2022年发挥典型例题“模型”的解题功能双“直角三角形”在解直角三角形中的应用.docx

精品_精品资料_发挥典型例题 “模型”的解题功能双 “直角三角形”在解直角三角形中的应用例 3 如图,折叠长方形的一边AD, 使点 D 落在 BC 的边上的点 F 处,已知 AB=8cm,BC=10cm.求折痕 AE 的长.分析:这是一道折纸问题 ,解决这类问题肯定要把握折痕是对称轴 ,深化探究隐含条件 ,精确找到已知条件 ,未知条件以及它们之间的关系 ,构建立方程求解 .解:连接 AE,A '.'AADE 与 AFE 重合,.AFE 坌 ADEB.AF:AD=BC=10. F是通过作帮助线 ,把四边形分成两个直角三角形,进行求解 .但其中一个直角要运用勾股定理的逆定理进行证明 ,在推理时 ,应留意将较小的两边的平方和与较大的边的平方相比较.例 4 如图,在四边形 ABCD 中,C=90.,AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=13,BC=4,CD=3,AD:12, 求四边形 ABCD 的面积.D 分析:连接 BD,由勾股 D E喜理得茎 BABADAc合,边的长运用逆定一c 理,AABD 是直角三角F=DE.设 EC=,贝 4DE=8 一.在 RtAABF 中,AB+B=A.BF:,:,:6.'.'C=BCBF=106=4在 RtACEF 中,FC+CE=EF2,即 4+:8 一.解得:3.'.EF=DE=5.在 RtAAFE 中,AE=AF+EF=10+5.= 125.AE=5答:折痕 AE 的长为 5cm.四,运用逆定理求解已知四边形的四边长以及一个直角时,通常形,于是,四边形 ABCD 的面积不难求出 . 解:连接 BD,在 RtACBD 中,由勾股定理可得BD=,/B+cD=/4+3=5.又.BD+AD:5+12=169.AB:13= 169,.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.BD+AD=AB.'. ABD 是直角三角形 .S 四边形 BcD=S BD+Sif_:AD-BD+1- BC.CD:÷× 12× 5+÷× 4× ':3624330.=_I×l× +_×× =发挥典型例题 " 摸型''-j8Ig 禳题功能双"直角三角形 ''在解直角三角形中的应用江苏王锋教材上有这样一道习题 :为了测量停留在空中的气球的高度,小明先站在的面上某点处观测气球 ,测得仰角为 27.,然后他向气球方向前进了 50 米,此时观测气球 ,测得仰角为 40.如小明的眼睛离的面 1.6 米,小明如何运算气球的高度 .精确到 0.1 米分析:这是一个具有实际情形的数学问题 ,第一应把它抽象为数学问题 ,找到其数学 A 模型.用点 c 表示气球的位置 , 为什么胖的人比瘦的人怕热.$肄潍堡明盈礁酗日 Dl:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_栌觏,点 A,B 表示小明 2 次观测气球的位置 ,点 A, 曰,D 在同始终线上 ,CD 上 AD,CD 的长与小明的眼睛离的面的高度的和就是所求的气球的高度.解答 略课本中有些例题就其使用价值而言,往往不 亚于一些重要的定理 ,法就,可谓璞玉浑金 ,平面直角坐标系的创始人 ,着名的法国数学家笛卡儿曾经说过 :"我所解决的每一个问题都将成为一个范例,以用于解决其他相关的问题." 观看,再现上 面习题图形的结构特点 ,探究,挖掘其中隐含的数学信息可以发觉 :2 个 RtAADC,RtABDC有一个公共的直角边CD:2 个直角边 AD,BD 存在关系 AD BD=AB. 这 2 个关系式恰是我们将未知量与已知量联系在一起列方程的重要的相等关系. 事实上很多与此相联系解直角三角形的实际应用 问题,抓住上述的 "双直角三角形 " 模型所具有的2 个特点都可迎刃而解 .一,运算遮阳棚的宽度例 1 在一次课题学习课上 ,同学们为教室窗户设计一个遮阳棚,小明同学绘制的设计图如下列图,其中,AB 表示窗户 ,且 AB=2 米,BCD 表示直角遮阳棚 ,已知当的一年中在午时的太阳光与水平可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线 CD 的最小夹角 Og 为 18.6.,最大夹角 JB 为 64.5.请你依据以上数据 ,帮忙小明同学运算出遮阳棚中CD 的长是多少米 .结果保留两个有效数字 参考数据 :sinl8.6.=0.32,tanl8.6.:0.34,sin64.5.=0.90,tan64.5.:2.1分析:观看图形 ,可以发觉有 2 个公共直角边的 RtABCD,RtAACD, 而且边之间存在AC BC=AB 的关系 ,如设 CD=,借助锐角三角函数在RtABCD,RtAACD中可以表示出 AC,BC, 通过解方程可以获解 .解:设 CD 为,在 RfABCD 中,/BDC=Ol=18.6.,皇'.tanZBDC=,u ,眚.曰 c:CD.tanBDC:0.34.数.在 R中 ,ADc 卢=64.51_._fan/_ADC=,.AC:CD.tan/ADC=2.1.AB=AC BC.'.2=2.1x 一 0.34x.故一 1.14 米.答:CD 长约为 1.14 米.