2022年高一数学集合、函数知识点总结、相应试题及答案.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 第一章 集合与函数概念一、集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：1元素的确定性如：世界上最高的山2元素的互异性如：由HAPPY 的字母组成的集合H,A,P,Y 3 元素的无序性 : 如： a,b,c 和 a,c,b 是表示同一个集合3.集合的表示： 如： 我校的篮球队员 度洋 ,北冰洋 ,太平洋 ,大西洋 ,印1 用拉丁字母表示集合：A= 我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 2 集合的表示方法：列举法与描述法；留意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作： N 实数集 R 正整数集N* 或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 1） 列举法： a,b,c 2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法；xR| x-3>2 ,x| x-3>2 3） 语言描述法：例：不是直角三角形的三角形4） Venn 图: 4、集合的分类：1 有限集含有有限个元素的集合例： x|x2= 52 无限集含有无限个元素的集合3 空集不含任何元素的集合二、集合间的基本关系1.“ 包含” 关系子集留意：AB有两种可能（ 1）A 是 B 的一部分,；（2）A 与 B是同一集合；名师归纳总结 反之 : 集合 A 不包含于集合B,或集合 B 不包含集合 A,记作 AB 或第 1 页,共 32 页BA 2“ 相等” 关系：A=B 5 5,且 55,就 5=5 实例：设A=x|x2-1=0 B=-1,1 “ 元素相同就两集合相等”即：任何一个集合是它本身的子集；AA 真子集 :假如 AB,且 AB 那就说集合A 是集合 B 的真子集,记作 AB或 BA - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 假如AB, BC ,那么AC 假如 A B 同时 B A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为 规定 : 空集是任何集合的子集,有 n 个元素的集合,含有三、集合的运算空集是任何非空集合的真子集；2n个子集, 2n-1个真子集运算交集并集补集类型定由全部属于A 且属由全部属于集合A 或设 S 是一个集合, A 是义于 B 的元素所组成属于集合B 的元素所S 的一个子集,由S 中韦的集合 ,叫做 A,B 的组成的集合,叫做 A,B全部不属于A 的元素交集 记作AB的并集 记作： AB组成的集合, 叫做 S 中（读作A 交 B ）,（读作A 并 B）,子集A 的补集 （或余即 AB= x|xA ,即 AB =x|xA,集）且 xB或 xB记作CSA,即CSA=x|xS ,且 xA ABABS A 恩图 1图 2图示名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 性AA=A AA=A C uA CuB 质A = A A =A A = C u AB AB=BAB=BC uA CuB ABA AB= C uAB ABB ABB ACuA=U ACuA= 例题：1.以下四组对象,能构成集合的是（）A 某班全部高个子的同学 B 闻名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数2.集合 a,b, c 的真子集共有 个3.如集合 M=y|y=x 2-2x+1,x R,N=x|x 0 ,就 M 与 N 的关系是 . 4.设集合 A= x 1 x 2,B= x x a ,如 A B,就 a 的取值范畴是5.50 名同学做的物理、化学两种试验,已知物理试验做得正确得有40 人,化学试验做得正确得有31 人,人； . 两种试验都做错得有4 人,就这两种试验都做对的有6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M= 7.