2022年全国高中数学联赛竞赛大纲及部分定理内容.docx
_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 读书破万卷 下笔如有神全国高中数学联赛竞赛大纲（修订稿）在“ 普及的基础上不断提高” 的方针指引下,全国数学竞赛活动方兴未艾,特殊是连续几年我国选手在国际数学奥林匹克中取得了可喜的成果,之兴奋, 热忱不断高涨, 数学竞赛活动进入了一个新的阶段；使广大中学校师生和数学工作者为 为了使全国数学竞赛活动长久、健康、 逐步深化地开展,应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求,特制定数学竞赛大纲以适应当前形势的需要；本大纲是在国家教委制定的全日制中学“ 数学教学大纲” 的精神和基础上制定的；教学大纲 在教学日的一栏中指出：“ 要培育同学对数学的爱好,鼓励同学为实现四个现代化学好数学的积极性” ；详细作法是： “ 对学有余力的同学,要通过课外活动或开设选修课等多种方式, 充分进展他们的数学才能” ,“ 要重视才能的培育 .,着重培育同学的运算才能、规律思维才能和空间想象才能,要使同学逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法；同时,要重视培育同学的独立摸索和自学的才能” ；命题要求 ： 依据现行“ 高中数学竞赛大纲” 的要求,“ 全国高中数学联赛（一试）” 所涉及的学问范畴不超过训练部 2022 年全日制一般高级中学数学教学大纲中所规定的教学要求和内容,但在方法的要求上有所提高主要考查同学对基本学问和基本技能的把握情形,以及综合运用和敏捷运用的才能；试卷包括6 道挑选题, 6 道填空题和3 道解答题,全卷满分为 150 分；“ 全国高中数学联赛加试（二试）”与国际数学奥林匹克接轨,在学问方面有所扩展；适当增加一些教学大纲以外的内容,试卷包括 3 道解答题, 其中一道是平面几何题,全卷满分为 150 分；参赛对象：在校高中同学,坚持以自愿原就报名参与竞赛；参与“全国高中数学联赛”的同学可以自愿挑选是否参与“ 联赛加试”；但是有意参与全国中学数学冬令营的同学必需两次考试都参与,并把两次考试的总分作为选拔冬令营营员的标准；教学大纲中所列出的内容,是教学的要求,也是竞赛的最低要求；在竞赛中对同样的学问内容的懂得程度与敏捷运用才能,特殊是方法与技巧把握的娴熟程度,有更高的要求；而“ 课堂教学为主,课外活动为辅” 是必需遵循的原就；因此, 本大纲所列的课外讲授内容必需充分考虑同学的实际情形,分阶段、分层次让同学逐步地去把握,并且要贯彻“ 少而精”的原就,这样才能加强基础,不断提高；一试全国高中数学联赛的一试竞赛大纲,完全依据全日制中学数学教学大纲 中所规定的教学要求和内容, 即高考所规定的学问范畴和方法,在方法的要求上略有提高,其中概率和微积分初步不考；二试1、平面几何_精品资料_ - - - - - - -第 1 页,共 5 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 读书破万卷 下笔如有神基本要求：把握中学数学竞赛大纲所确定的全部内容；补充要求：面积和面积方法；几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理；几个重要的极值： 到三角形三顶点距离之和最小的点- 费马点； 到三角形三顶点距离的平方和最小的点 - 重心；三角形内到三边距离之积最大的点- 重心；几何不等式；简洁的等周问题；明白下述定理：在周长肯定的边形的集合中,正边形的面积最大；在周长肯定的简洁闭曲线的集合中,圆的面积最大；在面积肯定的边形的集合中,正边形的周长最小；在面积肯定的简洁闭曲线的集合中,圆的周长最小；几何中的运动：反射、平移、旋转；复数方法、向量方法；平面凸集、凸包及应用；2、代数 