2022年完整word版,全等三角形辅助线系列之二--中点类辅助线作法大全.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 全等三角形帮助线系列之二与中点有关的帮助线作法大全一、中线类帮助线作法 1、遇到三角形的中线,可以倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,通过全等 将分散的条件集中起来,利用的思维模式是全等变换中的“ 旋转”2、遇到题中有中点,可以构造三角形的中位线,利用中位线的性质转移线段关系3、遇到三角形的中线或与中点有关的线段,假如有直角三角形,可以取直角三角形斜边的中点,试图构造直角三角形斜边的中线,利用斜边中线的性质转移线段关系典型例题精讲【例 1】 如图,已知在ABC 中, AD 是 BC 边上的中线,E是AD上一点,延长BE交AC于F,AFEF ,求证： ACBE AEFABDEFBGDCC【解析】延长AD到G,使DGAD ,连结 BGAD交 CA 的延长线于点F ,BDCD ,BDGCDA , ADGD ADCGDB, ACGB GEAF又AFEF ,EAFAEF GBEDBEBG , BEAC 【例 2】 如图,在ABC 中, AD 交 BC 于点 D ,点 E 是 BC 中点, EF交 EF 于点 G ,如 BGCF ,求证： AD 为ABC 的角平分线FBGFACBHGDACDEE1 / 12名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【解析】延长FE 到点 H ,使 HEFE ,连结 BH 在 CEF 和 BEH 中CE BECEF BEHFE HECEFBEHEFC EHB , CF BH BGEHB BGE ,而 BGE AGFAFG AGF又 EFAD,AFG CAD,AGF BADCAD BAD AD 为 ABC 的角平分线【例 3】 已知 AD 为 ABC 的中线,ADB ,ADC 的平分线分别交 AB 于 E 、交 AC 于 F 求证：BE CF EF AAE FE FB D CB D C N【解析】延长 FD 到 N ,使 DN DF ,连结 BN 、 EN 易证 BND CFD , BN CF ,又ADB ,ADC 的平分线分别交 AB 于 E 、交 AC 于 F ,EDF EDN 90,利用 SAS证明 EDN EDF , EN EF ,在 EBN 中, BE BN EN ,BE CF EF 2 2 2 2【例 4】 如下列图, 在 ABC 中, D 是 BC 的中点, DM 垂直于 DN ,假如 BM CN DM DN,求证 AD 2 1AB 2AC 242 / 12名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【解析】延长ND 至 E ,使 DEDN ,连接 EB 、 EM 、 MN 由于 DEDN , DBDC ,BDECDN ,就BDECDNME2,90如AD3,从而 BECN ,DBEC 而 DEDN ,MDN90,故 MEMN ,因此DM2DN2MN2即BM22 BE2 ME ,就MBE90,即MBDDBE90由于DBEC ,故MBDC90,就BAC90AD 为 RtABC 斜边 BC 上的中线,故AD1BC 2由此可得AD21BC21AB2AC244DFE【例 5】 在 Rt ABC 中,F 是斜边 AB 的中点, D 、E 分别在边 CA 、CB 上,满意BE4,就线段 DE 的长度为 _A【解析】如图、延长DF 至点 G ,使得 DFFG ,联结 GB 、 GE DFGCE 图 6B由 AFFB ,有AB,E为AB的中点, 连接CE、ADFBGFBGAD3ADFBGFADGBGBEACB180GBE90GEGB2EB25又 DFFG , EFDGDEGE5【例 6】 如下列图, 在ABC 中, ABAC ,延长 AB 到 D ,使 BDCD ,求证CD2EC 3 / 12名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【解析】解法一：如下列图,延长CE 到 F ,使 EFCE 简单证明EBFEAC,从而 BFAC ,而 ACABBD ,故 BFBD 留意到CBDBACACBBACABC ,CBFABCFBAABCCAB ,故CBFCBD ,而 BC 公用,故CBFCBD因此CDCF2 CE 解法二：如下列图,取CD 的中点 G ,连接 BG 由于 G 是 CD 的中点, B 是 AD 的中点,故 BG 是 DAC 的中位线,从而 BG 1 AC 1 AB BE ,2 2由 BGAC 可得 GBC ACB ABC EBC ,故 BCEBCG,从而 EC GC ,CD 2 CE 【例 7】 已知： ABCD 是凸四边形,且 AC BD E、 F 分别是 AD、BC 的中点, EF 交 AC 于 M ；EF交 BD 于 N, AC 和 BD 交于 G 点 求证：GMN GNM AE A A E EM D M M D DN G H HN N G GB F C B B F F C C【解析】取 AB 中点 H,连接 EH、FH AE ED , AH BH ,EH BD,EH 1BD ,GNM HEF2 AH BH , BF CFFH AC,FH 1AC2GMN HFE AC BD , FH EHHEF HFE ,GMN GNM【例 8】 在 ABC 中,ACB 90,AC 1BC ,以 BC 为底作等腰直角 BCD , E 是 CD 的中点,求2证： AEEB 且 AEBE ACEDBACEDFB4 / 