2022年高三数学复习专题函数的奇偶性3.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载高三数学一轮复习函数的奇偶性函数的奇偶性、 周期性是函数的重要性质,是高考命题热点之一,在考查时, 常与其他性质 如单调性 综合在一起,从近几年各地区的高考信息可以看出考查多以客观题为主,一般为简洁题,周期性与三角函数结合比较明显,但也常显现在抽象函数中,多为求值问题,以挑选题或填空题形式显现一、要点精讲1、函数的奇偶性的定义：对于函数fx定义域内定义域内任意一个x ,如有 _ _ _,就函数fx为奇函数；如有 _ _,那么函数fx 为偶函数 . 2、奇偶函数的性质： 定义域关于原点对称； 偶函数的图象关于y轴对称； 奇函数的图象关于原点对称； 奇+奇=奇,奇奇=偶,偶 +偶 =偶,偶偶=偶,奇偶=奇f00f x 为偶函数f x f|x| 如奇函数f x 的定义域包含 0 ,就3、判定函数奇偶性的途径： 依据图象的对称性进行判定 依据常见函数奇偶性的结论进行判定 运用定义法判定函数奇偶性,第一考虑定义域是否关于原点对称,其次看 fx是否等于 fx或 fx对抽象函数奇偶性的判定,要留意挖掘函数“ 原形”4、周期性,采纳“ 赋值” 等策略1周期函数：对于函数 yfx,假如存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值时,都有fxT fx ,那么就称函数 yfx为周期函数,称 T 为这个函数的周期2最小正周期： 假如在周期函数 fx的全部周期中 存在一个最小 的正数, 那么这个最小正数就叫做 fx 的最小正周期二、基本训练1下面四个结论中,正确命题的个数是 ）偶函数的图象关于y 轴对称既是偶函数的图象肯定与y 轴相交奇函数的图象肯定通过原点奇函数,又是偶函数的函数肯定是fx=0xR A.1 B.2 C.3 D.4 解 : 不对；不对,由于奇函数的定义域可能不包含原点；正确；不对,既是奇函数又是偶函数的函数可以为fx=0 x-a,a . 2以下各函数中是奇函数的是名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - （A）fxx2xR学习必备欢迎下载 （B）fx3 x2 x0,（C）fxx3xxR（D）fxlgx3 x0 ,3. 已知函数fx是奇函数,当x0时,fxx1x；当x0时,fx等于（A）x 1x（B）x 1x（C）x 1x（D）x 1x4已知 fx在 R 上是奇函数,且满意fx4fx,当 x0,2时, fx2x 2,就 f2022A 2 B 2 C 98 D 98 解：由 fx4fx, fx的周期为4, f2022 f502×43f3f1,又 fx为奇函数, f1 f1,f12× 1 22, f1 f1 2. 5已知函数yfx为奇函数,如f3f21,就 f2f3_. , b = ；解： yfx为奇函数,f2f3 f2f31. 6. 已知函数 fx=ax2+bx+ca 0 是偶函数,那么gx=ax3+bx2+cx 是 A. 奇函数 B.偶函数 C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数解析 : 由 fx 为偶函数,知b=0,有 gx=ax3+cxa 0 为奇函数 . 7、已知fxax2bx3ab为偶函数,且定义域为a,1 2 a ,就 a = b=0. 解析 : 定义域应关于原点对称,故有a-1=-2a ,得 a=1 . 要使 f-x=fx 3恒成立,应三、典例解析考点一：函数奇偶性的判定1、判定以下函数的奇偶性fx |x122 x2；0f x lgx2lg1；f x fx 1x1x奇|x21xf x fx 2 xx fxx2x<1lg1x2；a2|01x1x22 | 2x 2x>1解：（ 1）由1x20得定义域为 1,00,1 ,lg1x2lg1x2|x22 | 2x222x22 既是奇函数也是偶函数名师归纳总结 （3）由1 1x0,得定义域为 1,1,关于原点不对称,f x 为非奇非偶函数第 2 页,共 9 页x（4）fxalg12 x lg12x2f x f x 为偶函数x2x（5）分a0与0两种情形- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（6）解：当 x< 1 时, fxx2, x>1, fx x2x2fx当 x>1 时, fx x2, x<1, fxx2 x2fx当 1x1时, fx 0, 1x1, f x 0fx综上可知,对于定义域内的每一个x 都有 f xfx, fx为偶函数2. （2022 广东）如函数fx3x3x与gx3x3x的定义域均为R,就A. f x 与gx 与均为偶函数 B.xfx 为奇函数,gx为偶函数C. f x 