射,单色辐出度的峰值波长？请用维恩定律估算人体的电磁辐射中,答： 依据维恩位移定律mT b可得以人体的正常体温的最高值b m T 37（热力学温度为 37+271.15K 为例,算出人体电磁辐射中对应于最大的单色辐出度的波长值约为 10 m；10-3 全部物体都能发射电磁辐射,为什么用肉眼看不见黑暗中的物体？答：物体要被眼睛观看到,需要两个条件： （1）物体要发射或者反射出眼睛能感觉到的可见光,其波长范畴大约为0.40-0.78 m；（2）可见光的能量要达到肯定的阈值； 依据黑体辐射, 任何物体在肯定温度下都发射出各种波长的电磁辐射,在不同温度下单色辐出度的峰值波长不同；黑暗中四周物体的温度等于环境温度（近似为人体温度） ,单色辐出度的峰值波长在 10 m 邻近,在可见光波长 范畴的电磁辐射能量都比较低,因此不能引起眼睛的视觉响应；10-4 请举出一些日常生活中所见到的例子,来说明物体热辐射的各种波长 中,单色辐出度最大的波长随物体温度的上升而减小？答：火焰外焰温度高,内焰相对温度低；观看火焰,发觉内焰颜色偏红,外焰颜色偏蓝（红光波长大于蓝光波长） ,可见单色辐出度的峰值波长随物体温度名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第十章 量子物理基础的上升而减小；10-5 普朗克提出了能量量子化的概念,量子化的物理量,请举出例子；那么,在经典物理学范畴内, 有没有答： 在经典物理学范畴内有量子化的物理量,比如说电荷量的量子化；10-6 什么是爱因斯坦的光量子假说,光子的能量和动量与什么因素有关？答：爱因斯坦认为, 一束光是一束以光速运动的粒子流；这些粒子称为光量子,后来简称光子；不同颜色的光的光子能量不同,如光的频率为,一个光子具有的能量为 E h ,光子的动量为 p h /,可见光子的能量和动量都与它的波长或者频率有关；10-7 “ 光的强度越大,光子的能量就越大”,对吗？答： 不对 ,光的强度是单位时间内照耀在单位面积上的光的总能量；肯定频率的光强度越大, 说明光子数量越多, 但每个光子的能量是肯定的,只与频率有关,与光子数目无关；10-8 什么是康普顿效应？答： 考察 X 射线通过物质时向各个方向的散射现象发觉,在散射的X 射线中,除了存在波长与原有射线相同的成格外,变的散射称为康普顿散射,也称康普顿效应；仍有波长较长的成分, 这种波长改10-9 什么德布罗意波粒二象性假设？答：德布罗意假设实物粒子也具有波动性,认为一个实物粒子的能量E、动量 p 跟和它相联系的波的频率 系、波长 的定量关系和光子的一样,满意以下关E=mc2=hpmuh这两个公式称为德布罗意假设；10-10 日常生活中,为什么觉察不到粒子的波动性和电磁辐射的粒子性？答：依据德布罗意假设粒子的动量大,相应的波长小； 日常生活中的粒子动 量很大,波长很短, 故粒子的波动性不明显； 日常生活中的电磁辐射的波长相对 较长（频率为 100M 数量级,波长为 1m 左右）,简单绕过障碍物,所以电磁辐 射的粒子性很难察觉到；10-11 假如一个粒子的速率增大了,它的德布罗意波长是增大仍是减小？答： 依据名师归纳总结 Ek1mv2p22h22第 4 页,共 15 页22mm- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 第十章 量子物理基础所以当速度增大时德布罗意波波长减小；10-12 一个电子和一个原子具有相同的动能,谁的德布罗意波长大？答： 电子和原子的动能均为E k1mv2p222 m又由ph因而德布罗意波长的平方与粒子质量成反比；由于电子的质量大于原子的能量；故原子的德布罗意波长大于电子的德布罗意波长；10-13 什么是不确定关系？答： 不确定关系是指微观粒子不能同时用确定的位置和确定的动量来描述；由于微观粒子具有波动性, 不象经典力学, 每个粒子在运动过程中可以用确定位置和动量来描述其运动状态； 这时只能采纳波函数描述微观粒子的运动状态,波 函数只能供应粒子处于某个位置和具有某个动量的概率；10-14 在经典力学中,用粒子的位置和速度来描述其运动状态；在量子力学中如何描述粒子的运动状态？答：量子力学指出, 微观粒子的运动状态需要用概率波来描述,其运动方程为薛定谔方程；概率波的数学表达称为波函数,通常以 空间和时间的函数,即y=y , x y z t , , 量子力学中,用波函数来描述粒子的运动状态；y 表示；一般来说, y 是10-15 在一维无限深势阱中,假如减小势阱的宽度,其能级将如何变化？如 增大的势阱的宽度,其能级又将如何变化？