在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期,带肯定值的函数的图像；三倍角公式,三角形的一些简洁的恒等式,三角不等式；其次数学归纳法；递归,一阶、二阶递归,特点方程法；函数迭代,求次迭代,简洁的函数方程；个变元的平均不等式,柯西不等式,排序不等式及应用；复数的指数形式,欧拉公式,棣美弗定理,单位根,单位根的应用；圆排列,有重复的排列与组合,简洁的组合恒等式；_精品资料_ - - - - - - -第 2 页,共 5 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 读书破万卷 下笔如有神一元 n 次方程（多项式）根的个数,根与系数的关系,实系数方程虚根成对定理；简洁的初等数论问题,除中学大纲中所包括的内容外,仍应包括无穷递降法,同余,欧几里 得除法,非负最小完全剩余类,高斯函数,费马小定理,欧拉函数,孙子定理,格点及其性 质；3、立体几何 多面角,多面角的性质；三面角、直三面角的基本性质；正多面体,欧拉定理；体积证法；截面,会作截面、表面绽开图；4、平面解析几何 直线的法线式,直线的极坐标方程,直线束及其应用；二元一次不等式表示的区域；三角形的面积公式；圆锥曲线的切线和法线；圆的幂和根轴；5、其它 抽屉原理；容斤原理；极端原理；集合的划分；掩盖；_精品资料_ - - - - - - -第 3 页,共 5 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 读书破万卷 下笔如有神数学竞赛中几个重要定理1、 梅涅劳斯定理 ：假如在ABC 的三边 BC、CA 、AB 或其延长线上有点 D、BD CE AFE、F 且 D、E、F 三点共线,就 DC EA FB =1 2、 梅涅劳斯定理的逆定理：假如在ABC 的三边 BC、CA、 AB 或其延长线上BDCEAFN、P、有点 D、E、F,且满意DCEAFB=1,就 D、E、F 三点共线；3、 塞瓦定理 ：设 O 是 ABC 内任意一点, AO 、 BO、CO 分别交对边于M ,就AMBNCP1MBNCPA4、 塞瓦定理的逆定理：设 M 、 N、 P 分别在ABC 的AM BN CP 1边 AB 、BC、CA 上,且满意 MB NC PA,就 AN 、BP、 CM 相交于一点；5、 广勾股定理的两个推论：推论 1：平行四边形对角线的平方和等于四边平方和；推论 2：设 ABC 三边长分别为 a、 b、c,对应边上中线长分别为 ma、mb、mc 1 2 b 22 c 2a 2 1 2 a 22 c 2b 2 1 2 a 22 b 2c 2就： ma= 2；mb= 2；mc= 26、 三角形内、外角平分线定理：BD AB内角平分线定理：如图：假如1=2,就有 DC AC外角平分线定理：如图,AD 是 ABC 中 A 的外角平分线交 BC 的延长线与 D,BD AB就有 DC AC7、 托勒密定理 ：四边形 ABCD 是圆内接四边形,就有 AB ·CD+AD · BC=AC ·BD 8、 三角形位似心定理：如图,如ABC 与 DEF 位似,就通过对应点的三直线AD 、BE、_精品资料_ - - - - - - -第 4 页,共 5 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 读书破万卷 下笔如有神CF 共点于 P abc2 R（R 为 ABC 外接圆半径）9、 正弦定理 、在ABC 中有sinAsinBsinC余弦定理 ：a、b、c 为 ABC 的边,就有：c 2=a2+b2-2ab·cosC; a 2=b2+c2-2bc·cosA; b2=a 2+c2-2ac·cosB; 10、西姆松定理 ：点 P 是 ABC 外接圆周上任意一点,PDBC,PEAC ,PFAB ,D、E、F 为垂足,就 D、E、F 三点共线,此直线称为西姆松线；11、欧拉定理 ： ABC 的外接圆圆心为 O,半径为 R,内切圆圆心为 I,半径为 r,记 OI=d,就有： d 2=R 2-2Rr. 12、巴斯加线定理 ：圆内接六边形 ABCDEF （不论其六顶点排列次序如何）,其三组对边AB 与 DE、BC 与 EF、CD 与 FA 的交点 P、Q、R 共线；_精品资料_ - - - - - - -第 5 页,共 5 页
