2022年高一数学对数函数测试题.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本对数函数· 例题解析【例1】 1求函数y =log13 x2 的定义域1x的定义2x22求函数y =11xa a ,且 1的定义域loga3已知函数fx的定义域是0,1,求函数y = flog 33域log 12 32 xx 210 3 x 21 2 xx 1102 x 13 x 2 1 2解 1由0 3 x 2 2 x 1 0 x或 x2 x 1 2 32 x 10 x12 x2 11 121 2 2x2 或 3 3 11x2 所求定义域为 x| 2 x 13解 21logaxa0, logaxa1当 a1 时, 0xaa,函数的定义域为 a, 0当 0a1 时, xaa,函数的定义域为 0, 解 3fx 的定义域为 0,1,函数 y = flog 3 1x 有意义,3必需满意 0log 33x ,即 log 13 1log 33xlog 13 3,13 8 8x , 故函数 y = flog 3x 的定义域为 2,3 3 3x10【例2】已知函数 y = x,试求它的反函数,以及反函数的定义1 10域和值域名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本解已知函数的定义域为R,y =110xx 1,由y =1x 10得1010 x1y10 = y x,10 = x y0 0 ,即为函数的值域1 y由 10 x = y得 x = lg y,即反函数 f 1x = lg x1 y 1 y 1 x反函数的定义域为 0, 1,值域为 yR【例 3】作出以下函数的图像,并指出其单调区间1y=lg x,2y=log 2|x1| 3y =|log x1|,4ylog 1x2解1y=lg x的图像与 y=lgx 的图像关于y 轴对称,如图283 所示,单调减区间是 , 0解 2先作出函数 y=log 2|x|的图像,再把它的图像向左平移 1 个单位就得 ylog2|x1|的图像如图 284 所示单调递减区间是 , 1单调递增区间是 1, 解 3 把 y = log x 1 的图像向右平移 1 个单位得到 y = log 1 x12 2的图像,保留其在 x 轴及 x 轴上方部分不变,把 x 轴下方的图像以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方,就得到 y =|log x 11| 的图像如图 2 52所示单调减区间是 1,2单调增区间是 2, 名师归纳总结 解4函数 y=log 2x的图像与函数y=log 2x 的图像关于y 轴对称,故可第 2 页,共 7 页先作 y=log 2x的图像, 再把 y log2x的图像向右平移1 个单位得到y=log 21x的图像如图286 所示单调递减区间是, 1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本【例 4】图 28 7 分别是四个对数函数,y=log axy=log bxy=log cxy=log dx 的图像,那么a、b、c、d 的大小关系是x1 的值,易得 Adc ba Ba bcd b a1dCba dc Dbcad 解选 C,依据同类函数图像的比较,任取一个c应选 C【例 5】已知 loga3logb3,试确定 a 和 b 的大小关系解法一 令 y1=log ax,y2=logbx,logaxlogb3,即取 x3 时,y1y2,所以它们的图像,可能有如下三种情形：1当 loga3logb30 时,由图像 2当 0loga3logb3 时,由图像 3当 loga30logb3 时,由图像288,取 x=3 ,可得 ba1289,得 0ab12810,得 a1b 0解法二由换底公式,化成同底的对数1b ,log b 3log a 3 ,当log 3 alog 3 b 时,得1alog3log3函数 y=log 3x 为增函数, ba1名师归纳总结 当log 3 blog 3 a 时,得1b1a ,0log b 3log a 3,第 3 页,共 7 页log3log3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本函数 y=log 3x 为增函数, 0ab当log 3 a log 3 b 时,得1a01blog a 30log b 3,log3log3即 a1b0【例6】如 a 2 ,就 log a a、log b b、log a b、log b a 的大小b a次序是： _解a 2 , a ,b ,log a a ,log b bb a b a0, log a ,log b 由 a 2 得 b log b blog aa a1,故得：log a alog b blog alog bb a说明 此题解决的思路,是把已知的对数值的正负,或大于 1,小于 1 分组,即借助 0、1 作桥梁这个技巧,使问题得以解决【例 7】设 0x1, a1,且 a 1,试比较 |loga1 a|与|loga1x|的大小解法一 求差比大小|loga1 x|loga1x| =| lg1 lgax| |lg 1lgax| x1 |lg |lg1x| |lg1x|=1 |lga|lg1xlg1x =1·lg12 x 0|lg |a|loga1x|loga1x| 解法二1求商比较大小1x|log x|log |log 1x|log 1x=|log 1+x 1x|=log1+x1x 1x1,而 01x 1 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本原式= log1+x11x= log1+x1xlog1+x1x = 11x2|loga1x|loga1x| 【例8】已知函数fx = log x a1x2a ,且 1,判定其奇偶性解法一 已知函数的定义域为 R,就 xRfx = log 1+ x 2x2 2 1 x x 1 x x = log a 21 x x1 x 2 x 2= log a 21 x x1= log a1 x 2 x2= log a 1 x x f x fx 是奇函数解法二已知函数的定义域为Rxlog 1+ x2x由fxfx = log 1+ x a2= loga1+ x2x1+ x2x=loga1=0 fx= fx ,即 fx 为奇函数【例9】 1已知函数fx = log21xx,那么它在0,1上是增函数仍是减函数？并证明2争论函数 y=log aax1的单调性其中 a0,且 a 11证明 方法一 fx 在 0, 1上是增函数设任取两个值 x1,x20,1,且 x1x2x 1 x 2fx fx = log 2log 21 x 1 1 x 2x 11 x 1 x 1 1 x 2 = log 2 x 2 log 2x 2 1 x 1 1 x 2= log x x 12 x xx x 22log 2 xx 22 x xx x 22 = 00x1x21, x1x1x2x2x1x2名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本fx 1fx 2 故 fx 在 0,1上是增函数x 1方法二 令 u = 11 x x 11u = 1在 0,1 上是增函数,又u ,y = log u 2 在 0,x 1x 上是增函数,fxlog 2 在 0,1 上是增函数1 x2解 由对数函数性质,知 ax1 0,即 ax1,于是,当 0a1 时,函数的定义域为 , 0,当 a 1 时,定义域为 0, 当 0a1 时, uax1 在, 0上是减函数,而y=log aax 1在, 0上是增函数y=logau 也是减函数,当 a1 时, uax 1 在 0, 上是增函数,而y=log au 也是增函数,ylogaax1在0, 上是增函数综上所述,函数y=log aax1在其定义域上是增函数名师归纳总结 【例 10】1设 0a1,实数 x、y 满意 logax 3logxalogxy=3,第 6 页,共 7 页假如y有最大值2,求这时a 与 的值42争论函数fx=log2x3log1x2的单调性及值域122解1由已知,得log x a3xlogay= 3,log y = log x a alogalogax3log x3 = log x323240 ,log y a关于 为减函数即y 有最大值2时,log y a4有最小值 loga24当log x = 3 a 2时,loga2=3,44- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本a32,x = a3,得a = 1 4,x =14248解 2设t = log x 1,就 , ,且t = log x 1是0, 上的22减函数ft =t23t 是 ,2 3上的增函数,是3, 上的 2,22减函数t =3时,x = 2 22函数fx =log x 213log x 1 在0,2 2上是增函数,在222 上是减函数名师归纳总结 又fx =t321,值域是,1第 7 页,共 7 页244- - - - - - -