已知集合 A=x| x2+2x-8=0, B=x| x2-5x+6=0, C=x| x2-mx+m2-19=0, 如 BC ,AC= ,求 m 的值1 已知 A= x -3<x<5,B=x x<a ,如满意 A B,就实数 a 的取值范畴是 ; 2 已知集合 = x x2+x-6=0,集合 = y ay+1=0,如满意 B A, 就实数 a 所能取的一切值为 . （3 ）已知集合 A x | a x 5 ,B x | x 2 ,且满意 A B,求实数a的取值范畴；二、函数的有关概念1函数的概念： 设 A、B 是非空的数集, 假如依据某个确定的对应关系 f,使对于集合A 中的任意一个数x,在集合B 中都有唯独确定的数 fx 和它对应, 那么就称 f：A B 为从集合 A 到集合 B 的一名师归纳总结 个函数记作：y=fx ,xA其中, x 叫做自变量, x 的取值范第 3 页,共 32 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的y 值叫做函数值, 函数值的集合 fx| x A 叫做函数的值域留意：1定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域；求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：1 分式的分母不等于零；2 偶次方根的被开方数不小于零；3 对数式的真数必需大于零；4 指数、对数式的底必需大于零且不等于 1. 5 假如函数是由一些基本函数通过四就运算结合而成的 .那么,它的 定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合 . 6 指数为零底不行以等于零,7 实际问题中的函数的定义域仍要保证明际问题有意义 . 相同函数的判定方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；定义域一样两点必需同时具备 见课本 21 页相关例 2 2值域 : 先考虑其定义域 1 观看法 2 配方法 3 代换法 3. 函数图象学问归纳1 定义：在平面直角坐标系中,以函数y=fx , x A中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵坐标的点 Px,y的集合 C,叫做函数 y=fx,x A 的图象 C 上每一点的坐标 x,y 均满意函数关系 y=fx ,反 x、y 为坐标的点 x,y,过来,以满意 y=fx 的每一组有序实数对 均在 C 上 . 2 画法 A、描点法：B、 图象变换法 常用变换方法有三种 1 平移变换 2 伸缩变换 3 对称变换 4区间的概念（1 ）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2 ）无穷区间（3 ）区间的数轴表示5映射名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一般地,设 A、 B 是两个非空的集合,假如按某一个确定的对应法就 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射；记作“f（对应关系）： A（原象）B（象）”对于映射 f：A B 来说,就应满意：1 集合 A 中的每一个元素,在集合 2 集合 A 中不同的元素,在集合B 中都有象,并且象是唯独的；B 中对应的象可以是同一个；3 不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象；6.分段函数 1 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数；2 各部分的自变量的取值情形3 分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并 集补充：复合函数假如 y=fuu M,u=gxxA, 就 y=fgx=FxxA 称为f、g 的复合函数；二函数的性质 1.函数的单调性 局部性质 （1 ）增函数 设函数 y=fx 的定义域为 I,假如对于定义域 I 内的某个区间 D x 1,x 2,当 x1<x 2 时,都有 fx 1<fx 2,那么 内的任意两个自变量 就说 fx 在区间 D 上是增函数 .区间 D 称为 y=fx 的单调增区间 . 假如对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x 1<x 2 时,都有 fx 1fx 2,那么就说 fx 在这个区间上是减函数 .区间 D 称为 y=fx 的单调减区间 . 留意：函数的单调性是函数的局部性质；（2 ） 图象的特点 假如函数 y=fx 在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=fx 在这一区间上具有严格的 单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的 . 3. 