2022年高中数学主干知识与基础知识归类.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思高中数学主干学问与基础学问归类献给20XX年高三文科考生一. 集合与简易规律集合表示集合中的关系集合运算,命题形式四种命题关系充分、必要条件1. 留意区分集合中元素的形式 . 如： x y lg x 函数的定义域； y y lg x 函数的值域；2. 集合的性质： 任何一个集合 A是它本身的子集 , 记为 A A . 空集是任何集合的子集 , 记为A . 空集是任何非空集合的真子集；留意 : 条件为 A B , 在争论的时候不要遗忘了 A 的情形,如：A x | ax 2 2 x 1 0 , 假如 A R , 求 a 的取值 . 答：a 0 C U A B C A C B , C U A B C A C B ；（A B）C A（B C）；（A B）C A（B C）. A B A A B B A B C B C A A C B C A B R . A B 元素的个数：card A B cardA cardB card A B . 含 n 个元素的集合的子集个数为 2 n ；真子集 非空子集 个数为 2 n1；非空真子集个数为n2 2 . 3. 补集思想 常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题；如： 已知函数 f x 4 x 22 p 2 x 2 p 2p 1 在区间 1 1, 上至少存在一个实数 c , 使3f c 0 , 求实数 p 的取值范畴 . 答： 3, 24. 原命题 : p q ；逆命题 : q p ；否命题 : p q ；逆否命题 : q p ；互为逆否的两个命题是等价的 . 如：“sin sin” 是“” 的 条件 . 答：充分非必要条件 5. 如p q 且 q p , 就 p 是 q 的充分非必要条件 或 q 是 p 的必要非充分条件 . 6. 留意命题 p q 的否定形式 与它的 否命题 的区分 : 命题 p q 的否定形式 是 p q ；否命题是 p q . 命题“p或q” 的否定是“p且 q” ；“p且q” 的否定是“p或 q” . 如：“ 如 a 和 b 都是偶数,就 a b 是偶数” 的否命题是“ 如 a 和 b 不都是偶数 , 就 a b 是奇数”否定是“ 如 a和 b 都是偶数 , 就 a b 是奇数”. 7. 常见结论的否定形式名师归纳总结 原结论否定原结论否定1个第 1 页,共 20 页是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有 n 个至多有n小于不小于至多有 n 个至少有n1个对全部 x , 成立存在某 x , 不成立p或qp且qp且qp或q对任何 x , 不成立存在某 x , 成立- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思二. 函数函数概念函数图象函数性态（定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数、对称性、周期性）特殊函数图象与性质应用（内部应用、应用题）1. 映射 f : A B 是：“ 一对一或多对一” 的对应；集合 A中的元素必有象且 A 中不同元素在 B 中可以有相同的象；集合 B 中的元素不肯定有原象 即象集 B . 一一映射 f : A B ： “ 一对一” 的对应； A中不同元素的象必不同 , B 中元素都有原象. 2. 函数 f : A B 是特殊的映射 . 特殊在定义域 A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与 x 轴的垂线至多有一个公共点 , 但与 y 轴垂线的公共点可能没有 , 也可能有任意个 . 3. 函数的三要素：定义域 , 值域 , 对应法就 . 争论函数的问题肯定要留意定义域优先的原就 . 4. 求定义域 : 使函数解析式有意义 如 : 分母 0 ; 偶次根式被开方数非负 ; 对数真数 0 , 底数0 且 1 ；零指数幂的底数 0 ；实际问题有意义；如 f x 定义域为 , a b , 复合函数 f g x 定义域由 a g x b 解出； 如 f g x 定义域为 , a b , 就 f x 定义域相当于 x , a b 时 g x 的值域 . 5. 求值域常用方法 : 配方法 二次函数类 ；逆求法 反函数法 ；换元法 特殊留意新元的范畴 . 三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数 单调性法；数形结合：依据函数的几何意义 用）：导数法 一般适用于高次多项式函数 . , 运用三角函数有界性来求值域；不等式法；, 利用数形结合的方法来求值域；判别式法（慎6. 