与gx 与均为奇函数 D.fx 为偶函数,gx为奇函数解： Dfx 3xx 3f x ,g3x3xg x 考点二：函数奇偶性的证明3、已知函数f x 对一切,x yR ,都有f xyf x f y ,0f y 中,0, 求证：f x 是奇函数；如f 3a ,用 a表示f12解：（ 1）明显f x 的定义域是 R ,它关于原点对称在fxyf x ,f0令 yx ,得f0f fx ,令xy0,得f0f0ff x fx0,即fxf x , f x 是奇函数（2）由f 3a ,f xyf x f y 及f x 是奇函数,得f122f64 34f 34a 考点三：函数奇偶性的应用函数奇偶性常见的应用问题有：利用奇、偶性求参数的取值或求代数式的值；利用奇、偶性求函数解析式或化简解析式x4 14. （2022 重庆）函数 f x x 的图象2A. 关于原点对称 B. 关于直线 y=x 对称 C. 关于 x 轴对称 D. 关于 y 轴对称x x解：f x 4x 1 1x 4f x f x 是偶函数,图像关于 y 轴对称2 252022 课标 设偶函数 fx满意 fxx 38x0,就 x|fx2>0 A x|x<2 或 x>4 B x|x<0 或 x>4 C x|x<0 或 x>6 D x|x< 2 或 x>2 解： fx2>0 等价于 f|x2|>0 f2,又 fxx38x0为增函数, |x2|>2.解得 x>4 或 x<0. 6、定义在 R 上的奇函数f（x）在 0, +上是增函数,又f（ 3）=0,就不等式xf（x） 0 的解集为A. （ 3,0）（ 0,3）C.（ 3,0）（ 3,+）B.（, 3）（ 3,+）D.（, 3）（ 0,3）名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载就使得 fx<0的 x 的取值范畴解：由奇偶性和单调性的关系结合图象来解. 7如函数 fx 是定义在 R上的偶函数 , 在 - ,0 上是减函数 , 且 f2=0,是 A.- ,2 B.2,+ C.- -2 2,+ D.-2,2 解：由图象法可解 , 由函数的性质可画出其图象如下列图 . 明显 fx<0 的解集为 x|-2<x<2 18、已知函数 fx是定义在 ,00, 上的偶函数,在 0, 上单调递减,且 f 20f3,就方程 fx0 的根的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 解： 由于函数是偶函数,且在 0, 上单调递减,因此在 ,0上单调递增,又由于 f1 20f3f 3,所以函数 fx在1 2,3上与 x 轴有一个交点,必在 3,1 2上也有一个交点,故方程 fx0的根的个数为 2. x9.（ 10 山东） 设 f x 为定义在 R 上的奇函数, 当 x 0 时,f x 2 2 x b（b 为常数）,就 f 1（A ）-3 （B）-1 （C） 1 D3 答案： A 名师归纳总结 - - - - - - -10、2022 江苏 设函数fxxexaexxR是偶函数,就实数a_. 解法一：函数的定义域关于原点对称,令gxe x aex,由 fx是偶函数,知gx为奇函数,即gx gx,exae x e xaex,即1ae x1 ae x0,对一切 x R 恒成立,故a 1.故填 1. 解法二： fx是偶函数,gxe xaex 为奇函数, g0e 0ae 0 0,故 a 1.故填 1. 11、如函数fx 是定义在 R 上的奇函数, 且当x0 ,时,fxx 13 x,那么当x,0 时,fx=_x 13x12. 已知fx是奇函数,当x1,0时,fxlg11x,那么当x1 0,时,fx的表达式是 _.解：当 x（ 1,0）时, x（ 0,1）, f（ x）=f（ x）=lg11x=lg（ 1x）. 13. 如fx是奇函数,gx是偶函数,且fx gx x11,就fx= 14、设 f（x）是定义在R 上的奇函数,如当x 0 时, f（x）=log3（ 1+x）,就 f（ 2）= ；解：由于x0 时, f（x）=lo g3（1+x）,又 f（x）为奇函数,所以f（ x）=f（x）,第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载设 x0,所以 f（x）=f（ x）=f（1x）,所以 f（ 2）=log33=1；点评：该题考察函数奇偶性的应用；解题思路是利用函数的奇偶性得到函数在对称区域上函数的取值；a 2 x a 215. 如 f（ x）=2 x 1 为奇函数,求实数 a 的值 . 解： xR,要使 f（x）为奇函数,需 f（x）+f（ x）=0,即 a2 x 21 +a2 x 21 =0,得 a=1. 216. 