2022年常微分方程试题库试卷库.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆常微分方程期终考试试卷 1 一、填空题（ 30%）；1、方程 M x y dx N x y dy 0 有只含 x 的积分因子的充要条件是（有只含y的积分因子的充要条件是 _；、 _称为黎卡提方程,它有积分因子_；、 _称为伯努利方程,它有积分因子_；、如 X 1 , X 2 , , X n 为 n 阶齐线性方程的是_ ；、形如 _的方程称为欧拉方程；n 个解, 就它们线性无关的充要条件 、 如 t和 t都 是x 'A t x 的 基 解 矩 阵 , 就 t和 t具 有 的 关 系 是_ ；、当方程的特点根为两个共轭虚根是,就当其实部为 的奇点称为 _；二、运算题（）1、ydxxy3dy0t、xxsintcos2_时,零解是稳固的,对应、如A21试求方程组 xAx 的解 , 01并求 expAt 142、dy34xydy8y20dxdx、求方程dyxy2经过（ 0,0）的第三次近似解dx三、证明题（）、 n 阶齐线性方程肯定存在n 个线性无关解；试卷答案一填空题名师归纳总结 、MNMMN yneyz第 1 页,共 21 页yx yxNp x y2Q x ydyR x、dx、p x yQ x ynu x y , yn1p x dxdydx、w x t 1 ,x 2 ,x t n 0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆、xnd y na 1dn1a n1dya y n0dxndxn1dx、 t C稳固中心、零二运算题 、 解 ： 因 为M1,N x1y, 所 以 此 方 程 不 是 恰 当 方 程 , 方 程 有 积 分 因 子 e2dyeln2 y1,两边同乘1得dxxy3 2 y dy0yy 2y2y1 ydxxy3xydycy2y所以解为名师归纳总结 xy2c即2xy y2c 另外 y=0 也是解第 2 页,共 21 页y2、线性方程xx0的特点方程210 故特点根if t 1 sinti 是特点单根,原方程有特解xt Acos tBsin 代入原方程1f2 cos2 t2i 不 是 特 征 根 , 原 方 程 有 特 解A=-2 B=0 xAcos2 tBsin2t 代入原方程A1B=0 3xc 1cos tc2sint1tcos t1cos2 t所以原方程的解为23p 1212690解得1,23此时 k=1n 124、解：1v e 3ti1tiA3 i1e 3t1t120i.22t122etn1tiAEi得i0i.由公式 expAt= expAte 3 tEt A3 e 3t10t11e 3t1tt1tt011 1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆、解：方程可化为xdy38y2令dyp就有xp38y2（ *）dx4ydy4ypdxdx2 y p 3 4 y 2 dp p 8 y 2 p 3 4 y p 2（* ）两边对 y 求导：dy即 p 3 4 y 2 2 y dpdy p 0由 2 y dpdy p 0得 p cy 12即 y c p 2将 y 代入x c4 2 2c 2 p（* ）x c4 22c p2即方程的 含参数形式的通解为：y c p 2p 为参数又由 p 3 4 y 2 0 得 p 4 y 2 13代入（ * ）得：y27 4 x 3也是方程的解0 y 0 0x x 21 y 0 0 xdx2x x 2 x 2 x 52 y 0 0 x4 dx2 20x x 4 x 10 x 7 x 2 x 5 x 11 x 8、解：3 y 0 0 x4 400 20 dx2 20 4400 160三、证明题由解的存在唯独性定理知：n 阶齐线性方程肯定存在满意如下条件的 n 解：x t 1 0 1, x 2 t 0 0, , x n t 0 0' 'x t 1 0 0, x t 2 0 1, , x n t 0 0n 1 n 1 n 1x 1 t 0 0, x 2 t 0 0, , x n t 0 11 0 00 1 0w x t 1 0 , x t 2 , 0 , x t n 0 1 0考虑 0 0 1从而 ix t i 1,2, n 是线性无关的；常微分方程期终试卷 2 一、填空题 30% 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆1、 形如 _的方程,称为变量分别方程,这里.fx.y分别为x.y的连续函数；2、 形 如 _ 的 方 程 , 称 为 伯 努 利 方 程 , 这 里 P x . Q x 为 x 的 连 续 函数.n 0 1. 