2022年高中数学必修二复习教师版+学生版.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学必修二复习（老师版）<学问归纳 > 一、多面体（三视图、表面积、体积）二、空间两直线的位置关系：平行、相交、异面两异面直线所成的角：范畴为（0° , 90° 直线1l：A xB yC 10,斜率k 与直线2l：A xB yC20,斜率k20（斜率都kB A,bC A A A 2B B21、平行：A B2A B 10,且A C2A C 10或者k 1k b 1b 22、垂直：（ 1）k 不存在,k20,就两直线肯定垂直；（2）存在时）,或k k213、夹角：限制条件 : k 1k 或只有一个存在（1）夹角公式：tank 2k 1；（2）到角公式：tank2k 11k k21k k 24、两平行线间的距离：dC 1C 222 AB5、点到直线的距离公式：dAx 02 ABy 02CB三、直线和平面的位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行 1、直线在平面内有很多个公共点 2、直线和平面相交有且只有一个公共点（1）直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角 , 范畴为 0 ° ,90° （2）三垂线定理及逆定理 : 假如平面内的一条直线 , 与这个平面的一条斜线的射影 垂直,那么它也与这条斜线垂直（3）直线与平面垂直的判定：假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面（4）直线与平面垂直的性质定理：假如两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直 线平行 3、直线和平面平行没有公共点（1）判定：假如平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这 个平面平行（2）性质：假如一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 四、两个平面的位置关系：两个平面平行-没有公共点；两个平面相交 -有一条公共直线 1、平行（1）判定：假如一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面 平行（2）性质：假如两个平行平面同时和第三个平面相交,那么交线平行 2、相交（1）二面角（平面角）取值范畴为0 ° ,180° ；直二面角：两平面垂直（2）两平面垂直的判定：假如一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平 面相互垂直（3）两个平面垂直的性质：假如两个平面相互垂直,那么在一个平面内垂直于交线 的直线垂直于另一个平面；（4）二面角求法：直接法（作出平面角）、三垂线定理及逆定理、面积射影定理 五、直线与方程 1、直线的倾斜角取值范畴是 0° 180°2、直线的斜率用 k 表示；即 k tan；斜率反映直线与轴的倾斜程度；当 0 , 90 时,k 0；当 90 , 180 时,k 0；当 90 时, k不存在3、过两点的直线的斜率公式：k y 2 y 1 x 1 x 2 x 2 x 1留意下面三点：1 当x1x2时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90° ；2k 与 P1、P2的次序无关；3 求斜率由直线上两点的坐标直接求得 . 4、直线方程点斜式：yy1kxx 1直线斜率 k,且过点x 1, y 1a b留意：当直线的斜率为0° 时, k=0,直线的方程是y=y1；当直线的斜率为90° 时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示但因l 上每一点的横坐标都等于x ,所以它的方程是xx0斜截式：ykxb,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b 两点式：yy 1xx x（x 1x2,y 1y ）直线两点x 1, y 1,x 2, y 2y 2y 1x 2截矩式：xy1, 与 y 轴交于点 0, b , 即 l 与 x轴、 y 轴的截距分别为ab其中直线 l 与 x轴交于点 ,0一般式：AxByC0（A,B不全为 0）留意：1 各式的适用范畴2 特别的方程如：平行于x 轴的直线：yb（b 为常数）；xa平行于 y 轴的直线：（a 为常数）；5、直线系方程：即具有某一共同性质的直线2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）平行直线系平行于已知直线A 0xB 0yC00（A0,B0是不全为 0 的常数）的直线系：A 0xB 0yC0（C为常数）（2）垂直直线系垂直于已知直线A 