2022年工程力学电子教案第九章.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第九章 压杆稳固第一节 压杆稳固的概念其次节 两端铰支瘦长压杆的临界压力第三节 其他支座条件下瘦长压杆的临界压力教学时数： 2 学时教学目标：1、 解受压杆件的失稳,可导致整个机器或结构的损坏；2、通过对本章的学习,懂得平稳、不平稳的稳固性与压杆失稳的概念,懂得并能娴熟地应用瘦长压杆的临界载荷欧拉公式、超过比例极限时压杆的临界力体会公式,临界应力总图；把握压杆稳固性设计的步骤、提高压杆稳固性的措施；教学重点：1、压杆稳固的基本概念；2、瘦长压杆临界荷载的欧拉公式及其应用；重点讲解中心受压直杆失稳概念、实际压杆与中心受压直杆的区分、强度破坏与失稳破坏的区分；重点：压杆稳定的概念；欧拉公式；教学难点：欧拉公式的推导；教学方法： 板书 PowerPoint, 采纳启示式教学和问题式教学法结合,通过提问, 引导同学摸索,让同学回答疑题,激发同学的学习热忱；教 具：教学步骤：（复习提问）（引入新课）（讲授新课）名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载§9-1 压杆稳固的概念构件除了强度、刚度失效外,仍可能发生稳 定失效；例如,受轴向压力的瘦长杆,当压力超 过肯定数值时,压杆会由原先的直线平稳形式突 然变弯（图 1a）,致使结构丢失承载才能；又如,狭长截面梁在横向载荷作用下,将发生平面弯曲,但当载荷超过肯定数值时,梁的平稳形式将突然图 1 而突然变为非圆对称的平稳形变为弯曲和扭转（图1b）；受匀称压力的薄圆环,当压力超过肯定数值时,圆环将不能保持圆对称的平稳形式,式（图 1c）；上述各种关于 平稳形式的突然变化,统称为 稳固失效 ,简称为 失稳或屈曲 ；工程中的柱、桁架中的压杆、薄壳结构及薄壁容器等,在有压力存在时,都可能发生失稳；由于构件的失稳往往是突然发生的,因而其危害性也较大；历史上曾多次发生因构件失稳而引起的重大事故；如 1907 年加拿大劳伦斯河上,跨长为 548 米的奎拜克大桥,因压杆失稳,导致整座大桥倒塌；近代这类事故仍时有发生；因此,稳固问题在工程设计中占有重要位置；“ 稳固” 和“ 不稳固” 是指物体的平稳性质而言；例如,图 2a 所示处于凹面的球体,其平稳是稳固的,当球受到微小干扰,偏离其平稳位置后,经过几次摇摆,它会重新回到原先的平稳位置；图 2b 所示处于凸面的球体,当球受到微小干扰,它将偏离其平稳位置,而不再复原原位,故该球的平稳是不稳固的；图 2 受压直杆同样存在类似的平稳性质问题；例如,图 3a所示下端固定、上端自由的中心受压直杆,当压力 P 小于某一临界值 P 时,杆件的直线平衡形式是稳固的； 此时,杆件如受到某种微小干扰,它将偏离直线平稳位置,产生微弯（3b）；当干扰撤除后,杆件又回到原先的直线平稳位置（图 3c）；但当压力 P 超过临界值 P 时,撤除干扰后,杆件不再回到直线平稳位置,而在弯曲形式下保持平稳（图 3d）,这说明原有的直线平稳形式是不稳固的； 使中心受压直杆的直线平稳形式,由稳固平稳转变为不稳固平稳时所受的轴向压力,称为临界载荷, 或简称为 临界力 ,用 P 表示；为了保证压杆安全牢靠的工作,必需使压杆处于直线平稳形式,因而压杆是以临界力作为其极限承载图 3 压杆的稳固运算才能；可见,临界力的确定是特别重要的；本章主要争论中心受压直杆的稳固问题；争论确定压杆临界力的方法,和提高压杆承载才能的措施；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载§9.2 两端铰支瘦长压杆的临界压力依据压杆失稳是由直线平稳形式转变为弯曲平稳形式的这一重要概念,可以预料, 凡是影响弯曲变形的w w 因素,如截面的抗弯刚度EI ,杆件长度 l 和两端的约束情形, 都会影响压杆的临界力；确定临界力的方法有静力法、 能量法等； 本节采纳静力法,以两端铰支的中心受压直杆为例,说明确定临界力的基本方法；两端铰支中心受压的直杆如图4a 所示；设压杆处于临界状态, 并具有微弯的平稳形式,如图 b 所示；建图 4 图 1 立wx坐标系,任意截面（x ）处的内力（图4c）为FNP压力,MPw在图示坐标系中,依据小挠度近似微分方程令k2Pd2wM,得到（a）dx2EId2wPwdx2EI,得微分方程0EId2wk2wdx2此方程的通解为利用杆端的约束条件,xwA