函数单调区间与单调性的判定方法 A 定义法：1 任取 x 1,x 2D,且 x 1<x 2；2 作差 fx 1fx 2；3 变形（通常是因式分解和配方）；名师归纳总结 4 定号（即判定差fx 1fx 2的正负）；第 5 页,共 32 页5 下结论（指出函数fx 在给定的区间D 上的单调性）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - B图象法 从图象上看升降 C复合函数的单调性复合函数fgx 的单调性与构成它的函数u=gx ,y=fu 的单调性亲密相关,其规律：“ 同增异减”留意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性 相同的区间和在一起写成其并集 . 8函数的奇偶性（整体性质）（1 ）偶函数一般地,对于函数fx 的定义域内的任意一个x,都有 fx=fx ,那么 fx 就叫做偶函数（2 ）奇函数一般地,对于函数 fx 的定义域内的任意一个 那么 fx 就叫做奇函数（3 ）具有奇偶性的函数的图象的特点x,都有 f x= fx ,偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称利用定义判定函数奇偶性的步骤：1 第一确定函数的定义域,并判定其是否关于原点对称；2 确定 f x与 fx 的关系；3 作出相应结论：如fx = fx 或 f x fx = 0 ,就 fx是偶函数； 如 f x = fx 或 f x fx = 0 ,就 fx 是奇函数留意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条 件第一看函数的定义域是否关于原点对称,如不对称就函数是非奇非偶函数 .如对称,1 再依据定义判定; 2 由 f-x ± fx= 0 或 fxf-x= ± 1 来判定 ; 3 利用定理,或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式（1 ）.函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的 函数关系时,一是要求出它们之间的对应法就,二是要求出函数的 定义域 . （2 ）求函数的解析式的主要方法有：凑配法 1 2 待定系数法 3 换元法 4 消参法 p36 页）10 函数最大（小）值（定义见课本1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值2 利用图象求函数的最大（小）值3 利用函数单调性的判定函数的最大（小）值：名师归纳总结 假如函数y=fx 在区间 a ,b 上单调递增,在区间b ,c 上单调递第 6 页,共 32 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 减就函数 y=fx 在 x=b 处有最大值 fb ；假如函数 y=fx 在区间 a ,b 上单调递减,在区间 b ,c 上单调递增就函数 y=fx 在 x=b 处有最小值 fb ；例题：1.求以下函数的定义域： y x 22 x 15 y 1 x 1 2x 3 3 x 12.设函数 f x 的定义域为 0,1 ,就函数 f x 2 的定义域为 _ _ 3.如函数 f x 1 的定义域为 2,3 ,就函数 f 2 x 1 的定义域是x 2 x 14.函数 f x x 2 1 x 2,如 f x 3,就 x= 2 x x 25.求以下函数的值域：yx22x3xR y2 x2x3x1,2；,0时f x = 3yx1 2x4yx24x56.已知函数f x1x24x ,求函数f x ,f2 x1 的解析式7.已知函数f x 满意 2 fx 3 x4,就f x = 8.设 f x 是 R 上的奇函数,且当x0,时,f x x 13x ,就当xf x 在 R 上的解析式为9.求以下函数的单调区间：y2 x2x3yx22x3yx2f6xf110. 判定函数yx31的单调性并证明你的结论1 xx11. 设函数fx 1x2判定它的奇偶性并且求证：1x2（数学 1 必修）第一章（上）集合基础训练 A 组 一、挑选题名师归纳总结 1以下各项中,不行以组成集合的是（）第 7 页,共 32 页A全部的正数B等于 2 的数- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - C接近于 0 的数 D不等于 0 的偶数2以下四个集合中,是空集的是（|y2）x2,x ,yR B Ax|x33Bx ,y Cx|x20 Dx|x2x1）,0xR 3以下表示图形中的阴影部分的是（A ACBCA C B ABACC AB BCD ABC4下面有四个命题：（1）集合 N 中最小的数是 1；（2）如a不属于 