2022年高三数学第一轮复习——数列3.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 高三数学第一轮复习数列一、学问梳理数列概念1. 数列的定义：依据肯定次序排列的一列数称为数列,数列中的每个数称为该数列的项 . 2. 通项公式：假如数列 a n 的第 n 项与序号之间可以用一个式子表示 , 那么这个公式叫做这个数列的通项公式,即 an f n . 3. 递推公式：假如已知数列 a n 的第一项（或前几项） ,且任何一项 a n 与它的前一项 a n 1（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示,即 a n f a n 1 或 a n f a n 1 , a n 2 ,那么这个式子叫做数列 a n 的递推公式 . 如数列 a n 中,a 1 ,1 a n 2 a n 1,其中 a n 2 a n 1 是数列 a n 的递推公式 . 4. 数列的前 n 项和与通项的公式S na 1a2an；anS 1n1 n2. S nS n15. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法. 6. 数列的分类：有穷数列,无穷数列；递增数列,递减数列,摇摆数列,常数数列；有界数列,无界数列 . 递增数列 : 对于任何nN, 均有an1a n. M. 递减数列 : 对于任何nN, 均有an1a n. 摇摆数列 : 例如 : ,1,11 ,1,1.常数数列 : 例如 :6,6,6,6, . 有界数列 : 存在正数 M 使anM,nN. 无界数列 : 对于任何正数 M , 总有项a 使得an等差数列1. 等差数列的概念假如一个数列从其次项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数d ,这个数列叫做等差数列,常数 d称为等差数列的公差 . 2. 通项公式与前 n 项和公式通项公式a na 1n1d,1a 为首项, d 为公差 .前 n 项和公式S nna12an或Snna11nn1 d.23. 等差中项假如a,A ,b成等差数列,那么A 叫做 a 与 b 的等差中项 . 即： A 是 a 与 b 的等差中项2Aaba ,A,b成等差数列 . 4. 等差数列的判定方法定义法：an 11a nnd（nnN, d 是常数）an是等差数列；中项法：2 anaan2Nan是等差数列 . 5. 等差数列的常用性质名师归纳总结 数列an是等差数列,就数列anp、pa n（ p 是常数）都是等差数列；为等第 1 页,共 6 页在等差数列a n中,等距离取出如干项也构成一个等差数列,即a n,a nk,an2k,a n3 k,差数列,公差为 kd . 0 anamnmd；a nanb a , b 是常数 ；Snan2bn a , b 是常数,a如mnpq m ,n ,p ,qN,就a manapa q；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 如等差数列an的前 n 项和S ,就Sn是等差数列；n当项数为2 n nN,就S 偶S 奇nd ,S 偶S 奇S 偶an1；1. a n当项数为2 n1nN,就S 奇S 偶a n,nnS 奇等比数列 1. 等比数列的概念假如一个数列从其次项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数a nqq0,这个数列叫做等比数列,常数 q 称为等比数列的公比2. 通项公式与前 n 项和公式n 1通项公式：a n a 1 q.a 为首项, q 为公比 .q.,前 n 项和公式：当q1时,Snna 1当q1时,S na 1 1qna 11q1q3. 等比中项b成等比数列,那么G 叫做 a 与 b 的等比中项 . ab. 假如a,G,即： G 是 a 与 b 的等差中项a,A,b成等差数列G24. 等比数列的判定方法定义法：an 1q（nN,q0是常数）a n是等比数列；an中项法：a n2 1ana n2nN 且a n0an是等比数列 . 5. 等比数列的常用性质数列an是等比数列,就数列pan、pan（q0是常数）都是等比数列；k,an3 k,为等在等比数列a n中,等距离取出如干项也构成一个等比数列,即an,ank,an2比数列,公比为qk. 