sinkxBcos kx0 w0,得B0,可知压杆的微弯挠曲线为正弦函数：利用约束条件,xl, vw 0Asinkx（b）,得这有两种可能：一是A0Asin kl0,即压杆没有弯曲变形,这与一开头的假设（压杆处于微弯平稳形式）不符；二是kln , n、 ；由此得出相应于临界状态的临界力表达式名师归纳总结 Pcrn2l2EI1时的P 值：（9.1）第 3 页,共 11 页2实际工程中有意义的是最小的临界力值,即nPcr2EIl2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载此即运算压杆临界力的表达式,又称为欧拉公式； 因此,相应的 P 也称为欧拉临界力；此式说明,P 与抗弯刚度 （ EI ）成正比,与杆长的平方（2l ）成反比；压杆失稳时,总是绕抗弯刚度最小的轴发生弯曲变形；因此,对于各个方向约束相同的情形（例如球铰约束）,式（ 9.1）中的 I 应为截面最小的形心主轴惯性矩；将 k 代入式（ b ）得压杆的挠度方程为lxw A sin（c）l在 x l2 处,有最大挠度 wmax A；在上述分析中,w m ax 的值不能确定,其与 P的关系曲线如图 5 中的水平线 AA 所示,这是由于采纳挠曲线近似微分方程求解造成的；如采纳挠曲线的精 图 5 确微分方程,就得 P v max 曲线如图 5 中所示；这种 P v max 曲线称为压杆的平稳路径,它清晰显示了压杆的稳固性及失稳后的特性；可以看出,当 P < P 时,压杆只有一条平稳路径,它对应着直线平稳形式； 当 P P cr时,其平稳路径显现两个分支（A和 A）,其中一个分支（A）对应着直线平稳形式,另一个分支（A）对应着弯曲平稳形式；前者是不稳固的,后者是稳固的；如路径中的点一经干扰将达到路径上同一 P 值的 E 点,处于弯曲平稳形式, 而且该位置的平稳是稳固的；平稳路径显现分支处的 P 值即为临界力 P ,故这种失稳称为 分支点失稳 ；分支点失稳发生在抱负受压直杆 的情形；对实际使用的压杆而言,轴线的初曲率、压力的偏心、材料的缺陷和不匀称等因素 总是存在的,为 非抱负受压直杆 ；对其进行试验或理论分析所得平稳路径如图 15-5 中 的曲线,无平稳路径分支现象,一经受压（无论压力多小）即处于弯曲平稳形 式,但也有稳固与不稳固之分；当压力 P < P max,处于路径段上的任一点,如施 加使其弯曲变形微增的干扰,然后撤除,仍能复原原状（当处于弹性变形范畴）,或虽 不能完全复原原状（如已发生塑性变形）但仍能在原有压力下处于平稳状态,这说明原 平稳状态是稳固的；而下降路径段上任一点的平稳是不稳固的,因一旦施加使其弯 曲变形微增的干扰,压杆将不能维护平稳而被压溃；压力 P m ax 称为失稳极值压力,它比 抱负受压直杆的临界力 P 小,且随压杆的缺陷（初曲率、压力偏心等）的减小而逐步 接近 P ；因 P 的运算比较简洁,它对非抱负受压直杆的稳固运算有重要指导意义,故 本书的分析是以抱负受压直杆为主；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载§9.3 其他支座条件下瘦长压杆的临界压力用上述方法,仍可求得其他约束条件下压杆的临界力,结果如下：1）一端固定、一端自由的压杆（图15-6a）15-6c）Pcr2EI l22）两端固定的压杆（图15-6b）Pcro .2EI5 l23）一端固定、一端铰支的压杆（图Pcr2EI20 .7 l综合起来,可以得到欧拉公式的一般形式为式中,l称为相当长度；Pcr2EI（15-2）l2称为长度系数,它反映了约束情形对临界载荷的影响：1 2两端铰支 一端固定、一端自由 两端固定 一端固定、一端铰支05.07.由此可知, 杆端的约束愈强, 就 值愈大,压杆的临界力愈低；值愈小, 压杆的临界力愈高； 杆端的约束愈弱, 就事实上,压杆的临界力与其挠曲线外形是有联系的,对于后三种约束情形的压杆,名师归纳总结 假如将它们的挠曲线外形与两端铰支压杆的挠曲线外形加以比较,就可以用几何类比的第 5 页,共 11 页方法,求出它们的临界力；从15-6 中挠曲线外形可以看出：长为l 的一端固定、另端自由的压杆,与长为l2 的两端铰支压杆相当；长为l 的两端固定压杆（其挠曲线上有- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 、两个拐点,该处弯矩为零）学习必备欢迎下载l 