答： 一维无限深的方势阱中粒子的可能能量为式中 a 为势阱宽度；很明显Enn2h228 maE 与 a 2成反比关系；练习题名师归纳总结 10-1 如将星球看成肯定黑体,利用维恩位移律,通过测量m 便可估量其表第 5 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 第十章 量子物理基础面温度；现测得太阳和北极星的 度和黑体辐射出射度；m分别为 510nm 和 350nm；,试求它们的表面温解：（1）依据维恩位移定律,单色辐出度的峰值波长与温度的关系为其中b2898m K,可得mTbTbm对于太阳：T 1b2 8 9 86 1 0 5 6 8 2 K 9 1 0m15 1 0对于北极星：T 2b2 8 9 86 1 0 1 0 8 2 8 0 K 9m23 5 0（2） 依据斯忒潘玻尔兹曼定律,黑体辐射出射度与温度的关系为4M T其中 5.67 10 W m 8-2K ,就-4对于太阳：M 1 T 1 45.67 10 85682 45.91 10 W m 7 2对于北极星：M 2 T 2 45.67 10 88280 42.67 10 W m 8-210-2 天狼星的温度大约是 11000K；试由维恩位移定律运算其辐射峰值的波长；解： 由维恩位移定律,即mTbI 0 称为太阳常量,其中b2898m K,导出可得天狼星单色辐出度的峰值所对应的波长mbTmb2898 106m263.4nmT1100010-3 太阳辐射到地球大气层外表面单位面积的辐射通量试验测得 I01.5kW/m2；把太阳近似当作黑体,试由太阳常量估算太阳的表面温度. 太阳平均直径为1.49 10 m ,地球到太阳的距离为11 1.5 10 m ；解： 依据能量守恒,有名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 其中其中其中第十章量子物理基础M1S 1I0S 2S 1, S 2分别为太阳表面积、以地球和太阳距离为半径的球面积；M14r 1 2I04r22r 1,r2分别为太阳半径、地球和太阳距离；又依据斯忒潘玻尔兹曼定律MT48 5.67 10 W m2K4 ；联立得到1TI r 0 2 24r 1 2带入数据可得太阳表面的温度为1 / 42 1 / 4 3 11 2T I 0 r 22 1 . 5 10 1 . 5 10 9 5904 K r 1 8 .1 49 10 25 . 67 10 210-4 在抱负条件下,假如正常人的眼睛接收 550nm 的可见光,此时只要每秒有 100 个光子数就会产生光的感觉；试问与此相当的光功率是多少？解： 每个光子能量为 h ,其中 h 为普朗克常量且h6.626 1034J s就, 100 个波长为 550nm 的光子的光功率为34 8E nh nhc 100 6.626 10 3 10 17P 9 3.6 10 J s t t t 550 10 110-5（1）广播天线以频率 1MHz、功率 1kW 发射无线电波,试求它每秒发射的光子数；（2）利用太阳常量 I01.3kW/m 2,运算每秒人眼接收到的来自太阳的光子数（人的瞳孔面积约为 解：（1）每个光子能量为6 23 10 m , 光波波长约为 550nm）；h,由E nhPt t名师归纳总结 其中P,Enh分别为辐射功率、辐射能量；可得广播天线每秒发射的光子数为第 7 页,共 15 页nPt1 103161.5 1030个h6.626 10341 10- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 第十章 量子物理基础（2） 每个光子能量为 h , 由nh I S 0可得每秒人眼接受到的来自太阳的光子数nI0SI0S1 .310331065501091 .081017hhc6.6261034310810-6 一束带电量与电子电量相同的粒子经 意波长为 0.002nm,试求粒子的质量；206V 电压加速后,测得其德布罗解：经过电压 U 加速后 ,带电粒子的动能为1mv2eU2其中 e为电子电量；又依据德布罗意公式hpmv联立解得电子质量为m2h22eU将已知数据带入2 34 2m h2 619 . 626 10 9 2 1 . 67 10 27 kg 2 eU 2 1 . 6 10 206 0 . 002 10 210-7 电子位置的不确定量为 5.0 10 nm 时,其速率的不确定量为多少？ （电子的质量为 9.1 10 31Kg ）解：动量不确定量与速率不确定量的关系为p m v 将带入不确定关系 x p h,可得xm v x h 就34v x h 6.626 1031 2 9 1.46 10 m s 7-1m x 9.1 10 5 10 103-110-8 一质量为 40g 的子弹以 1.0 10 m s 的速率飞行,求（ 1）其德布罗意波长：（2）如子弹位置不确定量为 解：（1）依据德布罗意公式可得子弹的德布罗意波波长为 : 0.10mm,求其速率的不确定量；pmvh名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - h第十章量子物理基础35m6.626 103431.66 10mv40 1031.0 10（2） 由不确定关系x pxh ,得xm vxh可得281 m s v xh m x406.626103431.66101030.1 1010-9 试证：假如粒子位置的不确定量等于其德布罗意波长,就此粒子速度 的不确定量大于或等于其速度；证明： 由不确定关系x p xh,可得动量不确定量为p xh x依题意可知位置不确定量为x将式代入式可得即再依据德布罗意公式pmvvphhvxxh,可得hpmmvv证毕；10-10 试证明自由粒子的不确定关系式可写成x2,其中为自由粒子的德布罗意波长；证明 : 对德布罗意公式ph两边求微分,可得ph 2如只考虑其变化量的大小,就可以略去负号,得又由不确定关系x p xh ,将ph 2p 代入上式,可得x2hh即名师归纳总结 x2第 9 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 第十章 量子物理基础证毕10-11 热中子平均动能为 3 kT ；试问当温度为 300K 时,一个热中子的动能2为多大？相应的德布罗意波长是多少？解：（1）微观粒子的平均平动动能为 3 kT ,其中 k 为玻尔兹曼常数,就23 kT 3 1.38 10 23 300 6.21 10 21 J2 2（2） 依据p mv k 1 mv 22联立解出动量p 2 k m带入 p h,可得德布罗意波长34 h 6.626 10 102 k m 2 6.21 10 21 1.67 10 27 1.455 10 m10-12 设电子和光子的波长均为 解：（1）依据0.50 nm,试求两者的动量及动能之比；ph对于光子p 1h；对于电子p2h；两者比较,得12p 121p21（2） 光子的动能为k2 mcpc电子的动能为E k12 mvp222m e联立可得名师归纳总结 kp c2 m c2m c2 9.1 10318 3 100.5 1092 4.12 10第 10 页,共 15 页E k2 p 2ph6.626 10342 m e- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 第十章 量子物理基础10-l3 物理光学的一个基本结论是,在被观测物小于所用照耀光波长的情形下,任何光学仪器都不能把物体的细节辨论出来；这对电子显微镜中的电子德布罗意波同样适用；因此,如要讨论线度为 0.020 m 的病毒,用光学显微镜是不行能的；然而,电子的德布罗意波长约比病毒的线度小1000 倍,用电子显微镜可以形成特别好的病毒像,试问这时电子所需要的加速电压是多少？解： 经过电压 U 加速后 ,带电粒子的动能为12 mveU , 2又依据德布罗意公式pmvh, 解得2U h22 em由于电子波长为 0 . 02 10 6 / 1000,将已知数据带入可得2 34 2h 6.626 10 U 2 19 31 3 6 2 3769V2 em 2 1.6 10 9.1 10 0.02 10 10 10-14 设粒子在 x 轴运动时,速率的不确定量为 v 1 cm/s；试估算以下情况下坐标的不确定量 x：（ 1）电子；（2）质量为 10 13kg 的布朗粒子；（3）质量为 10-4kg 的小弹丸；解： 由不确定关系可得h hxp x m v34（1）对于电子,x 1 h 6.626 1031 2 7.28 10 m 2m 1 v 9.1 10 1 10（2）对于质量为 10 13 kg 的布朗粒子,34x 2 h 6.626 1031 2 6.626 10 19mm 2 v 10 1 10（3） 对于质量为 10-4kg 的小弹丸名师归纳总结 x 3m 3hv6.626 10346.626 1028m,能将这个电第 11 页,共 15 页1041 10210-15 作一维运动的电子,其动量不确定量px1025kg m/ s- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 第十章 量子物理基础子约束在内的最小容器的大致尺寸是多少 .