2022年高中数学解题技巧和方法.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载数列求和及综合应用【编者按】 不等式是高中数学考试的必考内容,而且是这几年考试解答题的必选,无论是期中、期末 仍是会考、高考,都是高中数学的必考内容之一；因此,小编特意针对这部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法,期望能够帮忙到高中的同学们,让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题；第一,解答数列求和及综合应用这两个方面的问题时,先要搞清晰以下几个方面的基本概念性问题,同学们应当先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：1明白数列求和的基本方法；2能在详细问题情形中识别数列的等差、等比关系,并能用有关学问解决相应问题；3明白等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系；好了, 搞清晰了数列求和及综合应用的上述内容之后,技巧；一、可转化为等差、等比数列的求和问题下面我们就看下针对这两个内容的详细的解题考情聚焦： 1可转化为等差或等比数列的求和问题,已经成为高考考查的重点内容之一；2 该类问题出题背景挑选面广,易与函数方程、递推数列等学问综合,在学问 交汇点处命题；3多以解答题的形式显现,属于中、高档题目；解题技巧： 某些递推数列可转化为等差、等比数列解决,其转化途径有：1凑配、消项变换如将递推公式（ q、d 为常数, q 0, 1）；通过凑配变成；或消常数转化为2 倒数变换如将递推公式（c、d 为非零常数）取倒数得3 对数变换如将递推公式（ q 、 d 为非零常数,取对数得4 换元变换如将递推公式q 1, d 1）变换成,令,就转化为的形式；名师归纳总结 例 1：（福建高考文科· 7）数列 a 中 a 1 3,前 n 项和S 满意S n1-S 1n1（nN*）. 3 I 求数列 a 的通项公式a 以及前 n 项和S ；第 1 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（II ）如 S1, t S 1+S2 , 3 S 2+S3 成等差数列,求实数 t 的值；【命题立意】此题考查数 列、等差数列、等比数列等基础学问,考查运算求解才能,考查函数方程思想、化归转化思想；【思路点拨】第一步先求a 的通项,可知a 为等比数列,利用等比数列的前n 项和求解出S ；其次步利,用等差中项列出方程求出t 【规范解答】 I 由S n1S n1n1得a n11n1nN,又a 11,故a n1nnN3333从而S n111nnN23（II ）由 I S 11,S 24,S 313,从而由 S1, t S1+S2 , 3 S2+S3 成等差数列可得392713413214t解得t2；392739【方法技巧】要求数列通项公式,由题目供应的是一个递推公式,如何通过递推公式来求数列的通项；题目要求的是项的问题,这就涉及有关“ 项” 与“ 和” 如何转化的问题；一般地,含有S 的递推关系式,一般利用a nS nS 1,1,n1化“ 和” 为“ 项”；S nn2二、错位相减法求和考情聚焦： 1错位相减法求和,是高中数学中重要的数列求和方法,是近年来高考的重点考查内容；2 该类问题背景挑选面广,可与等差、等比数列、函数、不等式等学问综合,在学问交汇点处命题；3 多以解答题的形式显现,属于中、高档题；解题技巧： 几种求通项及求和方法（1）已知,求,求可用叠加法,即（2）已知可用叠乘法,即（3）设 为等差数列,为等比数列,求数列的前 n 项和可用错位相减法；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 2：（海南宁夏高考· 理科学习必备欢迎下载2,T17）设数列a n满意a 1（ 求数列a n的通项公式：的前 n 项和S . （）令b nna ,求数列b n【命题立意】此题主要考查了数列通项公式以及前 规律,利用等比数列的性质解题 . n 项和的求法,解决此题的关键是认真观看形式,找到【思路点拨】由给出的递推关系,求出数列的通项公式,在求数列的前n 项和 . .【规范解答】 （ 由已知,当n1 时,a n1a n1a n a na n1a 2a 1a 1322n122n3222 2n1 1而a 12,满意上述公式,所以a n的通项公式为an22n1. （）由b nnann2 2n1可知,s n1 222335 2n22n1从而22s n1 2325 237 2n22n1得2 1 2 s n2235 22 2n1n22n1即S n1 3 9n122n12【方法技巧】利用累加法求数列的通项公式,利用错位相减法求数列的和三、裂项相消法求和考情聚焦： 1裂项相消求和是高中数学中的一个重要的数列求和方法,是近年来高考的重点考查内容；2 该类问题背景挑选面广,可与等差、等比数列、函数3 多以解答题的形式显现,属中、高档题目；解题技巧： 裂项求和的几种常见类型（1）；（2）；、不等式等学问综合,在学问交汇点处命题；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - （3）学习必备；欢迎下载（4）是公差为d 的等差数列,就；（5）如；（6）；（7）（8）；的前 n 项和为S 例 3：（山东高考理科·18）已知等差数列a n满意：a 37,a5a 726,a n（1）求a 及S ；（ 2）令b nan11 nN * ,求数列b n的前 n 项和T , 考查了考生的逻2【命题立意】此题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和辑推理、等价变形和运算求解才能. a 及S ；【思路点拨】 1 设出首项和公差,依据已知条件构造方程组可求出首项和公差,进而求出求2 由 1 求出b的通项公式,再依据通项的特点挑选求和的方法. 【规范解答】 （1）设等差数列a n的公差为 d,由于a 37,a 5a 726,所以有a 12 d726,解得a 13, d2,2 a 110 d,所以an3（2n1=2n+1；S =3n+nn-12=2 n +2n . 2（2）由（ 1）知na2n+1,所以 bn=a n11=（121=11=1 41-122n+14 nn+1nn+1所以T =1 41-1+11+1-1=1 41-1=n,223nn+1n+14n+1即数列nb的前 n 项和T =n. 4n+1【方法技巧】数列求和的常用方法：名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载1的争论 . 1、直接由等差、等比数列的求和公式求和,留意对公比q2、错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和,即等比数列求和 公式的推导过程的推广 . 3、分组转化法：把数列的每一项分成两项,使其转化为几个等差、等比数列,再求解 . 4、裂项相消法：主要用于通项为分式的形式,通项拆成两项之差求和,正负项相消剩下首尾如干项,注意一般情形下剩下正负项个数相同. 即等差数列求和公式的推导过程的推广. 5、倒序相加法：把数列正着写和倒着写相加四、与不等式有关的数列问题 考情聚焦： 1数列综合问题,特殊是数列与不等式的综合问题是高考中常常考查的重要内容；2该类问题可与函数的单调性、基本不等式、导数函数等学问交汇,综合命题；3多以解答题的形式显现,属高档题；例 4：（天津高考文科· 22）在数列a n中,a =0,且对任意k* N ,a 2k 1,a2k,a2k+1成等差数列,其公差为2k. Tn（）证明a ,a ,a 成等比数列；2n2 n2）. （）求数列a n的通项公式；（）记T n2 22 32 n,证明3a 2a 3a n2【命题立意】本小题主要考查等差数列的定义及前n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础学问,考查运算才能、推理论证才能、综合分析和解决问题的才能及分类争论的思想方法【思路点拨】 （）（）应用定义法证明、求解；（）对 n 分奇数、偶数进行争论名师归纳总结 【规范解答】 （I ）由题设可知,a2a 122,a3a224,a4a 348,a5a4412,a6a 5618；从而a6a 53,所以a ,a ,a 成等比数列a5a 42第 5 页,共 6 页（II ）由题设可得a2k1a 2k14 , k kN*.a 3a 1所以a 2k1a 1a 2k1a 2k1a 2k1a 2k34 k4k1.4 12 k k1 ,kN*. k12k2 k2. 由a 10,得a 2k12 k k1,从而a 2ka 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载nN*第 6 页,共 6 页所以数列a n的通项公式为a nn21,n 为奇数或写为a n2 n1n1,2n2,n 为偶数242（III）由（ II ）可知a 2k12 k k1,a2k2 2 k ,以下分两种情形进行争论：（1）当 n 为偶数时,设n=2mmN*如m1,就2 nkn2k22,如m2,就a knk2m2k2m12k12m4k2m14k24k1k2a kk1a 2kk1a 2k1k12k2k12 k k12mm14 k24 k112mm1211k11k12k k12 k kk12k2m2m11112n31. 2m2n所以2 nkn2k231,从而32 nkn2k22,n4,6,8,.a k2n2a k（）当n 为奇数时,设n2 m1mN*kn2k22mk22mm124 m312m12k2ka 212 m m1a ka22 m4 m1 22112n311m2n所以2 nkn2k23n11,从而32nkn2k22,n3,5,7,.a k22a k综合（ 1）和（ 2）可知,对任意n2,nN*,有3 22 nT n2.- - - - - - -