0xB 0yC00（A0,B0是不全为 0 的常数）的直线系：B0xA 0yC0（C为常数）（3）过定点的直线系 斜率为 k 的直线系：yy0kxx 0,直线过定点x0, y0； 过两条直线l 1:A 1xB 1yC10,l2:A 2xB2yC20的交点的直线系方程为A 1xB 1yC 1A 2xB 2yC20（为参数）,其中直线2l不在直线系中6、两条直线的交点l1:A 1xB 1yC 10l2:A 2xB 2yC20相交1l与2l重合交点坐标即方程组A 1xB 1yC10的一组解；A 2xB 2yC20方程组无解l1/ l2；方程组有很多解7、距离公式（1）两点距离公式：设A x 1,y 1,（B x 2,y2）是平面直角坐标系中的两个点,就ByC0的|AB|x 2x 12y2y 12（2）点到直线距离公式：点Px 0, y0到直线l1:Ax距离dAx0A2By02CB（3）两平行直线距离公式：在任始终线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解或 d C 12 C 22A B六、圆的方程1、标准方程 x a 2y b 2r 2,圆心 a, b,半径为 r ；2、一般方程 x 2y 2Dx Ey F 0当 D 2E 24 F 0 时,方程表示圆,此时圆心为 D, E,半径为 r 1 D2E24 F2 2 2当 D 2E 24 F 0 时,表示一个点；当 D 2E 24 F 0 时,方程不表示任何图形；3、求圆方程的方法：一般都采纳待定系数法：先设后求；如利用圆的标准方程,需求出 a,b,r；如利用一般方程,需要求出 D,E,F；另外要留意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置；七、直线与圆1、直线与圆的位置关系：相离,相切,相交：（1）设直线 l : Ax By C 0,圆 C : x a 2y b 2r 2,圆心 C a , b 到 l 的距离为d Aa2 Bb2 C,就有 d r l 与C 相离；d r l 与C 相切；A B（2）过圆外一点的切线： k 不存在,验证是否成立 k 存在,设点斜式方程,用3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 圆心到该直线距离 =半径,求解 k,得到方程【肯定两解】3 过圆上一点的切线方程：圆xa2yb2r ,圆上一点为x y ,就过此点的切线方程为2、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差）确定；设圆C1:xa12yb 12r2,与圆心距（ d）之间的大小比较来当dRr时两圆外离,此时有公切线4 条；2 条,内公切线 1 条（共 3当dRr时两圆外切,连心线过切点,有外公切线条公切线）；当dR时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有2 条外公切线；当r时,两圆内切,连心线经过切点,只有1 条公切线；当dRr时,两圆内含；当d0时,为同心圆；留意：已知圆上两点,圆心必在两点连线的中垂线上；已知两圆相切,两圆心与切点共线；圆的帮助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点 补充：一、重心中线的交点；垂心高的交点；外心中垂线的交点；内心角平 分线的交点二、已知圆以A x y 1,B x 2,y 2为直径,就该圆的方程为xx 1xx 2yy 1yFy20三、切线长公式：P x 0,y0,圆, 就d2 x 02 y 0Dx0Ey 00k ,四、弦长公式：弦两端点：P x y 1,P 2x 2,y 2,弦所在直线的斜率为就d1k2x 1x 或d11y 1y2k2<例题讲解 > 例 1、如图, ABCD是正方形, O是正方形的中心, PO 底面 ABCD,E是 PC的中点；求证：（1）PA 平面 BDE （2）平面 PAC 平面 BDE 4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 证明（） O是 AC的中点, E是 PC的中点, OE AP,又OE 平面 BDE,PA 平面 BDE,PA 平面 BDE （2）PO 底面 ABCD,PO BD,又 AC BD,且 AC PO=O BD 平面 PAC,而 BD 平面 BDE,平面 PAC 平面 BDE；例 2、已知三角形 ABC的顶点是 A（-1 ,-1 ）,B（3,1）,C（1,6）. 直线 L 平行于AB,且分别交 AC,BC于 E, F,三角形 CEF的面积是三角形 CAB面积的1 . 求直线 L 的 4方程. 