12名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【解析】过E 作 EFBC交 BD 于 FACEACBBCE135CA 、 CB 到点 E 、 F ,使 DEDF 过DFEDBC45EFB135又EFBC,EF1BC ,AC1BC22EFAC , CEFB EFBACE,CEADBE又DBEDEB90DEBCEA90故AEB90AEEB 且 AEBE 【例 9】 如下列图,在ABC 中, D 为 AB 的中点,分别延长E 、 F 分别作直线 CA 、CB 的垂线, 相交于点 P ,设线段 PA 、 PB 的中点分别为 M 、 N 求证：（1）DEMFDN；EADCBFEADCBF（2）PAEPBFGHPAMEPBNF 【解析】（1）如下列图,依据题意可知DMBN且 DM=BN,DNAM且 DN=AM,所以AMDAPBDNB 而 M 、 N 分别是直角三角形AEP 、BFP 的斜边的中点,所以 EMAMDN , FNBNDM ,又已知 DEDF ,从而DEMFDN（2）由（ 1）可知EMDDNF ,就由AMDDNB 可得而AME 、BNF 均为等腰三角形,所以PAEPBF 5 / 12名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 10】 已知,如图四边形ABCD 中, ADBC , E 、 F 分别是 AB 和 CD 的中点, AD 、 EF 、 BC 的延长线分别交于M 、 N 两点求证：AMEBNE MFNCDMFNCDH AEBAEBBCBC ,连结M 、 N 【解析】连接AC,取AC中点H,连接FH、EHDFCF , AHCH ,FH1AD,FH1AD ,同理,EH1BC , EH222ADBC , EHFH ,HFEHEFFHAM, EHBC AMEHFE ,HEFBNE ,AMEBNE【例 11】 已知：在ABC 中, BCAC ,动点 D 绕ABC的顶点 A 逆时针旋转,且ADDC 过 AB 、 DC 的中点 E 、 F 作直线,直线EF 与直线 AD 、 BC 分别相交于点MDMDNCCFDFNFCHNMAEBAEBAEB图1图2图3（1）如图 1,当点 D 旋转到 BC 的延长线上时,点N 恰好与点 F 重合,取 AC 的中点 H ,连结 HE 、HF ,依据三角形中位线定理和平行线的性质,可得结论 AMF BNE 不需证明 （2）当点 D 旋转到图 2或图 3中的位置时,AMF 与 BNE 有何数量关系？请分别写出猜想,并任选一种情形证明【解析】图 2：AMF ENB ,图 3：AMF ENB 180证明：在图 2 中,取 AC 的中点 H ,连结 HE 、 HFF 是 DC 的中点, H 是 AC 的中点HFAD,HF1AD ,AMFHFEENBAMF2同理, HECB,HE1CB ,ENBHEF2ADBC , HFHE ,HEFHFE ,证明图 3 的过程与证明图2 过程相像6 / 12名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - MNDFCHCFDHNMA E B A E B【例 12】 如下列图, P 是 ABC 内的一点,PAC PBC ,过 P 作 PM AC 于 M , PL BC 于 L ,D 为 AB 的中点,求证 DM DL 【解析】如下列图,取 AP 、 PB 的中点 E 、 F ,连接 EM 、 ED 、 FD 、 FL ,就有 DEBP且DE1BP , DFAP且DF1AP 2DE 22由于AMP 和BLP 都是直角三角形,故ME1AP ,LF1BP ,从而 EDFL , DFME 22又由于MEDMEPPED ,DFLDFPPFL ,而MEP2MAP2LBPPFL ,且PEDDFP ,所以MEDDFL ,从而MEDDFL,故 DMDL 【例 13】 如右下图,在ABC 中,如B2C , ADBC , E 为 BC 边的中点求证：ABAAFBDECBDEC【解析】如右下图,就取AC边中点F,连结EF、DFADC 斜边上的中线,DFCF 由中位线可得,EF1AB 且BCEF DF 为 Rt2CDFC ,又DFEFDECEF ,即CDFE2C , DFEEDF ,DEEF1AB ,AB2 DE 27 / 12名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 14】 如图,ABC 中, ABAC ,BAC90, D 是 BC 中点, EDFD ,ED 与 AB 交于 E , FD与 AC交于 F 求证： BEAF , AECF BEAFCBEAFC【解析】连结AD DD ABAC ,BAC90BC45 D 是 BC 中点BAD 45 且 AD BC ED DFEDA ADF 90ADE EDB 90BDE ADF在 BDE 与 ADF 中, AD BD ,DAF B 45,BDE ADFBDEADF BE AF AE CF 【例 15】 在 ABCD 中,A DBC ,过点 D 作 DE DF ,且 EDF ABD ,连接 EF、EC,N、P 分别为 EC、BC 的中点,连接 NP.（1）如图 1,如点 E 在 DP 上, EF 与 DC 交于点 M,摸索究线段 NP 与线段 NM 的数量关系及 ABD 与 MNP 满意的等量关系,请直接写出你的结论；（2）如图 2,如点 M 在线段 EF 上,当点 M 在何位置时,你在（1）中得到的结论仍旧成立,DFM写出你确定的点M 的位置,并证明（1）中的结论A D A D AF F E M E B1PEN3 2B P 图 1 N C B P 图 2N C 4C【解析】（1） NPMN ,ABDMNP180ADCB ,（2）点 M 是线段 EF 的中点 或其它等价写法.