的一端固,与长为 0.5l 的两端铰支压杆相当；长为定、另端铰支的压杆,约与长为0 7.l的两端铰支压杆相当；需要指出的是, 欧拉公式的推导中应用了弹性小挠度微分方程,因此公式只适用于弹性稳固问题；另外,上述各种 值都是对抱负约束而言的,实际工程中的约束往往是比较复杂的,例如压杆两端如与其他构件连接在一起,就杆端的约束是弹性的,值一般在 0.5 与 1 之间,通常将 值取接近于 1；对于工程中常用的支座情形,长度系数 可从有关设计手册或规范中查到；（课堂小结）作业布置： 9.1 9.5 第九章 压杆稳固第四节 欧拉公式的适用范畴 体会公式第五节 压杆的稳固校核第六节 提高压杆承载才能的措施教学时数： 2 学时教学目标：明白欧拉公式的适用范畴, 娴熟把握进行压杆的稳固运算的两种方法, 并把握提高压杆承载才能的几种措施教学重点： 娴熟把握进行压杆的稳固运算的两种方法教学难点： 压杆的稳固运算的两种方法教学方法： 板书 PowerPoint教 具：教学步骤：（复习提问）（引入新课）名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（讲授新课）§ 9.4 欧拉公式的适用范畴 体会公式如上节所述,欧拉公式只有在弹性范畴内才是适用的；为了判定压杆失稳时是否处于弹性范畴, 以及超出弹性范畴后临界力的运算问题,必需引入临界应力及柔度的概念；压杆在临界力作用下,其在直线平稳位置时横截面上的应力称为临界应力,用cr表示；压杆在弹性范畴内失稳时,就临界应力为：式中Fcr2EI2Ei22E（a）crAl2Al22称为柔度, i 为截面的惯性半径,即（9.6）iI,ilA式中为截面的最小形心主轴惯性矩,为截面面积；柔度 又称为压杆的长细比；它全面的反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和 外形等因素对临界力的影响；柔度 在稳固运算中是个特别重要的量,依据 所处的 范畴,可以把压杆分为三类：（一）瘦长杆（p）2Ep时,即当临界应力小于或等于材料的比例极限crp2压杆发生弹性失稳；如令p2E（15-5）p就p时,压杆发生弹性失稳；这类压杆又称为大柔度杆；对于不同的材料,因弹性,模量和比例极限p各不相同,p的数值亦不相同；例如A3 钢,E210 GPap200MPa,用式（ 15-5）可算得p102；9-6 压杆的稳固校核工程上通常采纳以下两种方法进行压杆的稳固运算；1安全系数法 为了保证压杆不失稳,并具有肯定的安全裕度,因此压杆的稳固条件可表示为名师归纳总结 nP crn st（15-7）第 7 页,共 11 页P式中 P 为压杆的工作载荷,P 是压杆的临界载荷,n 是稳固安全系数；由于压杆存在初曲率和载荷偏心等不利因素的影响；n 值一般比强度安全系数要大些,并且越大,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载n 值也越大；详细取值可从有关设计手册中查到；在机械、动力、冶金等工业部门,由于载荷情形复杂,一般都采纳安全系数法进行稳固运算；2稳固系数法压杆的稳固条件有时用应力的形式表达为P st（15-8）A式中的 P 为压杆的工作载荷,A 为横截面面积, st 为稳固许用应力； st cr,n st它总是小于强度许用应力 ；于是式（ 15-8）又可表达为P （15-9）A其中 称为稳固系数,它由下式确定： st cr n cr n1 n st u u n st式中 u为强度运算中的危急应力,由临界应力图（图 15-7）可看出,cr u,且 n n st,故 为小于 1 的系数,也是柔度 的函数；表 9.2 所列为几种常用工程材料的对应数值；对于柔度为表中两相邻 值之间的,可由直线内插法求得；由于考虑了杆件的初曲率和载荷偏心的影响,即使对于粗短杆, 仍应在许用应力中考虑稳固系数；在土建工程中,一般按稳固系数法进行稳固运算；仍应指出,在压杆运算中,有时会遇到压杆局部有截面被减弱的情形,如杆上有开孔、切糟等；由于压杆的临界载荷是从争论整个压杆的弯曲变形来打算的,局部截面的减弱对整体变形影响较小,故稳固运算中仍用原有的截面几何量；但强度运算是依据危险点的应力进行的,故必需对减弱了的截面进行强度校核,即式中的A 是横截面的净面积；P（ 15-10）An表 15-2 压杆的稳固系数l名师归纳总结 0 i3 号钢16 Mn钢铸铁木材第 8 页,共 