解：由已知,直线 AB的斜率 K= 1 ,EF AB直线 EF的 2 1 斜率为 K= 2三角形 CEF的面积是三角形 CAB面积的 1 ,E是 CA的中 4 点；又点 E的坐标（ 0,5 ）2直线 EF的方程是y51x,即x2y5022例 3、如图,在矩形中, 已知, ,为的两个三等分点,交于点,建立适当的直角坐标系,证明： 解：以 AB所在直线为 X轴,AD所在直线为 Y轴,建立直角坐标系 设 AD=1（单位）就 D（0,1）A（0,0）,E（1,0）,F（2,0）C（3,1）,求得直线 AC的方程为y1 ,直线 DF的方程为 3x2y205 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解方程组y1 3x20得x6所以点 G的坐5xy22y5例4、如图：直线 L1 的倾斜角1=30 ,直线 L1L2 ,就L2的斜率为（）、3、3、3、3AM = SMBN ,ND33例 5、如图：S 是平行四边形 ABCD平面外一点,M、N分别是 SA、BD上的点,且求证： MN 平面 SBC 证明：连结 AN并延长交 BC于点 G,并连结 SG平行 四边形 ABCD BN = NDAN ,NGAM = SMBNAN = NGAMNDSM6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - MN SG 例 6、21、过点（,）的直线被两平行直线：与：所截线段的中点恰在直线上,求直线的方程 . 解：设线段的中点 P的坐标（ a,b）,由 P到 L1,、L2的距离相等,得2 a 5 b 9 2 a 5 b 72 2 2 22 5 2 5经整理得,2 a 5 b 1 0,又点 P在直线上,所以 a 4b 1 02 a 5 b 1 0 a 3解方程组 得 即点 P的坐标（ -3 ,-1 ）,又直线 L 过点（,a 4 b 1 0 b 1）所以直线的方程为 y 1 x 3 ,即 4 x 5 y 7 03 1 2 3 例 7、已知三条直线 L1：X 2Y 0 L 2：Y 1 0 L 3：2 X Y 1 0 两两相交,先画出图形,再求过这三个交点的圆的方程如图：通过运算斜率可得L1L3,经过 A,B,C三点的圆就是以AB为直径的圆解方程组x2y00得xx2 1所以点 A 的坐标（ -2 ,-1 ）的坐标（ 1,-1 ）y1y解方程组2x1y010得11所以点 Byy线段 AB的中点坐标是1,1 ,又27 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - AB2121123所以圆的方程是x12y1293 的直线方程是24例 8、与直线7x24y5平行,并且距离等于7x24y800或7x24y7003x4y15上,就a2b2的最小值为 3 例 9、已知点 M（a,b）在直线例 10、圆：x2y24x6y0和圆：x2y26x0交于 A、B两点,就 AB的垂直平分线的方程是（ C ）A. x+y+3=0 B 、2x-y-5=0 C、 3x-y-9=0 D、4x-3y+7=0 ）例 11、圆：x2y22x2y10上的点到直线xy2的距离最大值是（ B A、 2 B、12 C 、12 D、12213,求异面直线A1 与B1 所2例 12、在长方体ABCDA 1B 1C1D1中,已知DADC,4DD成角的余弦值连接A1D,A 1D/B 1C,BA 1D为异面直线A1 与B1 C所成的角. 连接 BD ,在A1DB中,A 1BA 1D,5BD42,就cosBA 1DA 1B2A 1D2BD225253292A 1BA 1D255258 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 13、如图,射线 OA、OB 分别与 x 轴成 45 角和 30 角,过点P1 0,作直线 AB分别与 OA、OB交于 A、 B（）当 AB的中点为 P时,求直线 AB 的方程；（）当 AB的中点在直线y1x上时,求直线 AB 的方程,OB的方程为y3x,2解：（）由题意得, OA的方程为yx3设Aa,a,31,B3 b,b；AB的中点为P,10 , aa3 b02得abkAB3131即 AB方程为31 xy31032（） AB中点坐标为a23 b,a2b在直线y1x上,2就a2b1a23 b,即a23b2kPAkPB,aa1b13 b由、得a3,就kAB323,所以所求 AB的方程为33x2y330例 14、方程 x2 +y2 -x+y+m=0表示圆就 m的取值范畴是 C A 、 m2 B 、 m<2 C 、 m<1 D 2、 m 129 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 15、如 l 、m、n 是互不相同的空间直线, 、 是不重合的平面,就以下命题中为真命题的是（ B ）A如l/,l,n,就l/n B如l,l,就lm, /,就如n mn ,就 /C. 