证明：如图,分别连接BE、 CF. 四边形 ABCD 是平行四边形, AD BC,AB DC,ABDBDC .8 / 12名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - ADBC ,DBCDCB , DBDCEDF ABD ,EDF BDC .BDC EDC EDF EDC 即 BDE CDF 又 DE DF,由 得 BDE CDF EB FC , 1 2 . N、P 分别为 EC、BC 的中点, NP EB,NP 1EB 2同理可得 MN FC,MN 1 FC NP NM 2 NP EB,NPC 4,ENP NCP NPC NCP 4 MN FC,MNE FCE 3 2 3 1MNP MNE ENP 3 1 NCP 4DBC DCB 180 BDC 180 ABDABD MNP 180【例 16】 在 Rt ABC 中,ACB 90,tan BAC 1点 D 在边 AC 上（不与 A,C 重合）,连结 BD,2F 为 BD 中点（1）如过点 D 作 DEAB 于 E,连结 CF、EF、CE,如图 1 设 CFkEF ,就 k = ；2（2）如将图 1 中的 ADE 绕点 A 旋转,使得 D、E、B 三点共线,点F 仍为 BD 中点,如图所示求证：BEDE2 CF ；（3）如BC6,点 D 在边 AC 的三等分点处, 将线段 AD 绕点 A 旋转,点 F 始终为 BD 中点,求线段 CF 长度的最大值AAADE EDFF【解析】（1）k1；C图1BC图2BC备图B（2）如图 2,过点 C 作 CE 的垂线交 BD 于点 G,设 BD 与 AC 的交点为 Q. 9 / 12名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由题意,tanBAC1,BCDE1.2ACAE2 D、E、B 三点共线,AEDB.EAQ BCG BQCAQD ,ACB90,QBCECAACG90,BCGACG90,ECABCGACE,BCGB1,GBDE .ACAE2 F 是 BD 中点, F 是 EG 中点 .在 RtECG中,CF1EG ,BEDEEG2 CF CMAFM23 5.2（3）情形 1：如图,当AD1AC 时,取 AB 的中点 M,连结 MF 和 CM ,3ACB90,tanBAC1,且BC 6,2AC12,AB6 5.M 为 AB 中点,CM3 5AD1AC ,AD4.3M 为 AB 中点, F 为 BD 中点,FM1AD22当且仅当 M、 F、C 三点共线且 M 在线段 CF 上时 CF 最大,此时CF情形 2：如图,当AD2AC 时,取 AB 的中点 M,连结 MF 和 CM ,FM3类似于情形1,可知 CF 的最大值为 43 5 综合情形 1 与情形 2,可知当点D 在靠近点 C 的三等分点时,线段CF 的长度取得最大值为43 5 .DEADADQFFMGC图2BCBCB10 / 12名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 课后复习【作业 1】如图,ABC中,ABAC,AD是中线求证：DACDABAE FABDEFBGDCC【解析】延长 AD 到 E ,使 AD DE ,连结 BE 在 ADC 和 EDB 中AD EDADC EDB ADCEDBDC DBAC EB ,CAD BEA在 ABE中,AB AC , AB EBAEB < EAB ,DAC < DAB 【作业 2】在 Rt ABC 中,BAC 90,点 D 为 BC 的中点,点 E 、 F 分别为 AB 、 AC 上的点,且ED FD 以线段 BE 、 EF 、 FC 为边能否构成一个三角形？如能,该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？A【解析】延长FD 到点 G ,使 FDEAFCBGEDFCBDGD ,连结 EG 、 BG 在CDF 和BDG 中GBDCDBDCDFBDGFDGD CDFBDGBGCF ,FCDA90ABCACB90ABCGBD90在EDF 和EDG 中11 / 12名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - ED EDEDFEDG90FDGDEDG EDFEFEG故以线段 BE 、 EF 、 FC 为边能构成一个直角三角形【作业 3】 AD 是ABC 的中线, F 是 AD 的中点, BF 的延长线交AC 于 E 求证：AE1AC 3A AE EF F GB D C B D C【解析】取 EC 的中点 G ,连接 DG 易得 DGBE,1F 为 AD 的中点,所以 AE EG ,从而可证得：AE AC 3【作业 4】如图,在五边形 ABCDE中,ABC AED 90,BAC EAD,F为CD的中点 求证：BF EF A AM NB BE EC F D C F D【解析】取 AC 中点 M , AD 中点 N 连结 MF 、 NF 、 MB 、 NE ,就依据直角三角形斜边中线的性质及中位线的性质有 MF 1AD NE ,NF 1AC MB , MFAD, NFAC,2 2 DNF CAD CMF ,BM AM ,MBA CAB BMC MBA CAB 2 CAB 同理可证 DNE 2 DAE BAC EAD ,BMC END BMC CMF FND DNE ,即 BMF ENF , MBFNFE,BF EF 12 / 12名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页