已知函数 f（x） = ax 1（a、b、c Z）是奇函数,又 f（1）=2,f（2） 3,求 a、b、c 的值 . bx c解：由 f（ x）=f（x）,得 bx+c=（ bx+c）. c=0. 由 f（1）=2,得 a+1=2b. 由 f（2） 3,得4a13,解得 1a2.又 aZ,a1a=0 或 a=1.如 a=0,就 b=1 ,与 bZ 冲突 .a=1,b=1,c=0. 217、设定义在,22上的偶函数gx,当x0时,gx单调递减,如g 1mgm成立,求实数 m的取值范畴 . 解：由 g（1m） g（m）及 g（x）为偶函数,可得g（|1m|） g（|m|）.又 g（x）在（ 0,+）上单调递减,|1 m|m|,且 |1m| 2,|m|2,解得 1 m1. 2说明：也可以作出 g（x）的示意图,结合图形进行分析 . 18、已知函数 f x x x 1 1,（1）判定 f x 的奇偶性；（2）证明：f x 0；2 1 2解：（ 1）f（x） x·2 xx 1,其定义域为 x 0 的实数 . 2 2 1x x x又 f（ x） x·2x 1 x·1 2x x·2x 1f（x）, f（ x）为偶函数 . 2 2 1 2 1 2 2 2 1（2）证明：由解析式易见,当 x0 时,有 f（x） 0. 又 f（x）是偶函数,且当 x0 时 x0,当 x0 时 f（x） f（ x） 0,即对于 x 0 的任何实数 x,均有 f（x） 0. 考点四：函数的周期性函数的周期性是高考的热点之一,常考查的题型有：判定函数的周期性,并求其最小正周期利用函数的周期性,求特定函数值或求函数表达式结合函数的其他性质解决有关问题的综合应用名师归纳总结 19、2022 高考 如 fx是 R 上周期为 5 的奇函数,且满意f11,f22,就 f3f4 第 5 页,共 9 页A 1 B1 C 2 D2 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解：由于 fx的周期为 5, f3 f4f2f1又 fx为在 R 上的奇函数,f2f1 f2f1 21 1. 20、设 fx是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x,恒有 fx 2 fx当 x 0,2 时, fx2xx 2. 1 求证： fx是周期函数； 2 当 x2,4 时,求 fx的解析式； 3 运算 f0f1f2 f2022解： 1fx2 fx, fx4 fx2fx fx是周期为 4 的周期函数2当 x2,0时, x0,2 ,由已知得 fx2xx 2 2xx 2,又 fx是奇函数, fx fx 2xx 2, fxx 22x. 又当 x2,4 时, x42,0, fx4x4 22x4又 fx是周期为 4 的周期函数,fxfx 4 x4 22x4x 26x8. 从而求得 x2,4 时, fxx 26x8. 3f0 0, f20,f11, f3 1. 又 fx是周期为 4 的周期函数,f0 f1f2f3f4f5 f6f7 f2022f2022 f2022f2022 0. f0 f1f2 f20220. 思维拓展 本例 3 不易找到思路而无法进行,缘由是不能敏捷运用函数的奇偶性、周期性21、已知 fx是定义在 R 上的函数,且满意 fxfx 11,当 x 0,1 时,有 fxx 2,现有三个命题：fx是以 2 为周期的函数；当 x1,2 时, fx x 2 2x； fx是偶函数其中正确命题的序号是 _ 解：正确fxfx11 1 fx1fx 12 21 得 fx1fx10, fx1fx1,就 fx 2fx, fx是以 2 为周期的函数正确当 x1,2 时, x10,1 , fx1fx11x1 22xx 2x 0,1 时, fxx 2错误当 x1,0时, x 10,1 fx 1fx 11 x 1 2, fx x 22x. 又 x0,1 , fxx 2x 2, fx fx,fx不是偶函数答案：四、反馈练习名师归纳总结 1、以下函数中既是奇函数,又在区间1,1上单调递减的是 第 6 页,共 9 页A fxsinxBfx |x1| Cfx1 2a xax Dfxln2x2x解： y sinx 与 yln2x为奇函数,而y1 2a xax为偶函数, y |x1|是非奇非偶函数2xy sinx 在1,1上为增函数应选D. 2已知 fx与 gx分别是定义在R 上奇函数与偶函数,如fx gx log2x 2x2,就 f1等于 A 1B.1C1 D.3 222- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载,f11 2. fx在 2,3 上是解： 由条件知,f 1 g 1 2,fx为奇函数, gx为偶函数f 1 g 1 2f 1 g 1 1g 1 f 1 13. 