如 D例16已知三点 A（2, 1）、B（x,2）、C（1,0）共线,就 x为：（ A ）A、7 B、-5 C、3 D、-1 例17、如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,已知 M为棱 AB的中点（） AC1/ 平面 B1MC；（）求证：平面 D1B1C平面 B1MC（） MO/AC1；（） MO AC1,AC1平面 D1B1C ,MO平面 D1B1C ,平面 D1B1C平面 B1MC例18、在 ABC中,BC边上的高所在的直线的方程为x2y10,A 的平分线10 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所在直线的方程为y0,如点 B的坐标为（ 1,2）,求点 A 和点 C 的坐标由y00得x1,即 A的坐标为0,10,kACkAB1,x2y1ykAB20,又 x 轴为 BAC的平分线, 11又直线x2 y10为 BC 边上的高,kBC2设 C 的坐标为a ,b,就ab11,b22,a1解得a5,b6,即 C 的坐标为 56,例 19、已知平行四边形的两条边所在的直线方程分别是xy10 和 3xy40,它的对角线的交点是 M3, 0 , 求这个四边形的其它两边所在的直线方程x y 7 0 和 3 x y 22 0例20 、线 l 通过点 1 ,3 且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为 6,就直线 l11 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 的方程是（ A ）A3xy60 B3xy00x3 y100x3y8C D<练习集锦 > 一、挑选题 1 如直线的倾斜角为 120 o,就直线的斜率为（ B ）A3 B3 C3 D 3-3 32如a , b 是异面直线,直线 c a,就 c 与 b 的位置关系是（ D ）A 相交 B 异面 C 平行 D异面或相交3直线 y 3 x 1 关于 y 轴对称的直线方程为（ C ）Ay 3 x 1 B y 3 x 1 Cy 3 x 1 D y x 14以下四个命题 垂直于同一条直线的两条直线相互平行； 垂直于同一个平面的两条直线相互平行； 垂直于同一条直线的两个平面相互平行； 垂直于同一个平面的两个平面相互垂直 . 其中错误的命题有（ B ）A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个5已知各面均为等边三角形的四周体的棱长为 2,就它的表面积是（ C ）A. 3 B. 2 3 C. 4 3 D. 8 36直线 1 a x y 1 0 与圆 x 2y 22 x 0 相切,就 a 的值为（ D ）A. 1,1 B. 2 C. 1 D. 112 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 7. 如 l 为一条直线,为三个互不重合的平面,给出下面三个命题：, ,就；,就； l ,l ,就. 其中正确的命题有 C A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个8圆 x 1 2y 21 和圆 x 2y 26 y 5 0 的位置关系是（C ）A相交 B 内切 C 外离 D 内含9如图,正方体 ABCD A B C D 中,直线 D A与 DBD C所成的角可以表示为（ D ）A BAD DBD CBAD C A BCADBDDBC10已知点 A 1, 2,11,B 4,2,3,C 6, 1,4,就ABC 的外形是（ B ） A等边三角形 B直角三角形 C 等腰三角形 D 等腰直角三角形11半径为 R的球内接一个正方体,就该正方体的体积是（ C ）A. 2 2R B. 4 R C. 83 R D. 3R 33 9 912如 P 2,1 为圆 x 1 2y 225 的弦 AB 的中点,就直线 AB 的方程是（ A ） A x y 3 0 Bx y 3 0 C x y 3 0 D x y 3 0二、填空题13过点（ 1,2）且与直线x2y10平行的直线方程是xx2y50B 1, 1 的圆的方程是22y21014以点A2, 0为圆心,且经过点15在平面几何中,有如下结论：三边相等的三角形内任意一点到三角形三边的距离之和为定值 . 拓展到空间,类比平面几何的上述结论,可得：四个面均为等边三角形的四周体内任意一点到四周体的四个面的距离之和为定值13 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 三、解答题16. 已知直线 l 经过直线3 x4y20与直线2xy20的交点 P ,且垂直于直线x2y10. （）求直线 l 的方程；（）求直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积S. 解：（）由3x4y20,解得x2,2xy20.y2.由于点 P的坐标是（2,2）. 