是常数；引入变量变换,可化为线性方程；3、 如 果 存 在 常 数 L 0 , 使 得 不 等 _ 对 于 所 有（x , y 1 , x , y 2 R 都成立,L 称为利普希兹常数；函数 f x , y 称为在 R上关于y 满意利普希兹条件；4、 形如 _- 的方程,称为欧拉方程,这里 a 1a 2 , 是常数；5、 设 t 是 x Ax 的基解矩阵, t 是 x A t x f t 的某一解,就它的任一解 t 可表为 _- ；二、运算题 40% dy6 yxy 2 的通解；1、 求方程 dx xdy ye xy2、 求方程 dx x 的通解；3、 求方程 x '' 6 x ' 5 x e 2 t的隐式解；dyx y 2 通过点（0、）的第三次近似解；4、 求方程 dx三、证明题 30% t 2t 02 12 x 11. 试验证 t = 2 t 1 是方程组 x ' = t 2t x,x= x 2,在任何不包含原点的区间a t b 上的基解矩阵；2. 设 t 为方程 x ' =Ax（A 为 n n 常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E）,证明 : t 1t 0 = t- t 0 其中 t 0 为某一值 . 常微分方程期终试卷答卷名师归纳总结 一、填空题（每空5 分）0 z=2dyy1n第 4 页,共 21 页1dyfx y 2、dyPx yQxyndxdx3fx,y1fx,y2Ly 1y24、xndnya 1xn1dn1yan1xdyanydxndxn1dxy5、t tt二、运算题（每题10 分）1、这是 n=2 时的伯努利不等式,令z=y1, 算得dzdxdx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆代入原方程得到dz6zx,这是线性方程,求得它的通解为z=cx2dxxx68带回原先的变量1=cx2或者x6x8c,这就是原方程的解；y,得到yx6y88此外方程仍有解y=0. 2、解：dyexyxyxexycyc0dxxxdyxe xyydxxdyydxxexydxdxyxe xydxdxyxdxexy积分：exy1x22故通解为：1x2exy23、解：齐线性方程x''6x'5x0的特点方程为t26t5 t2t50,1,125,故通解为x tc 1ec2e2 不是特点根,所以方程有形如x t5Ae2te把x t代回原方程4Ae2t12Ae2tAe2tA121于是原方程通解为xtc 1etc2e5t1e2214、名师归纳总结 解0x 0x2x5x8x11=0 21 21 t 故1 t第 5 页,共 21 页1x xx02x dx202xxx12x dxx22200xx2x53xx22x dx22016044000三、证明题（每题15 分）t22t' 1 t=1、证明：令t 的第一列为1 t=2t, 这时2t2t- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆是一个解；同样假如以2 t 表示t 其次列,我们有2 t=1= 0 21 22 t0t2t这样 2 t 也是一个解；因此 t 是解矩阵；又由于 det t =-t 2 故 t 是基解矩阵；2、证明：（1）t , t- t 0 是基解矩阵；（2）由于 t 为方程 x ' =Ax 的解矩阵, 所以 t 1t 0 也是 x ' =Ax 的解矩阵,而当 t= t 0 时,t 0 1 t 0 =E, t- t 0 =（0）=E. 故由解的存在唯独性定理,得 t 1t 0 = t- t 0 3、设 t 为方程 x Ax（为 n n 常数矩阵）的标准基解矩阵（即 0 E ,证明t 1 t 0 t t 0 其中 0t为某一值；3、证明：t 为方程 x Ax 的基解矩阵 1 t 0 为一非奇特常数矩阵,所以t 1 t 0 也是方程 x Ax 的基解矩阵,且 t 0t 也是方程 x Ax 的基解矩阵,且都满意初始条件 t 1 t 0 E , t 0 t 0 0 E1所以 t t 0 t t 0 常微分方程期终考试试卷（5）一 填空题（ 30 分）dy P x y Q x P x dx1 dx 称 为 一 阶 线 性 方 程 , 它 有 积 分 因 子 e, 其 通 解 为_ ；2函数fx,y称为在矩形域R 上关于y满意利普希兹条件,假如 _ ；3 如 dyx 为毕卡靠近序列nx 的极限,就有x nx _ ；x2y2定义在矩形域R:2x2,2y2上,就经过点（0, 0）的解4方程dx的存在区间是 _ ；名师归纳总结 5函数组t e,et,e2 t的伏朗斯基行列式为 _ ；第 6 页,共 21 页6如xiti,1,2,n 