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二,轮船是否有触礁危急问题例 2 如图,海上有一灯塔 P,在它四周 6 海里内有暗礁.一艘海轮以 18 海里/时的速度由西向东方向航行 ,行至A 点处测得灯塔 P 在它的北偏东 60.的方向上 ,连续向东行驶 2O 分钟后 ,到达曰处又测得灯塔P 在它的北偏东 45.方向上 ,假如海轮不转变方向连续前进有没有触礁的危急 .解析:欲判定海轮不转变方向连续前进有无触礁的危急 ,只要求出点 P 到线段 AB 所在直线的距离与 6 海里比较大小 ,即可判定有无触礁危急为此过 P 作 PC 上 AB 于 C 点,构造出 " 双直角三角形"模型 RlAACP,RtABCP; 由题意 ,得 AB= l8X=6,/PAB=90.-60.:30.,/PBC:90.一45.:45.,PCB=90.,所以 PC=Bc 在RtAPAC,tan30.一=孚=6+P C.解得 Pc:3+3.由于 33+3>6,所以海轮不转变方向连续前进无触礁危急.三,运算河宽例 3 如图,小强在江南岸选定建筑物A,并 在江北岸的处观看 ,此时,视线与江岸 BE 所成的夹角 /_ABE=30.,小强沿江岸 BE 向东走了500m,到 C 处,再观看 A, 此时视线 AC 与江岸所成的夹角 /ACE=60.依据小强供应的信息 ,你能测出河宽吗 .如能,写出求解过程 结果可保留根号;如不能 ,请说明理由 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析:第一我们应在图形中BCDE找到河宽的线段 ,为此过点 A 作:AD 上船,垂足为 D,就线段 A 口的 蓝色的刀和蓝色的枪 猜 4 字成语 ."IaY 尘长度就是河的宽度 ,简单发觉图中的2 个"双直角三角形 " 模型,从而得到下面的解法 .在 AABC 中,.LABD=30.,LACE=60.,.'.BAC=30O._.AC=BC=500.在 RtACD 中 ,LACD=60.,AD=AC ×sin60.=500×=250/3-m.答:这条河的宽度为 250 米. 四,挽救生命问题某建霎羹援 C 亲某建筑物废墟下方点处有生命:迹象,已知废墟一侧的面上两探C'测点 4,相距 3 米,探测线与的面的夹角分别是3O.和 6O.如图,试确定生命所在点 C 的深度 .结果精确到 0.1 米.参考数据 : 1.41,1.73分析:如图,过点 C 作 cD 上 B 交 A 曰于 D 点, 就 CD 的长就是生命所在点c 的深度 .'探测线与的面的夹角为30.或 6O.,.'.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_/CAD=30.CBD=60.在 RtABDCqb,tan60o_历 CD,.肋=CD:.在 RtAADCt:p,tan30o=CD,.= CD=.AB:AD BD:3.一:3.即 :半:2.6米.所以生命所在点c 的深度约为 2.6 米.牛刀小试1.如图,-111 以每小时 30 海里的速度向东北方向航行 ,在 A 处观测灯塔 C 在船的北偏东 75. 的方向 .航行 l2 分钟后到达 B 处,这时灯塔 C 恰好在船的正东方向 .已知距离此灯塔8 海里以外 的海区为航行安全区域 .这艘船可以连续沿东北方向航行马 7 为什么.参考数据 :一 1.4l,一 1.73可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析:欲判定船不转变方向连续前进有无触礁的危急,只要求出点 C 到线段 AB 所在直线的距离与 8 海里比较大小 ,即可判定有无触礁危急 .为此过 c 作CDJ-AB 于 D 点,构造出 "双直角三角形 "模型 RtACD,RtABCD. 解这两个直角三角形方可获解 .如图,过点 C 作 CD 上直线日于 D.设 DC=.在 RtCDB 中,'.'CBD:45.,. BD=CD=.在 RtCAD 中,.CAD=75.一 45.=30.AD= CDtan30:.u_.' AB=3012=6,而 AD BD=AB,.AD BD=6.即一=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6.解得=,/31=3川即 DC=3+1一 8.2>8.'.这艘船可以连续沿东北方向航行.2.武当山风景治理区 ,为提高游客到某点的誊 44 把倾角由 .改为 32.,已知原台阶 A 的长为 5 米BC 所在的的面为水平面 .试求改善后的台阶多占多长一段的面 .精确到 0.ol 米,sin44.=0.695,cos44.=0.719,tan32.=0.661弛解析:欲把台阶的倾角由44.改为 32.,明显台 阶应加长 ,所占的的面也变长 ,如图,AD 表示加长后的台阶 ,就 BD 表示台阶加长后的面上多占的一端,观看图形 ,明显它具备 " 双直角三角形 " 模型的特点.在 RtABC 中,BC=AB.cos44.=5cos44. 一 3.597.在 RtAACDD=ACta:ta5.558,njnj.BD=CD BC=5.558 3.5971.96.即改善后的台阶多占1.96 米长的一段的面 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_身穿着金色衣服的人 猜 4 字成语 .-y 一Y 翊,镪一可编辑资料 - - - 欢迎下载