底就所求直线 l 与x2y10垂直,可设直线 l 的方程为2xyC0. 把点 P的坐标代入得222C0,即C2. 所求直线 l 的方程为2xy20. （）由直线 l 的方程知它在 x 轴、 y 轴上的截距分别是1、 2,所以直线 l 与两坐标轴围成三角形的面积S1121. 217. 如图,四棱锥 ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, O 是正方形 ABCD 的中心, PO面 ABCD, E是 PC的中点求证：（） PA 平面 BDE；P（）平面 PAC 平面 BDE. E 证明：（）连结 OE O是 AC 的中点, E 是 PC 的中点,ADOBC OE AP ,又 OE平面 BDE , PA平面 BDE ,14 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - PA 平面 BDE （） PO底面 ABCD,x3y290 POBD,又 ACBD ,且 ACPO=O, BD平面 PAC而 BD平面 BDE,平面 PAC平面 BDE 18. 已知半径为5 的圆的圆心在x 轴上,圆心的横坐标是整数, 且与直线 4相切（）求圆的方程；（）设直线 ax y 5 0 a 0 与圆相交于 A B 两点,求实数 a 的取值范畴；（） 在（）的条件下,是否存在实数 a ,使得弦 AB 的垂直平分线 l 过点 P 2, 4,如存在,求出实数a 的值；如不存在,请说明理由解：（）设圆心为M m , 0（ mZ ）5295,由于圆与直线4x3y290相切,且半径为 5,所以4 m即 4 m2925y 整理,得由于 m 为整数,故m1故所求圆的方程为x2 1y225（）把直线axy50即yax5代入圆的方程,消去a21 x225a1x10由于直线axy50交圆于A B 两点,故45a2 14a210即12a25a0,由于a0,解得a51215 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以实数 a 的取值范畴是5,12（）设符合条件的实数a 存在,由于a0,就直线 l 的斜率为1 a,l 的方程为y1 ax24, 即xay24 a0由于 l 垂直平分弦 AB ,故圆心M1, 0必在 l 上所以 1 024a0,解得a34由于3 45 12,故存在实数a3,使得过点P 2, 4的直线 l 垂直平分弦 AB 416 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学必修二复习（同学版）<学问归纳 > 一、多面体（三视图、表面积、体积）二、空间两直线的位置关系：平行、相交、异面两异面直线所成的角：范畴为（0° , 90° 直线1l ：A xB yC 10,斜率k 与直线2l ：A xB yC20,斜率k2kB A,bC A k 1且或者；1、平行：2、垂直：； 3 、夹角：限制条件 : k 或只有一个存在17 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）夹角公式：；（2）到角公式：4、两平行线间的距离：5、点到直线的距离公式：三、直线和平面的位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行 1、直线在平面内有 个公共点 2、直线和平面相交有 个公共点（1）直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角 , 范畴为 0 ° , 90° （2）三垂线定理及逆定理 : 假如平面内的一条直线 , 与这个平面的一条斜线的射影 垂直,那么它也与这条斜线垂直（3）直线与平面垂直的判定：（4）直线与平面垂直的性质定理：假如两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直 线平行 3、直线和平面平行没有公共点（1）判定：（2）性质：假如一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行四、两个平面的位置关系：两个平面平行-没有公共点；两个平面相交 -有一条公共直线 1、平行（1）判定：（2）性质：假如两个平行平面同时和第三个平面相交,那么交线平行 2、相交（1）二面角（平面角）取值范畴为（2）两平面垂直的判定：0 ° ,180° ；直二面角：两平面垂直（3）两个平面垂直的性质：假如两个平面相互垂直,那么在一个平面内垂直于交线 的直线垂直于另一个平面；（4）二面角求法：直接法（作出平面角）、三垂线定理及逆定理、面积射影定理 五、直线与方程 1、直线的倾斜角取值范畴是2、直线的斜率用 k 表示；即ktan；斜率反映直线与轴的倾斜程度；当90, 180时,k0；当90 时, k不存在当0, 90时,k0；3、过两点的直线的斜率公式：留意下面三点：18 名师归纳总结 - - - - - - -第