N ,就a属于 N ；）（3）如aN,bN,就ab的最小值为 2 ；（4）x212x的解可表示为1,1；其中正确命题的个数为（）A 0 个B 1个C 2 个D 3 个5如集合Ma b c中的元素是ABC 的三边长,就 ABC 肯定不是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰三角形6如全集U0,1,2,3且C A2,就集合A的真子集共有（A 3 个B 5 个C 7 个D 8 个二、填空题名师归纳总结 1用符号“” 或“,” 填空16 _N第 8 页,共 32 页（1） 0 _N , 5 _N , （2）1 _ 2Q_Q e_C Q （ e是个无理数）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3）2323 _x xa6 , b aQ bQ2. 如集合Ax x6,xN,Bx x是非质数, CAB ,就 C 的非空子集的个数为；7,B_3如集合Ax|3xx| 2x10,就 AB4设集合Ax3x2,Bx2 k1x2 k1,且 AB ,_；就实数 k 的取值范畴是；2x1 ,B5已知Ay yx2y y2x1,就 AB三、解答题1已知集合Ax,N|68xN,试用列举法表示集合A ；2已知Ax2x5,Bx m1x2 m1, BA ,求 m的取值范畴；3已知集合Aa2a1, 3 ,Ba3,2a1,a21,如AB3,求实数 a 的值；4设全集nUR,Mm|方程mx2x10 有实数根,N.Nn|方程x2x0有实数根求C M（数学 1 必修）第一章（上）集合 综合训练 B 组 一、挑选题1以下命题正确的有（）（1）很小的实数可以构成集合；名师归纳总结 （2）集合y|y1x21与集合x ,y|yx21是同一个集合；第 9 页,共 32 页（3）1,3 6 ,2 4,0.5这些数组成的集合有5个元素；2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （4）集合x ,y|xy,0x ,yR是指其次和第四象限内的点集；A 0 个B 1个C 2 个D 3 个A,就 m的值为（）2如集合A1 1,Bx|mx1,且ABA1B1C 1或1D 1或1或 020,xR yR ,就有（3如集合M , x y xy0 ,N , x y x2yA MNMBMNNCMNMD MN4方程组xy219的解集是（）x 2y5 ,4；A 5,4B,54C5 , 4D0 ,xZ5以下式子中,正确选项（）A RRBZx|xC空集是任何集合的真子集D6以下表述中错误选项（）A 如AB ,就ABAB如ABB,就ABCAB AABDC UABC UAC UB二、填空题1用适当的符号填空名师归纳总结 2设（ 1）3_x|x2,12_x ,y|yx1第 10 页,共 32 页（ 2）25_x|x23,3（ 3）x|1x xR_3 x xx0x4 或xUR ,Ax|axb,C UAx|x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就a_,b_；3某班有同学 55 人,其中体育爱好者43 人,音乐爱好者34人,仍有 4 人既不爱好体育也人；不爱好音乐,就该班既爱好体育又爱好音乐的人数为4如A1,4,x,B1,x2且 ABB ,就 xa 的取值范畴；5已知集合Ax|ax23x20 至多有一个元素,就如至少有一个元素,就a的取值范畴；三、解答题1设y2 xaxb Ax yxa,Ma b,求 MR , 2x802设Ax x24x0,Bx x22a1 xa210,其中 x假如 ABB ,求实数 a的取值范畴；5xx x260,C3集合Ax x2axa2190,Bx x2满意AB,AC,求实数 a 的值；x x2m1xm0；4设 UR ,集合Ax x23x20,B如CUA B,求 m的值；（数学 1 必修）第一章（上）集合 提高训练 C 组 一、挑选题名师归纳总结 1 如集合Xx x1,以下关系式中成立的为（）40 人和 31 人,第 11 页,共 32 页A 0XB 0XCXD 0X2 50 名同学参与跳远和铅球测验,跳远和铅球测验成果分别为及格2 项测验成果均不及格的有4 人, 2 项测验成果都及格的人数是（）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A 35 B 25C 28D1510 ,如AR,就实数 m的取值范畴是（）3已知集合Ax x2mxA m4Bm44C0m4D0m4以下说法中,正确选项（）A任何一个集合必有两个子集；B 如AB,就A B 中至少有一个为C 任何集合必有一个真子集；D 如 S 为全集,且ABS 就ABS,）Z,就（）5如 U 