解： 依据不确定关系 p x x h,如设能约束住电子的最小容器的大致尺寸为 x min,就 x x minh 6.626 10 349x min 25 6.626 10 mp x 1010-16 已知原子的电离能为 13.60 eV,一个能量为 15.20eV的光子被氢原子中的基态电子吸取而形成一个光电子；试求该光电子远离氢原子核时的速度及其德布罗意波长；解：（1）光电效应方程为1mv2hA2可得v2hmA 215.20 13.60 1.6 10192-17.5 10 m s 9.1 1031（2） 依据德布罗意公式pmvh, 可得德布罗意波长为34h 6.626 1031 2 970.8nmmv 9.1 10 7.5 1010-17 设有一电子在宽度为 0.20nm 的一维无限深的方势阱中, （1）运算电子在最低能级的能量： （2）当电子处于第一激发态（n=2）时,在势阱何处显现的概率最小,其值为多少？解：（1）一维无限深的方势阱中粒子的可能能量为Enn2h228 ma其中 a 为势阱宽度, n 取正整数；当量子数 n1 时,粒子处于基态,能量最低；此时能量为E 12 h6.626 1034221.51 1018J9.43 V2 8 ma8 9.1 10319 0.2 10 （2）粒子在无限深势阱中的波函数为 2sin n axa相应的概率密度函数为名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第十章 量子物理基础2 2 2 n sin xa a2当 d | x | 0 时显现极值,即d x4 n n x n x2 sin cos 0a a a第一激发态, 取 n2 代入上式, 考虑范畴 0 x a ,可知当 x 0, a a, , 3a a4 2 42 2时,函数 2显现极值；再由 d | 2 x |0 可知,函数 2在 x 0, a, a 处d x 2概率最小,即在 x = 0,0.10nm,0.20nm 处概率最小,其值为 0；10-18 在线度为 1.010-5m 的细胞中有很多质量为 m = 1.0 10-17kg 的生物粒子,如将生物粒子作为微观粒子处理,试估算该粒子的 n = 100 和 n = 101 的能级和能级差各是多大；解： 该情形可视为无限深势阱中的粒子,能量为Enn2h225.49 1037J8 ma式中 a 为势阱宽度, n 取正整数；当n =100时,有E 1002 100h22 1006.626 1034222 8 ma8 1.0 10175 1.0 10 当n =101时,有5 . 601037 J E 1012 101h282 1016 . 6261034222 8 ma1 . 010171 . 0105因此该粒子在n =100和n =101的能级差为1.11 1038JEE 101E 1005.60 10375.49 103710-19 一维无限深势阱中粒子的定态波函数为试求粒子处于下述状态时,在n2 sin an x ax =0和x=a/ 3之间找到粒子的概率； （1）粒子处于基态；（2）粒子处于n=2的状态；解： 由已知可得一维无限深势阱中粒子的定态波函数为名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第十章 量子物理基础2sin n axa就相应的概率密度为在x =0和x=a/3 22sin2n axn xdxa之间找到粒子的概率为a32sin2Px2 2dxx10aa利用三角函数公式cos2x12sin2x可解得Pa311cos2 n x dxx21sin2 n xa30aaana0（1） 当 n1 时,粒子处于基态的概率为P11sin21433233（2） 当 n2 时,粒子处于该态的概率为P11sin4183343310-20 设粒子的波函数为a 为常数,求归一化常数A； Ae1a x 222解： 由归一化条件 2dx1可知,将此题中的粒子波函数带入归一化条件,可得2 A ea x 22dx1利用积分公式0eax2dx2 a12解得2A22a1即归一化常数为名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第十章量子物理基础: Aa1210-21 一维运动的粒子处于如下波函数所描述的状态 Axexx0 0A；（2）求粒子的概率分布函数；10x式中 >0；（1）运算波函数 x 的归一化常数（3）在何处发觉粒子的概率最大. 解：（1）已知归一化条件 2dx利用积分公式把波函数代入归一化条件,得022 y ebydy22xdxA21b3002dx02 2A x exdx02 2A x e34解得A 2（2） 粒子的概率分布函数为（3） 当d 2222 x e2xx00x020时显现极值,即dx解得当x0,x1432xe2x22 x e2x0,和 x时,函数当 2显现极值再由d2 20,可知x1处,函数 2有最大值,即粒子在2 dxx1该处显现的概率最大；名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 15 页