为齐线性方程的一个基本解组,x t为非齐线性方程的一个特解,就非齐线性方程的全部解可表为 _ ；7如t 是' xA tx的基解矩阵,就向量函数t = _是x'A txf t的满足初始条件 0t0的解；向量函数t = _ 是x'A txf t的满意初始条件 0t的解；8如矩阵A 具有 n 个线性无关的特点向量v 1,v 2,v n,它们对应的特点值分别为1 , 2 , n,那么矩阵9满意 _ 的点 x * y*t = _ 是常系数线性方程组x'Ax的一个基解矩阵；,称为驻定方程组；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆二运算题（60 分）10求方程4x 2y2dx22 x3y1dy0的通解；dydyx0的通解；,1y1的解的存在区间, 并求其次次近似解,e dx11求方程dxx2ydyR:x112求初值问题dx y10给出在解的存在区间的误差估量；13求方程x''9xtsin3 t的通解； 0t的解, 那么 texpA t0t14试求方程组' xAxf t的解t. 0 11,A12,f tte431三证明题（10 分）Ax满意初始条件t 是x' 16假如常微分方程期终考试试卷答案名师归纳总结 一填空题（30 分）0c fx ,y 1fx ,y 21Ly 1y2,对于任意第 7 页,共 21 页 1yePx dxQ x ePx dxdx 2fx,y在 R 上连续,存在L,使x ,y 1,x,y2R 3MLnhn1n1 . t1t0ttts fs ds 41x144t eete2tt eet2 e2t 5t eet4 e2tnx tcixitx t 6i1 7t t1s fs dst00 8e1tv 1,e2tv 2,entv n 9Xx,y0 ,Yx,y0二运算题（60 分） 10解：M8x2y,N6x2yyx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆M Nyx1e1dy3y11x3y1 dy0M2y积分因子y 2y22两边同乘以 y 后方程变为恰当方程：4x2y3dx2y2uM42 xy2两边积分得：u43 xyy 32x3u2x3y1'y N2 x3y11222y2y1得：y 4y21名师归纳总结 11因此方程的通解为：y2x 3y3cc1x11第 8 页,共 21 页解：令dyy'p就pepx0dx得：xpepp1ep dp 12那么ypdxepp2pepepc2xpp e因此方程的通解为：yp2p12解：M max x , y Rfx ,y 4xx01a ,yy01b,hmina,bM41解的存在区间为xx 0x1h4即5x344令0x y 001x 0xx2dxx31133x3x7x42x 0xx2x312dx13336318942又f2y2Ly- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆误差估量为：2xxMLnhn11n1 .24名师归纳总结 13解：29013 i,23 i2cos3 t1tsin3 t第 9 页,共 21 页i3 是方程的特点值,设xttAtBe 3it得：x "2A9 Bt12 Ait6 Bi9At2 e3 it就2A12Ait6Bit得：A1i,B11236因此方程的通解为：xtc1cos3 tc2sin3 t1t1236fs ds 14解：detEA 121 50431,1251EA v 10得1v取1v112EA v20得2v2取v212就基解矩阵 tet5 ettt e5 2 et10 ette5tt1 10 11ete25 e1et22 tt1s fs ds35 et1t e220 34 15 1tt05 et e1025因此方程的通解为： t t10 tt1s t 035 et1t eet2tts fs ds20 34 15 15 et ee1025三证明题（10 分） 16证明：由定理8 可知t t1t0tt1t0expAt0又由于texpAt,1 t0expAt01fs 0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆所以 texpAtexpAt0三 填空题又由于矩阵AtAt0At0At所以 texpA t0t3 分）；常微分方程期终考试试卷6 （共 30 分, 9 小题, 10 个空格,每格1、 当_时,方程 Mx,ydx+Nx,ydy=0 微分方程；2、_称为齐次方程；dy dx称为恰当方程,或称全3、求 =fx,y 满意 x 0 y 0 的解等价于求积分方程 _的连续解；dyf x , y 4、如函数 fx,y 在区域 G内连续, 且关于 y 