11 页1.000 1.00 1.00 1.000 10 0.995 0.993 0.97 0.99 20 0.981 0.973 0.91 0.97 30 0.958 0.940 0.81 0.93 40 0.927 0.895 0.69 0.87 50 0.888 0.840 0.57 0.80 60 0.842 0.776 0.44 0.71 70 0.789 0.705 0.34 0.60 80 0.731 0.627 0.26 0.48 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 90 0.669 学习必备欢迎下载0.20 0.38 0.546 名师归纳总结 100 0.604 0.462 0.16 0.31 第 9 页,共 11 页110 0.536 0.384 0.26 120 0.466 0.325 0.22 130 0.401 0.279 0.18 140 0.349 0.242 0.16 150 0.306 0.213 0.14 160 0.272 0.188 0.12 170 0.243 0.168 0.11 180 0.218 0.151 0.10 190 0.197 0.136 0.09 200 0.180 0.124 0.08 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - §9-7 学习必备欢迎下载提高压杆承载才能的措施压杆的稳固性取决于临界载荷的大小；由临界应力图可知,当柔度 减小时,就临界应力提高,而 l ,所以提高压杆承载才能的措施主要是尽量减小压杆的长 i 度,选用合理的截面外形,增加支承的刚性以及合理选用材料；现分述如下：1减小压杆的长度减小压杆的长度,可使降低,从而提高了压杆的临界载荷；工程中,为了减小柱子的长度,通常在柱子的中间设置肯定形式的撑杆,它们与其他构件连接在一起后,对柱子形成支点,限制了柱子的弯曲变形,起到减小柱长的作用；对于瘦长杆,如在柱子中设置一个支点,就长度减小一半,而承载才能可增加到原先的 4 倍；2挑选合理的截面外形压杆的承载才能取决于最小的惯性矩 I,当压杆各个方向的约束条件相同时,使截面对两个形心主轴的惯性矩尽可能大,而且相等,是压杆合理截面的基本原就；因此,薄壁圆管（图 15-8a）、正方形薄壁箱形截面（图 15-8b）是抱负截面, 它们各个方向的惯性矩相同,且惯性矩比同等面积的实心杆大得多；但这种薄壁杆的壁厚不能过薄,否就会显现局部失稳现象；对于型钢截面（工字钢、槽钢、角钢等）,由于它们的两个形心主轴惯性矩相差较大,为了提高这类型钢截面压杆的承载才能,工程实际中常用几个型钢,通过缀板组成一个组合截面,如图（15-8c、 d）所示；并选用合适的距离 a,使 I z I Y,这样可大大的提高压杆的承载才能；但设计这种组合截面杆时,应留意掌握两缀板之间的长度 1l ,以保证单个型钢的局部稳固性；3增加支承的刚性对于大柔度的瘦长杆,一端铰支另一端固定压杆的临界载荷比两端铰支的大一倍；因此,杆端越不易转动, 杆端的刚性越大, 长度系数就越小,图 15-9 所示压杆,如增大杆右端止推轴承的长度 a,就加强了约束的刚性；4合理选用材料对于大柔度杆, 临界应力与材料的弹性模量 E 成正比；因此钢压杆比铜、铸铁或铝制压杆的临界载荷高；但各种钢材的 E 基本相同,所以对大柔度杆选用优质钢材比低碳钢并无多大差别；对中柔度杆, 由临界应力图可以看到,材料的屈服极限 s和比例极限 p越高,就临界应力就越大；这时选用优质钢材会提高压杆的承载才能； 至于小柔度杆, 原来就是强度问题,优质钢材的强度高,其承载才能的提高是明显的；最终尚需指出, 对于压杆, 除了可以实行上述几方面的措施以提高其承载才能外,在可能的条件下,仍可以从结构方面实行相应的措施；例如,将结构中的压杆转换成拉杆,这样,就名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载可以从根本上防止失稳问题,以图15-10 所示的托架为例, 在不影响结构 使用的条件下,如图 a 所示结构改换 成图 b 所示结构,就 AB 杆由承担压 力变为承担拉力,从而防止了压杆的 失稳问题；（课堂小结）作业布置： 9.14 9.15 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页