求函数解析式的常用方法：待定系数法 已知所求函数的类型 ； 代换 配凑 法；方程的思想 -对已知等式进行赋值,从而得到关于 f x 及另外一个函数的方程组；7. 函数的奇偶性和单调性函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的, 确定奇偶性方法有定义法、图像法等；如f x 是偶函数 , 那么f x fxf|x|；定义域含零的奇函数必过原点f00 ；判定函数奇偶性可用定义的等价形式：f x fx 0或fx 1 0；f x 留意： 如判定较为复杂解析式函数的奇偶性,应先化简再判定；既奇又偶的函数有很多个 如f x 0定义域关于原点对称即可. 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法 用于小题 等. 复合函数单调性由“ 同增异减” 判定. （提示：求单调区间时留意定义域）名师归纳总结 8. 函数图象的几种常见变换平移变换：左右平移-“ 左加右减”（留意是针对x而言）；第 2 页,共 20 页上下平移 - “ 上加下减” 留意是针对f x 而言 . 翻折变换：f x |f x |； f|x|.对称变换： 证明函数图像的对称性, 即证图像上任意点关于对称中心 轴 的对称点仍在图像上. 证明图像C 与 1C 的对称性 , 即证C 上任意点关于对称中心 1 轴 的对称点仍在C 上 , 反之亦然 .函数yf x 与yfx 的图像关于直线x0 y 轴 对称；函数yf x 与函数yfx 的图 像 关 于 直 线y0 x 轴 对 称 ； 如 函 数yf x 对xR 时 ,fax fax或f x f2ax 恒成立 , 就yf x 图像关于直线xa 对称；如yf x 对 xR时,f axf bx 恒成立 , 就yf x 图像关于直线xa2b对称；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思y函数yf ax ,yf bx 的图像关于直线xb2a对称 由axbx 确定 ；函数yf x ,yAf x 的图像关于直线yA对称 由yf x Af x 确定 ；22 函数yf x 与yfx的 图像 关 于 原点 成 中 心 对 称 ；函 数f x ,ynf mx 的图像关于点m n 对称；, 2 2alog函数yf x 与函数yf1 x 的图像关于直线yx 对称；曲线C ：f x y , 0, 关于yxa （或 yxa ）的对称曲线C 的方程为 2fya xa0 或fya,xa0；曲线C ：f x y0关于点 , a b 的对称曲线C 方程为：f2ax ,2by0. 9. 函数的周期性：如yf x 对xR时f xaf xa 恒成立 , 就f x 的周期为2|a ；如yf x 是偶函数 , 其图像又关于直线xa对称 , 就f x 的周期为 2|a ；如yf x 奇函数 , 其图像又关于直线xa 对称 , 就f x 的周期为 4 |a ；如yf x 关于点 ,0, ,0对称 , 就f x 的周期为 2 |ab ；yf x 的图象关于直线xa ,xb ab 对称 , 就函数yf x 的周期为 2|ab ；yf x 对 xR 时 ,f xaf x 或f xa1, 就yf x 的周期为 2|a ；f x 10.对数：lo ganbnoa0 ,1 ,n0；R对数恒等式aNN a0,a1,N0； log aMNlogaMlogaN;logaMlogaMlogaN;logaMnnlogaM ；NloganM1logaM ；对数换底公式logaNlogbNa0,a1, b0,b1；nlogba推论：logablogbclogca1loga 1a 2loga 2a 3loga n1anloga 1a . 以上M0,N0,a0,a1,b0,b1, c0,c1,a a2,an0且a a2,a 均不等于 1 11. 方程kf x 有解kD D 为f x 的值域 ；af x 恒成立af x 最大值, af x 恒成立af x 最小值. 12. 恒成立问题的处理方法：分别参数法 最值法 ； 转化为一元二次方程根的分布问题；13. 处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值,求最值问题用 “ 两看法” ：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；14. 二次函数解析式的三种形式：一般式：f x ax2bxc a0；顶点式：; 的定义域 , a b 时,f x a xh2k a0； 零点式：f x a xx 1xx 2a0. 15. 一元二次方程实根分布: 先画图再争论0 、轴与区间关系、区间端点函数值符号16. 