为全集,下面三个命题中真命题的个数是（1）如AB,就C UAC UBU（2）如ABU,就C UAC UB（3）如AB,就ABA 0 个B 1个C 2 个D 3 个6设集合Mx|xk1,kZ ,Nx|xk1,k2442AMNB MNB（）C NMD MN7设集合Ax x2x0,Bx x2x0,就集合 AA 0B 0CD1,0,1二、填空题名师归纳总结 1已知MNy|yx24x；,3xR,Ny|yx22x,8xR第 12 页,共 32 页就M_- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2用列举法表示集合：M10 m m1Z mZ= ；3如Ix x1,xZ,就CIN= ；B） C,N；x4, A4设集合A1,2 ,B1,2,3 ,C2,3,4就（y2 21 , x y y5设全集U , x y x yR ,集合M , x那么 C M C N等于 _；三、解答题1如Aa,b,Bx|xA,MA,求CBM.A,C0z zx2,xA , 2已知集合Ax| 2xa,By y2x3,x且 CB ,求 a 的取值范畴；1, 2x1,假如CSA,就这样的3全集S1,3,3 x3 x22x ,A实数 x 是否存在？如存在,求出x ；如不存在,请说明理由；4设集合 A 1,2,3,.,10 , 求集合 A 的全部非空子集元素和的和；（数学 1 必修）第一章（中）函数及其表示基础训练 A 组 一、挑选题名师归纳总结 1判定以下各组中的两个函数是同一函数的为（）第 13 页,共 32 页y1x3 x5 ,y2x5；x3y1x1x1,y2x1 x1；fxx,gx x2；f x 3x43 x,F x 3 x x1；f1x 2x52,f2x2x5；A 、B、CD、2函数yf x的图象与直线x1的公共点数目是（A 1B 0C 0 或 1D 1或 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3已知集合A1,2,3,k,B4,7,a4,a23 a ,且aN* ,xA yB使 B 中元素 y 3 x 1 和 A 中的元素 x 对应,就 a k 的值分别为（）A 2,3 B 3,4 C 3,5 D 2,5x 2 x 124已知 f x x 1 x 2,如 f 3,就 x 的值是（）2 x x 2A 1 B1或3 C 1,3 或 3 D32 25为了得到函数 y f 2 x 的图象,可以把函数 y f 1 2 x 的图象适当平移,这个平移是（）1A 沿 x 轴向右平移 1个单位 B沿 x 轴向右平移 个单位21C沿 x 轴向左平移 1个单位 D沿 x轴向左平移 个单位2x 2 , x 10 6设 f x 就 f 5 的值为（）f f x 6 , x 10 A 10 B 11 C 12 D 13二、填空题名师归纳总结 1设函数fx 1x1 x0,faa.就实数 a 的取值范畴是；9,第 14 页,共 32 页2x如10 .x2函数yx2的定义域；x243如二次函数yax2bxc的图象与 x 轴交于A 2,0,B4,0,且函数的最大值为就这个二次函数的表达式是；4函数yx0 1的定义域是 _xx5函数fxx2x1的最小值是 _- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 三、解答题1求函数f 3x1的定义域；1 xm10的两个实根, 又y2 x 1x 22,x12求函数yx2x1的值域；3x x 是关于 x 的一元二次方程x22m求yf m 的解析式及此函数的定义域；在 1,3 有最大值 5 和最小值 2 ,求 a 、b 的值；4已知函数f x 2 ax2 ax3b a0（数学 1 必修）第一章（中）函数及其表示综合训练 B 组 一、挑选题名师归纳总结 1设函数f 2x3,g x2f x ,就g x 的表达式是（）第 15 页,共 32 页A 2x1B 2x1C 2x3D 2x72函数fx2cx3,x3满意ffxx,就常数 c等于（）x2A 3B3C3或3D5或33已知gx12x,fgx1xx2x0 ,那么f1等于（）22A 15B 1C 3D 304已知函数yfx1 定义域是 2,3 ,就 yf2x1 的定义域是（A 0,5B. 1,4 2C. 5,5 D. 3,7 5函数y22 x4x 的值域是（）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A 2,2 B 1,2C 0, 2D 2,2）6已知f 11x1x2,就f x 的解析式为（2x1xA1x2B12x2xxC12x2D1x2xx二、填空题1如函数f 3x24x0；x0,就ff0= 2如函数f 2x0x01x22x,就f3= . 3函数f x 2x21x3的值域是；24已知