已知函数 fx是定义域为R 的偶函数,且fx2fx,如 fx在1,0上是减函数,就A 增函数B减函数C先增后减的函数D先减后增的函数解： 由 fx2fx得出周期 T2,fx在1,0上为减函数,又 fx为偶函数, fx在0,1 上为增函数,从而fx在 2,3 上为增函数4已知函数 fx是定义在区间 a,aa>0上的奇函数, 且存在最大值与最小值如 gxfx2,就 gx的最大值与最小值之和为 A 0 B2 C 4 D不能确定解： fx是定义在 a,a上的奇函数, fx的最大值与最小值之和为0,又 gxfx2 是将 fx的图象向上平移 2 个单位得到的,故 gx的最大值与最小值比 fx的最大值与最小值都大 2,故其和为 4. 5已知函数 fx满意： f12,fx11f x1f x,就 f2022等于 A 2 B 3 C1 2 D.13解： 条件知, f2 3,f31 2,f4 1 3,f5f12,故 fx 4 fx xN *fx的周期为 4,故 f2022f31 2. 点评 严格推证如下：fx21 f x11,1 f x1 f xfx4fx22fx即 fx周期为 4. 故 f4kxfx,xN *, kN *,6设 fx lg 1x 2a 是奇函数,就使 fx<0 的 x 的取值范畴是 A 1,0 B0,1 C, 0 D, 01, x1 x1解： fx为奇函数, f00,a 1.fxlg,由 fx<0 得 0< <1,1<x<0,. 1x 1x7、函数 yx sinx,x, 0 0, 的图象可能是以下图象中的 名师归纳总结 解： yx sinx是偶函数,排除A,当 x2 时, y2 sin2>2,排除 D,当 x 6时, y6 sin 6 3>1,排除 B,故第 7 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载选 C. 8. 设 fx是定义在 R 上的奇函数, 且 yfx的图象关于直线x1 2对称,就 f1 f2f3f4f5_. 解： fx的图象关于直线 x1 2对称,f 1 2x f 1 2x ,对任意 xR 都成立,fxf1x,又 fx为奇函数, fx fx f1 x f1xf2 x,周期T2f0f2 f40 又 f1与 f0关于 x1 2对称f1 0f3f50 填 0. 2x9如 fx lg 1xa a R是奇函数,就 a _. 2x解： fxlg 1xa 是奇函数, fxfx0 恒成立,即 lg 1x 2xa lg2x1 xa lg 1 x 2xax1 2xa 0. 2x 2xaa 1,a 24a 3x 2 a 210,1x x1a 24a30上式对定义内的任意 x 都成立,a 1. a 210点评 可以先将真数通分,再利用 fx fx恒成立求解,运算过程稍简洁些a2 xa假如利用奇函数定义域的特点考虑,就问题变得比较简洁fxlg 为奇函数,明显 x1x1 不在 fx的定义域内,故 x1 也不在 fx的定义域内,令 xa1,得 a 1.故平常解题中要多a 2思少算,培育观看、分析、捕获信息的才能名师归纳总结 10、已知函数fx lg1a 2 x为奇函数,就使不等式fx<1 成立的 x 的取值范畴是 _第 8 页,共 9 页解：fx为奇函数, fx fx0 恒成立,lg1a 2 xlg 1a 2xlg 1a 1a 2x0,2x1a1a 2x1,4aa 0,0,a4,x 2 42xfxlg14 2xlg2x,x2由 fx<1 得, lg2x<1,2x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 0<2 x < 2 x1 10,由2x >0 得, 2<x<2,2x学习必备欢迎下载由2x < 2x10得, x<2 或 x>18 11,18 11<x<2. 11、判定以下函数的奇偶性：1fx16x12 x 2x2 fxlnx 1xx>0,；上是增函数；0 x0ln1 xx x<03fxlog 21x 2x 2 11；4 fxa 2x 2|x a| a常数 a 012. 设a0,fxexa是 R 的偶函数,求a 的值；证明fx在0aex13已知函数fx 14 2a xaa>0 且 a 1是定义在 , 上的奇函数1求 a 的值；2求函数 fx的值域；3当 x0,1时, tfx 2 x2 恒成立,求实数t 的取值范畴解： 1fx是定义在 , 上的奇函数,即即 140,2× a 0a解得 a2. fx fx恒成立,f0 0. 名师归纳总结 2y2 x 1,22 x 1x1y,1y由 2 x>0 知1y >0,1y1<y<1,即 fx的值域为 1,1第 9 页,共 9 页3不等式 tfx2x2 即为t·2 xt22 x 1x2. 即： 2x2t1 ·2xt20.设 2 xu,x0,1 ,u1,2u1,2时 u 2t1 ·ut20 恒成立12 t1 × 1t 20,解得 t0. 22 t1 × 2t 20- - - - - - -