复合函数：复合函数定义域求法：如f x 的定义域为 , a b , 其复合函数f g x 可由不等式ag x b 解出；如f g x 的定义域为 , a b , 求f x 的定义域,相当于x求g x 的值域；复合函数的单调性由“ 同增异减” 判定. 17. 对于反函数 , 应把握以下一些结论：定义域上的单调函数必有反函数；奇函数的反函数名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思也是奇函数；定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；周期函数不存在反函数；互为反函数的两个函数在各自的定义域具有相同的单调性；x xyf x 与yf1 x 互为反函数 , 设f x 的定义域为A, 值域为B, 就有f f1 B ,f1f x x xA . 18. 依据单调性 , 利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范畴问题：f u g x uh x 0 或0 aubf a 0 或f a 0 ；d 由分母为零确f b 0f b 019. 函数yaxb d c0,adbc 的图像是双曲线：两渐近线分别直线xcxc定 和直线ya 由分子、分母中x 的系数确定 ；对称中心是点d,a c；反函数为ybdx a；cccx20. 函数yaxb a0,b0：增区间为 ,b,b, 减区间为,b,0,0,b. xaaaa . 如：已知函数f x ax1在区间 2, 上为增函数 , 就实数 a的取值范畴是 答：1 ,2x2三. 数列数列概念数列通项、前 n项和特殊数列的通项、前 n 项和及性质应用（内部应用、应用题）S n 11. 由 S 求 a , a n * 留意验证 a 是否包含在后面 na 的公式中 , 如不符合S n S n 1 n 2, n N 要单独列出 . 如：数列 a n 满意 a 1 4, S n S n 1 53 a n 1,求 a 答：a n 43 4 nn 1 1 n 2 . 2. 等差数列 a n a n a n 1 d d 为常数 2 a n a n 1 a n 1 n 2, n N *2 d da n an b a d b a 1 d S n An Bn A , B a 1 ；2 23. 等差数列的性质： a n a m n m d , d a m a n；m n m n l k a m a n a l a k 反 之 不 一 定 成 立 ； 特 别 地 , 当 m n 2 p 时 , 有a m a n 2 a ；如 a n 、 b n 是等差数列 , 就 ka n tb n k 、 t 是非零常数 是等差数列；等差数列的 “ 间隔相等的连续等长片断和序列”即 S m , S 2 m S m , S 3 m S 2 m , 仍是等差数列；等差数列 a n , 当项数为 2n 时, S 偶 S 奇 nd , S 奇 a n；项数为 2 n 1 时 , S 偶 a n 1S 偶 S 奇 a 中 a n n N * , S 2 n 1 2 n 1 a , 且 S 奇 n；A nf n a nf 2 n 1 . S 偶 n 1 B n b n式首项为正 或为负 的递减 或递增 的等差数列前 n 项和的最大 或最小 问题 , 转化为解不等名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思an100 或a n100. 也可用S nAn2Bn 的二次函数关系来分析. n1mn ；aa nn如anm a mn mn , 就a mn0；如S nm S mn mn , 就S mn如S mS mn , 就 Sm+n=0； S3m=3S2m Sm ；S m nS mS nmnd . . 4. 等比数列anan1q q0a2an1 an1n2,nN*ana qa nn5. 等比数列的性质 a n a q n m, q n m a n；如 a n 、 b n 是等比数列,就 ka n 、 a b n 等也是等比数列；a mna 1 q 1 na 1 q 1 S n a 1 1 qn a 1 a n q q 1 a 1qn a 1 q 1； m n l k a a n a a 反之不一1 q 1 q 1 q 1 q定成立 ；S m n S m q S mn S n q S . 等比数列中 nS m , S 2 m S m , S 3 m S 2 m , 注：各项均不为 0 仍是等比数列 . 等比数列 a n 当项数为 2n 时, S 偶q；项数为 2 n 1 时, S 奇 a 1q . S 奇 S 偶6. 