满意利普希兹条件,就方程 dx 的解y= x , x 0y 0 作为 x , x 0, y 0 的函数在它的存在范畴内是 _；5、如 x 1 t , x 2 t ,. x 3 t 为 n 阶齐线性方程的 n 个解,就它们线性无关的充要条件是_ ；6、方程组x/A tx的 _称之为x/A tx的一个基本解组；7、如t是常系数线性方程组x/8、满意 _的点（Ax 的基解矩阵,就 expAt =_ ；x * , y *）,称为方程组的奇点；9、当方程组的特点根为两个共轭虚根时,就当其实部_时,零解是稳固的,对应的奇点称为_；二、运算题（共6 小题,每题10 分）；1、求解方程：dy=xy1xy23dx2、 2、解方程： 2x+2y-1dx+x+y-2dy=0 dy310,3、争论方程dx2y 在怎样的区域中满意解的存在唯独性定理的条件,并求通过点（0）的一切解x/2x/3xet cost4、求解常系数线性方程：5、试求方程组x/Ax的一个基解矩阵,并运算eAt,其中 A 为1243三、证明题（共一题,满分10 分）；试证：假如（t）是x/Ax满意初始条件 0t的解,那么tA et0t常微分方程期末考试答案卷 一、 一、 填空题；（30 分）名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆Mx ,yNx ,y1、yfyx ,xdy2、dxx3、y=y +xfy dxx04、连续的5、wx 1t,x 2t,.,x n t06、n 个线性无关解7、t1 0 8、Xx,y=0,Yx,y=0 9、为零 稳固中心 二、运算题； （60 分）1、解： x-y+1dx-x+2 y +3dy=0 2dz3|dxC 1 xdx-ydx+xdy+dx-2 y dy-3dy=0 1d2 x -dxy+dx-1 dy 33-3dy=0 即2所以1x2xyx1y33yC23dy2xy12、解：dxxy2,令 z=x+y 就dz1dydxdxdz12z1z1,zdxz2z2z1所以 z+3ln|z+1|=x+C , ln| z1=x+z+即xy31Ce2xyy0 3、解：设 fx,y= 31f1y23y , 就y22f故在y0的任何区域上y存在且连续,因而方程在这样的区域中满意解的存在唯独性定理的条件,名师归纳总结 明显,y0是通过点（ 0,0）的一个解；第 11 页,共 21 页dy313又由dx2y 解得, |y|=xc 2所以,通过点（0,0）的一切解为y0及- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆30xc|y|=xc2xc,c0 是常数2 ttet4、解： 12230 ,1,21i2齐次方程的通解为x=et c 1cos2 tc 2sin 21i不是特点根,故取xAcos tBsint et54代入方程比较系数得A=41,B=-41于是x5cost4sintet4141cost4sin通解为 x=e t c 1cos2 tc 2sin2 t+15415、解： detEA=12245043所以,1,1250设11对应的特点向量为1v由22v 10可得v 11441取v 11同理取v21121et5 et所以,t = etv 15 etv 2et5 t2 eeAtt10 ette5 tt1112e5 2 e1et5 et213et5 2 et1115 te2 ete5 tet35 t2 e2 et5 2 etet三、证明题；（10 分）证明：设t 的形式为t =eAtC（1）（C为待定的常向量）名师归纳总结 就由初始条件得0At0 0t=eAt0CA ett0即命题得证；第 12 页,共 21 页又eAt01=e所以, C= eAt1=eAt0代入（ 1）得t =At eeAt0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆常微分方程期终试卷 11 一填空1称为一阶线性方程,它有积分因子 yx,其通解为；就2称为黎卡提方程,如它有一个特解经过变换,可化为伯努利方程；3如（ x）为毕卡靠近序列n x 的极限,就有（x）nx ；4如 xi t （i=1,2, , n）是齐线形方程的 n 个解, wt 为其伏朗斯基行列式,就 wt满意一阶线性方程；5如 xi t （i=1,2, , n）是齐线形方程的一个基本解组,xt 为非齐线形方程的一个特解,就非齐线形方程的全部解可表为；6假如 At 是 n× n 矩阵, ft 是 n 维列向量,就它们在 a t b 上满意时,方程组 x = At x+ ft 满意初始条件 x（t0）= 的解在 a t b 上存在唯独；7如（ t ）和（t ）都是 x = At x 的 基解矩阵,就（t ）与