是等比数列 . a namqnm n,mN如mnpq m ,n ,p ,qN,就a ma napa q；如等比数列an的前 n 项和S ,就S 、S2kS k、S 3kS 2k、S 4kS 3k二、典型例题 A、求值类的运算题（多关于等差等比数列）1）依据基本量求解（方程的思想）名师归纳总结 1、已知S 为等差数列an的前 n 项和,a49 ,a96 ,S n63,求 n ；第 2 页,共 6 页2、等差数列a n中,a 410且a 3, ,a 10成等比数列,求数列a n前 20 项的和S 203、设a n是公比为正数的等比数列,如a 1,1a 516,求数列an前 7 项的和 . 4、已知四个实数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,首末两数之和为37 ,中间- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 两数之和为 36 ,求这四个数 . 2）依据数列的性质求解（整体思想）1、已知 S 为等差数列 a n 的前 n 项和,a 6 100,就 S 11；2、设 S 、T 分别是等差数列 a n、a n 的前 n 项和,S n 7 n 2,就 a 5 . T n n 3 b 53、设 S 是等差数列 n a n 的前 n 项和,如 a 5 5 , 就 S 9（）a 3 9 S 54、等差数列 a n , b n 的前 n 项和分别为 S , n T ,如 n S n 2 n,就 a n=（）T n 3 n 1 b n5、已知 S 为等差数列 a n 的前 n 项和,S n m , S m n n m ,就 S m n . 6、在正项等比数列 a n 中,a a 5 2 a a 5 a a 7 25,就 a 3 a 5 _ _；7、已知数列 a n 是等差数列,如a 4 a 7 a 10 17 , a 4 a 5 a 6 a 12 a 13 a 14 77 且 a k 13 , 就 k _；8、已知 S 为等比数列 a n 前 n 项和,S n 54,S 2n 60,就 S3 n . 9、在等差数列 a n 中,如 S 4 ,1 S 8 4,就 a 17 a 18 a 19 a 20 的值为（）10、在等比数列中,已知 a 9 a 10 a a 0,a 19 a 20 b,就 a 99 a 100 . 11、已知 a n 为等差数列,a 15 ,8 a 60 20,就 a 7512、等差数列 a n 中,已知 S 4 1 , 求 S 8.S 8 3 S 16B、求数列通项公式1） 给出前几项,求通项公式1,0,1,0, ,1 ,3 6 , 10, 15 , 21 ,3,-33,333 ,-3333,33333 2）给出前 n 项和求通项公式1、Sn2 n23 n；S n2 33n1.n-1a nnnN*,求数列a n的通项公式2、设数列a n满意a 13 a2a3 +333）给出递推公式求通项公式名师归纳总结 a、已知关系式a n1anf n,可利用迭加法或迭代法；a 1n的通项公式；第 3 页,共 6 页ana nan1a n2an3 a2a 1ana n21例：已知数列a n中,a12 ,a nan12n1 n2,求数列a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - b、已知关系式an1anfn,可利用迭乘法.anan1an1an2a 3a2a1anan2an3a2a1例、已知数列a n满意：a n1n1 1n2,a 12,求求数列an的通项公式；a nnc、构造新数列1° 递推关系形如“an 1pa nq” ,利用待定系数法求解n 3 ,例、已知数列a n中,a 1,1a n12 a n3,求数列an的通项公式 . 2° 递推关系形如“ ,两边同除pn1或待定系数法求解例、a 1,1a n12 a nn 3,求数列an的通项公式 . 3° 递推已知数列a n中,关系形如“a n2pan1qan” ,利用待定系数法求解例、已知数列a n中,a1,1a 22,an23 an12a n,求数列an的通项公式 . 4° 递推关系形如"a npa n1qa a （p,q0 , 两边同除以a a n1例 1、已知数列a n中,a na n12 a a n（n 12,a12,求数列an的通项公式 . 例 2、数列a n中,a 12,an12annnN,求数列an的通项公式 . 4ad、给出关于S 和a 的关系例 1、设数列a n的前 n项和为S ,已知a 1a,a n1S nn 3nN,设b nS n求数列b n的通项公式例 2、设S 是数列an的前 n 项和,a 11,2 S nanS n1n2 . 2求a n的通项；设b nS n1,求数列nb的前 n 项和T . 2nC、证明数列是等差或等比数列1证明数列等差b n是等差数列 . 例 1、已知S 为等差数列an的前 n 项和,bnS nnN. 求证：数列n例 2、已知数列 an的前 n 项和为 Sn,且满意 an+2Sn· Sn1=0（n2）,a1=1 . 2求证： 1是等差数列；Sn2）证明数列等比例 1、设 an 是等差数列, bn1a n,求证：数列 bn 是等比数列；2例 2、数列 an 的前 n 项和为 Sn,数列 bn 中,如 an+Sn=n.设 cn=an1,求证：数列 cn是等名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 比数列；例 3、已知 S 为数列 a n 的前 n 项和,a 1 1,S n 4 a n 2 . 设数列 b n 中,b n a n 1 2 a n,求证：b n 是等比数列；设数列 c n 中,c n a nn,求证：c n 是等差数列；求数列 a n 的通项公式及前2n 项和 . n例 4、设 S 为数列 a n 的前 n项和,已知 ba n 2 b 1 S n证明：当 b 2 时,a n n 2 n 1是等比数列；求 a n 的通项公式例 5、已知数列 a n 满意 a 1 1, a 2 3, a n 2 3 a n 1 2 a n n N * .证明：数列 a n 1 a n 是等比数列；求数列 a n 的通项公式；如数列 nb 满意 4 b 1 14 b 2 1.4 b n 1 a n 1 bn N *, 证明 b n 是等差数列 . D、求数列的前 n 项和基本方法：1）公式法,2）拆解求和法 .n1k1 1 k nn1k；例 1、求数列2n2 n3的前 n 项和S . 例 2、求数列11,1,1,n1,的前 n 项和S . 2482n例 3、求和： 2× 5+3× 6+4× 7+ +n（n+3）2 ） 裂项 相 消 法, 数列 的 常 见拆 项 有：n nn1n1n1n；例 1、求和： S=1+11211312123n. 例 2、求和：11312413n1213）倒序相加法,例、设fx1x22,求：2 f3 f4；f2022 f2022 .xf1 4f1 3f1 2f1 3f1 2022f1 2022ff1 2f2 4）错位相减法,的通项an2 n1n 3,求此数列的前n 项和S . 例、如数列a n5）对于数列等差和等比混合数列分组求和名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例、已知数列 an 的前 n 项和 Sn=12n n 2,求数列 | an| 的前 n 项和 Tn. E、数列单调性最值问题例 1、数列an中,an2nn49,当数列an的前 n 项和S 取得最小值时, n . 例 2、已知S 为等差数列a的前 n 项和,a 125 ,a416 .当 n 为何值时,S 取得最大值；例 3、数列 a n 中,an 3 n 228 n 1,求 a 取最小值时 n 的值 . 2例 4、数列 a n 中,an n n 2,求数列 a n 的最大项和最小项 . 例 5、设数列 a n 的前 n 项和为 S 已知 1a a ,a n 1 S n 3 n,n N *（）设 b n S n 3 n,求数列 b n 的通项公式；（）如 a n 1a n,n N ,求 a的取值范畴*例 6、已知 S 为数列 a n 的前 n 项和,a 1 3,S n S n 1 2 a n n 2 . 求数列 a n 的通项公式；数列 a n 中是否存在正整数 k ,使得不等式 a k a k 1 对任意不小于 k 的正整数都成立？如存在,求最小的正整数 k ,如不存在,说明理由 . 例 7、非等比数列 a n 中,前 n 项和 S n 1 a n 1 2,4（1）求数列 a n 的通项公式；（2）设 b n 1 n N *,T n b 1 b 2 b ,是否存在最大的整数 m,使得对任意n 3 a n 的 n 均有 T n m总成立？如存在,求出 m；如不存在,请说明理由；32F、有关数列的实际问题例 1、用砖砌墙 , 第一层 底层 用去了全部砖块的一半多一块 块, , 其次层用去了剩下的一半多一依次类推 , 每一层都用去了上次剩下的砖块的一半多一块, 到第十层恰好把砖块用完,问共用了多少块 . 例 2、2002 年底某县的绿化面积占全县总面积的 面积的40 ,从 2003 年开头 , 方案每年将非绿化名师归纳总结 8绿化 , 由于修路和盖房等用地, 原有绿化面积的2被非绿化 . a n1, 试用第 6 页,共 6 页设该县的总面积为1,2002年底绿化面积为a 14, 经过 n 年后绿化的面积为10a 表示0.4771an1；求数列an的第n1项an1；至少需要多少年的努力, 才能使绿化率超过60%参考数据 :lg20 .3010,lg3- - - - - - -