假如数列 a n 是等差数列 , 就数列 A a n A a n总有意义 是等比数列；假如数列 a n 是等比数列 , 就数列 log a | a n | a 0, a 1 是等差数列；如 a n 既是等差数列又是等比数列 , 就 a n 是非零常数数列；假如两个等差数列有公共项 , 那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列,且新数列的公差是原两个等差数列公差的最小公倍数；假如一个等差数列和一个等比数列有公共项 , 那么由他们的公共项顺次组成的数列是等比数列, 由特殊到一般的方法探求其通项；三个数成等差的设法：a d a a d ；四个数成等差的设法：a 3 , d a d a d a 3 d ；三个数成等比的设法：a , , a aq；四个数成等比的错误设法：a 3, a , aq aq 为什么？ 3q q q7. 数列的通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式 . S 1 , n 1已知 S 即 a 1 a 2 a n f n 求 a 用作差法：a n . S n S n 1 , n 2f 1, n 1已知 a 1 a 2 a n f n 求 a 用作商法：a n f n , n 2 .f n 1如 a n 1 a n f n 求 a 用迭加法 . 已知 a n 1 f n , 求 a 用迭乘法 . a n已知数列递推式求 a , 用构造法 构造等差、 等比数列 ：形如 a n ka n 1 b, a n ka n 1 b , na n ka n 1 a n b k b 为常数 的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为 k 的等比数列后, 再求 a . 形如 a n a n 1的递推数列都可以用“ 取倒数法” 求通项 . ka n 1 b8. 数列求和的方法：公式法：等差数列, 等比数列求和公式；分组求和法；倒序相加；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思错位相减；分裂通项法.公式：123n1nn；122 12232n21n n12n1；3 12333n3n n12；135n2 n ；常62见 裂 项 公 式111n11；n n1k11n1k；n n1n1111n1n2；n nnkn12n n1nn1.1n11.；常见放缩公式：2n1nn2n1n2n12nn1. n.1n9. “ 分期付款”、“ 森林木材” 型应用问题这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题. 但在求解过程中,务必“ 卡手指”,细心运算“ 年限”. 对于“ 森林木材” 既增长又砍伐的问题, 就常选用“ 统一法” 统一到“ 最终” 解决.利率问题： 单利问题： 如零存整取储蓄 单利 本利和运算模型： 如每期存入本金p 元, 每期利率为 r , 就 n 期后本利和为：S np1rp12 p1nrp nn n1r 等差数列问2题）；复利问题：按揭贷款的分期等额仍款 复利 模型：如贷款 向银行借款 p 元, 采纳分期等额仍款方式 , 从借款日算起 , 一期 如一年 后为第一次仍款日 , 如此下去 , 分 n 期仍清 . 假如每期利率为 r （按复利）,那么每期等额仍款 x元应满意：n n 1 n 2p 1 r x 1 r x 1 r x 1 r x 等比数列问题 . 四. 三角函数1.终边与终边相同2 kkZ ； 终边与终边共线kkZ； 终1边 与终 边 关 于 x 轴 对 称kkZ；终 边 与终 边 关 于 y 轴 对 称2kkZ ；终边与终边关于原点对称2kkZ；终边与终边关于角终边对称22kkZ . 2. 弧长公式：l|r ；扇形面积公式：S 扇形1lr1 2|r2； 1弧度 1rad 57.3. 23. 三角函数符号 “ 正号” 规律记忆口诀： “ 一全二正弦 , 三切四余弦”.留意：tan15cot 7523；tan75cot1523；4. 三角函数同角关系中 八块图 ：留意“ 正、余弦三兄妹012210sinxcosx 、 sinxcosx ” 的关系 . 如sinxcos 212sinxcosx 等. 1115. 对于诱导公式 , 可用“ 奇变偶不变,符号看象限” 概括；2002 留意：公式中始终视 为锐角sin1cossin1cos6. 角的变换：已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角名师归纳总结 与其倍角或半角、两角与其和差角等变换. ； 2 ；22；第 6 页,共 20 页如：； 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思222等；“ 1” 的变换：1sin2x2 cosxtanxcotx2sin30tan 45；7. 重要结论：asinxbcosxa2b2sinx其中 tanb）；重要公式sin21cos 2；a22 cos1cos2；tan21sin1cos；1sincos2sin22|cos2sin2| . 2cossin万能公式：sin 212 tan2；cos21tan2；tan 212 tan2. tan1tan2tank2kZ ；对称中心 k,0kZ；8. 正弦型曲线yAsinx的对称轴x余弦型曲线yAcosx的对称轴xkkZ；对称中心k2,0kZ ；9. 熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式,正、余弦定理,处理三角形内的三角函数问题勿a b c忘三内角和等于 180 , 一般用正、余弦定理实施边角互化；正弦定理：2 R ；sin A sin B sin C2 2 2 2 2余弦定理：a 2b 2c 22 bc cos ,cos A b c a b c a1；2 bc 2 bc正弦平方差公式：sin 2A sin 2B sin A B sin A B ；三角形的内切圆半径 r 2 S ABC；a b c面积公式：S 1ab sin C abc；射影定理：a b cos C c cos B . 2 4 R10. ABC 中, 易得： A B C , sin A sin B C , cos A cos B C , tan A tan B C . A B C A B C A B C sin cos , cos sin , tan cot . a b A B sin A sin B2 2 2 2 2 2锐角 ABC 中 , A B , sin A cos B ,cos A cos B , a 2b 2c , 类比得钝角 2ABC 结论 . 2 tan A tan B tan C tan A tan B tan C . 11. 角的范畴： 异面直线所成角 0, ；直线与平面所成角 0, ；二面角和两向量的夹角 0, ；2 2直线的倾斜角 0, ；1l 到 2l 的角 0, ；1l 与 2l 的夹角 0, . 留意术语 : 坡度、仰角、俯角、方位2角等 . 五. 平面对量向量概念向量的表示向量运算及其几何意义应用：作为工具,解决几何问题、三角问题名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思等,关键是“ 线段向量化”名师归纳总结 1. 设ax 1,y 1,bx 2,y 2. 第 8 页,共 20 页1a/bx y2x y 10；2aba b0x x 2y y 20. 2. 平面对量基本定理：假如1e 和2e 是同一平面内的两个不共线的向量, 那么对该平面内的任一向量 a , 有且只有一对实数1、2, 使a1e 12e . 3. 设ax 1 ,y 1,bx 2,y2, 就a b|a b | | cosx x 2y y ； 其几何意义是a b 等于 a 的长度与 b 在 a 的方向上的投影的乘积；a 在 b 的方向上的投影|a| cosa bx x 2y y 2. |b|2 x 22 y 24. 三点 A、 B 、 C 共线AB 与 AC 共线；与 AB 共线的单位向量|AB|. AB5. 平面对量数量积性质：设ax y 1,bx 2,y 2, 就cos|a b2 x 1x x 1 2y y 1 22 y 2；a b | |2 y 12 x 2注 意 :a b为 锐 角a b0,a b 不 同 向 ；a b为 直 角a b0；a b为 钝 角a b0,a b 不反向 . 6. a b 同向或有 0|ab| |a|b|a|b|ab ； a b 反向或有 0|ab| |a|b|a|b|ab ； a b 不共线|a|b|ab| |a|b . 7. 平面对量数量积的坐标表示：如ax 1,y 1,bx2,y 2, 就a bx x 1 2y y ；1 2|AB|x 1x 22y 1y22；如a , x y , 就a2a ax22 y . 8. 熟记平移公式和定比分点公式. 当点 P 在线段P 1P 2上时 ,0 ；当点 P 在线段P 1P 2 或P 2P 1 延 长 线 上 时 ,1 或10 . 分 点 坐 标 公 式 ： 如PPPP 2； 且Px 1,y, P x y , P x2,y 2；就xx 1x21, 中点坐标公式：xx 12x21. 1yy1y2yy 12y211P , P ,2P 三点共线存在实数、使得OPOP 1OP 且1. 9. 三角形中向量性质：ABAC 过 BC 边的中点：|AB|AC|AB|AC|；ABACABACPG1PAPBPCGAGBGC0G 为ABC 的重心；3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -