2022年高考数学复习专题函数的性质及应用.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 江苏省 2022 届高考数学复习专题2 函数的性质及应用高考中考查函数性质的形式不一,时而填空题,时而解答题,时而与其他章节综合,在解决问题的某一步骤中显现 .在二轮复习中要留意学问点之间的联系,同时仍要留意结合函数图象解决问题 .,此外,函数的对称性、周期性常与函数的奇偶性、单调性综合起来考查；函数的零点问题是近年来新增的一个考点,也要引起足够的重视 . 1已知函数 Fxf x1 21 是 R 上的奇函数, anf0 f 1 n f 2 n f n1f1nN *,就数列 an的通项 an_. 解析：由题意知 Fx Fx,即 fx1 21 f x1 21,f x 1 2f x1 22. 令 tx1 2,就 ftf1t2. 分别令 t0,1 n,2 n, , n1,n n,得f0f1f nf n1 2. anf0 f 1 nf 2 n f n 1f1,由倒序相加法得 2an2n1,故 ann1. 答案： n1 22022 ·徐州期末 设函数 fxx|x|bxc,给出以下四个命题当 c0, yfx是奇函数；当 b0, c<0 时,方程 fx0 只有一个实数根；yfx的图象关于点 0,c对称；方程 fx0 至多有两个实数根其中命题正确选项 _解析： 当 c0 时 fx x|x|bx fx,正确；当b0,c<0 时由 fx0 得 x|x|c0,只有一个正根,正确；如Px,y是 yfx图象上的任意一点,就fx x|x|bxc2cx|x|bxc2cy,即 Px,2cy也在 y fx的图象上,正确；不名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 正确,如 b 2,c0 时, fx0 有 3 个实数根答案： 3已知函数fx|x22axb|xR给出以下命题：fx必是偶函数；当 f0f2时, fx的图象必关于直线 x 1 对称；如 a 2b0,就 fx在区间 a, 上是增函数；fx有最大值 |a 2b|. 其中正确的序号是 _解析： 明显是错的； 由于函数加了肯定值,所以对于一个函数值可能对应的 x 值有4 个,故不肯定得到对称轴是 x1；由于 a 240 时, fxx 22axb,故正确；结合函数图象,可以判定函数无最大值答案： 42022 ·淮阴联考 给出以下四个结论：函数 yk·3 xk 为非零常数 的图象可由函数 y3 x的图象经过平移得到；ax1 1不等式x >a 的解集为 M,且 2.M,就 a 的取值范畴是 4,；定义域为 R 的函数 fx满意 fx1 ·fx 1,就 fx是周期函数；已知 fx满意对 xR 都有 f 1 2 x f 1 2x 2 成立,就 f 1 8f 2 8 f 7 8 7. 其中正确结论的序号是 _把你认为正确命题的序号都填上 解析： 由|k| ·3 x 3xlog3|k|k 0知正确；由 2.M 得 2a12 a,即 a1 4,故不正确；由 fx 11 f x得 fx2 fx,故正确；由2 且 f 1 21,故 f 1 8f 2 8 f 7 87 正确答案： f 1 2x f 1 2x 2 得 fxf1x5给出定义：如m1 2<xm1 2其中 m 为整数 ,就 m 叫做离实数x 最近的整数,记作 x ,即 x m. 在此基础上给出以下关于函数fx |x x|的四个命题：名师归纳总结 函数 yfx的定义域是R,值域是0,1 2；第 2 页,共 16 页函数 yfx的图象关于直线xk 2kZ对称；函数 yfx是周期函数,最小正周期是1；函数 yfx在 1 2,1 2上是增函数- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就其中真命题是 _解析： 由 m1 2xm1 2解得 1 2 xm1 2,故命题正确；由 fkx|kx kx|k xk x| |xx| fx知正确,不正确；同理正确答案： 典例 12022 ·泰 兴 中 学 调 研 设n 为 正 整 数 , 规 定 ： fnx ff fxn个f, 已 知fx 2 1x ,0x1,x1,1x2.1解不等式 fx x；2设集合 A 0,1,2 ,对任意 xA,证明： f3xx；3探求 f2 0128 9；8 个元素4如集合 B x|f12xx,x0,2 ,证明： B 中至少包含有解1当 0x1 时,由 21xx 得,x2 3.2 3x 1. 当 1x 2 时, x 1x 恒成立, 1x2. 由,得, fxx 的解集为x2 3x 2. 2证明： f02,f10, f21,当 x0 时,f30fff0 ff2 f10；当 x1 时,f31fff1 ff0 f21；当 x2 时,f32fff2 ff1 f02. 即对任意 xA,恒有 f3xx. 名师归纳总结 3f19f 8 92 192 9,第 3 页,共 16 页f28 9f f8f 2 914 9,9f38 9f f28f 14 914 915 9,9- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - f48 9f f38f 5 92 1 5 98 9. 9一般地, f 4k r8 9fr8 9 kN,rN*f2 0128 9f 498 9. 4由1知, f32 3, fn32 3. 就 f1232 3.2 3 B. 由2知,对 x0,或 1,或 2,恒有 f3xx,f12xf4× 3xx. 就 0,1,2B. 由3知,对 x8 9,2 9,14 9,5 9,恒有f12xf4× 3xx,8 9,2 9,14 9, 5 9B. 综上所述2 3,0,1,2,8 9,2 9,14 9,5 9B. B 中至少含有 8 个元素此题给出新定义内容,第一问就是解不等式,其次问实际就是对定义的熟悉直接套用,第三问就需要对定义进行更深一步的熟悉,探究函数值之间存在的规律演练 1对于定义在 D 上的函数 yfx,如同时满意1存在闭区间 a,b. D,使得任取x1a,b,都有 fx1 cc 是常数 ；2对于 D 内任意 x 2,当 x2.a,b时总有 fx2>c. 称 fx为“ 平底型” 函数判定 f1x|x1|x2|,f2xx|x 2|是否是“ 平底型” 函数？简要说明理由解： f1x|x1|x2|是“ 平底型” 函数,存在区间 1,2 使得 x 1,2 时, fx1,当 x<1 和 x>2 时, fx>1 恒成立；f2xx|x2|不是“ 平底型” 函数,不存在 a,b. R 使得任取 xa,b,都有 fx常数典例 2名师归纳总结 2022 ·南京一模 对于函数fx,如存在实数对a,b,使得等式fax ·faxb 对定第 4 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 义域中的每一个x 都成立,就称函数fx是“a,b型函数” 1判定函数 fx 4 x 是否为“a,b型函数” ,并说明理由；2已知函数 gx是“1,4型函数” , 当 x0,2 时,都有 1gx3 成立,且当 x0,1 时, gx x 2 mx 1 1m>0,试求 m 的取值范畴解1函数 fx4 x 是“a,b型函数” ,由于由 fax ·faxb,得 16 ab,所以存在这样的实数对,如 a1,b16. 2由题意得, g1x ·g1x4,所以当 x1,2 时, gx4,其中 2x0,1 g 2x而 x0,1 时, gxx 2m1x1x 2mxm1>0,且其对称轴方程为 xm 2. 当m 2 >1,即 m>2 时, gx在0,1 上的值域为 g1,g0 ,即 2,m1 就 gx在0,2 4 4 上的值域为 2,m1m1,2 m1,m1 ,m1 3,由题意得4 m1 1,此时无解；2,即 m1m 4,m1 ,当1 2 m 21,即 1m2 时, gx的值域为gm 2,g 0所以 gx在0,2 上的值域为2 m 1m 4,m 1 4,42 m,m1m14由题意得42 m3,且m 12 m 4 1,m1441,m1m13,解得 1m2；名师归纳总结 当 0m 21 2,即 0 m 1 时, gx的值域为gm 2,g 1,即 m12 m 4,2 ,就 gx第 5 页,共 16 页在0,2 上的值域为2 m1m 4,2 2,4 2 m1m 4m12 m 4,4 2 m1m 4,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就2 m1m 41,解得 22 6 3m1. 4 m12 m43,综上所述,所求 m 的取值范畴是 223,2 . 6此题主要考查函数的综合性质,分类争论思想,第一问比较简单,好入手, 其次问转化有点困难, 应先把函数在 1,2 上的解析式求出来,然后求值域并转化为子集关系解题求值域实质就是二次函数中轴动区间定的类型,并且同时争论两个二次函数,要进行比较演练 22022 ·金陵中学期末 已知函数fx的图象在 a,b上连续不断,定义：f1xmin ft|atx xa,b,f2xmax ft|a tx x a,b 其中,min fx|x D 表示函数 fx在区间上的最小值,max fx|xD 表示函数 fx在区间上的最大值如存在最小正整数 k,使得 f2xf1xkxa对任意的 xa,b成立,就称函数为区间 a,b上的“k 阶收缩函数” 1如 fxcos x, x0, ,试写出 f 1x,f2x的表达式；2已知函数 fxx 2,x1,4,试判定 fx是否为 1,4上的“k 阶收缩函数” ,如果是,求出相应的 k；假如不是,请说明理由；3已知 b>0,函数 fx x 33x 2 是0,b上的 2 阶收缩函数,求 b 的取值范畴解： 1f1xcos x,x0, ,f2x1, x0, x 2,x1,0 ,2f1x0,x0,4,1,x 1,1 ,f2xx 2,x1,4,1x 2,x 1,0 ,f2xf1x1,x0,1 ,x 2,x1,4.当 x1,0时, 1x 2kx 1,k1x,即 k2；名师归纳总结 当 x0,1时, 1kx1, k1 x1,即 k1；第 6 页,共 16 页当 x1,4 时, x2 2kx1, k x x1,即 k16 5 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 综上,存在 k4,使得 fx是1,4上的 4 阶收缩函数3fx 3x 26x 3xx2,在 0,2上 fx>0, fx递增,在 2, 上 fx<0,fx递减当 0<b2 时, fx在0,b上递增,f2xfx x 33x 2,f1x f00. fx x 3 3x 2 是0, b上的 2 阶收缩函数,f2xf1x2x 0对 x0, b恒成立,即 x 33x 2 2x 对 x0,b恒成立,即 0x1 或 x2.0b1. 存在 x0,b,使得 f2xf1x>x0成立即存在 x0 ,b,使得 xx 23x1<0 成立即 x<0 或325 <x<35,2只需 b>325. 综上325<b1. 当 2b 3 时, fx在 0,2 上递增,在 2, b上递减,f2xf2 4,f1x f00,f2xf1x4,x0x. 当 x0 时, f2xf1x2x0不成立当 b>3 时, fx在0,2 上递增,在 2,b上递减,f2xf2 4,f1x fb<0,f2xf1x4fb>4, x0x. 当 x0 时, f2xf1x2x0也不成立综上325b1. 典例 32022 ·栟茶模拟 已知函数 fxaxx2xln aa>0,a 11当 a>1 时,求证：函数fx在 0, 上单调递增；2如函数 y|fxt|1 有三个零点,求 t 的值；3如存在 x1,x21,1,使得 |fx1fx2|e1,试求 a 的取值范畴解1证明： fxaxln a2xln a2x a x1 ·ln a,由于 a>1,故当 x0, 时, ln a>0, a x 1>0,名师归纳总结 所以 fx>0. 第 7 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 故函数 fx在0, 上单调递增2当 a>0,a 1 时,由于 f00,且 fx在 R 上单调递增,故 fx0 有惟一解 x0. 所以 x,fx,fx的变化情形如下表所示：x , 0 0 0, fx0fx 递减 微小值 递增又函数 y|fxt| 1 有三个零点,所以方程fxt±1 有三个根,而 t1>t1,所以 t1fx minf01,解得 t2. 3由于存在 x1,x21,1,使得 |fx1fx 2|e1,所以当 x1,1时,|fxmax fxmin|fxmaxfxmine1. 由2知, fx在 1,0上递减,在 0,1 上递增,所以当 x 1,1时, fxmin f01,fxmax max f1,f1 而 f1 f1a1 ln a1 a1ln a a1 a 2ln a,记 gtt1 t2ln tt>0,由于 gt11 t 22 t 1 t 1 20当且仅当 t 1 时取等号 ,所以 gtt1 t2ln t 在 t0, 上单调递增,而 g1 0,所以当 t>1 时, gt>0；当 0<t<1 时, gt<0,也就是当 a>1 时, f1>f1；当 0<a<1 时, f1<f1当 a>1 时,由 f1f0 e1 . aln ae1. ae,当 0<a<1 时,由 f1f0e 1 . 1ln ae1. 0a1a e,0,1 ee, 一二两问是很常规的,考查利用综上知,所求a 的取值范畴为此题考查函数与导数的综合性质,函数模型并不复杂,导数证明单调性,考查函数与方程的零点问题第三问要将“ 如存在x1,x21,1,使得名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - |fx1fx2|e 1” 转化成 |fxmaxfxmin|fxmaxfxmine1 成立,最终仍旧是求值域问题, 但在求值域过程中,问题设计比较奇妙,由于在过程中仍要构造函数争论单调性来确定导函数的正负演练 3 2022 ·无锡期中 已知二次函数 gx对任意实数 x 都满意 gx1g1x x 22x1,且 g1 1.令 fxg x1 2mln x 9 8m R,x>01求 gx的表达式；2如. x>0 使 fx0 成立,求实数 m 的取值范畴；3设 1me,Hxfxm1x,证明：对 . x1,x21, m,恒有 |Hx1Hx2|<1. 解： 1设 gxax 2bxc,于是gx1g1x2ax1 22cx1 22,所以 a1 2,c 1.又 g1 1,就 b1 2. m, 所以 gx1 2x 21 2x1. 2fx g x2 mln x9 81 2x2mln xmR,x>0当 m>0 时,由对数函数性质,fx的值域为 R；2 当 m0 时, fxx 2 >0 对. x>0,fx>0 恒成立；当 m<0 时,由 fxxm x0. xm,列表：x 0,mm fx0fx减微小值增这时, fxminfmm 2mlnm. fxmin>0.m 2m ln m>0,. e<m<0. m<0名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以如 . x>0,fx>0 恒成立,就实数 故. x>0,使 fx0 成立,m 的取值范畴是 e,0实数 m 的取值范畴 , e0, 3证明：由于对 . x 1,m,Hxx 1 x m0,所以Hx在1,m内单调递x减于是 |Hx1Hx2| H1Hm12m 2m ln m1 2. |Hx1Hx2|<1. 12m 2m ln m1 2<1 . 1 2mln m2m<0. 3记 hm1 2mln m2m1 m e,3就 hm1 2 1 m 3 2m 232 m1 21 3>0,所以函数 hm1 2mln m3 2m在1,e上是单调增函数所以 hmhee 21 3 2e e3 e1 <0,故命题成立专题技法归纳 1对复杂函数的对称性应留意利用最根本的定义解决,奇偶性只是对称性中最特别的 一种2对于形如： . x1,x21,m,恒有 |Hx1Hx2|<1 的问题,要留意转化成最值问题处理 同时在利用导数的正负探究函数的单调性时,为判定导函数的正负,有时仍需要设计成争论导函数的最值问题1定义域为R 的函数 fx|lg|x2|,x 2,就关于 x 的方程 f2xbfxc0 有 51,x 2,个不同的实数根 x1,x2,x3,x4,x5,求 fx1x2x3x4x5_. 解析： 作出函数 fx的图象可以得到 x1x2x3x4x59.f9|lg 7|lg 7. 答案： lg 7 2如函数 fx满意： fx3 f5x且方程 fx0 恰有 5 个不同实根,求这些实根之 和为 _解析： 由题意可得到图象关于x4 对称,所以和为20. 答案： 20 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3已知函数fx x 3bx2cx d 在区间 1,2 上是减函数,就b c 的最大值是_解析： 由题意 fx 3x 22bxc 在区间 1,2上满意 fx0 恒成立,f1 0,2bc 30,2bc 30,就 即 此问题相当于在约束条件 下f2 0,4bc 120,4bc 120,求目标函数 zbc 的最大值作出可行域 图略 ,由图可知,当直线 l：bc z 过 2bc30 与 4bc120 的交点 M 3 2, 6 时, z 最大, zmax 3 26 15 2 . 答案： 1524某同学在争论函数fxx 1|x|xR时,分别给出下面几个结论：等式 fxfx0 在 xR 时恒成立；函数 fx的值域为 1,1；如 x1 x2,就肯定有 fx1 fx2；函数 gxfxx 在 R 上有三个零点其中正确结论的序号有 解析： 明显正确；由上是增函数,故正确；由_请将你认为正确的结论的序号都填上 |fx|x| 1|x|<1|x| 1|x|1 知正确；可以证明fx在, fxx0 得x x,此方程只有一根1|x|x0,故不正确答案： 5如关于 x 的方程 x 2 2|xt|至少有一个负数解,就实数t 的取值范畴是 _解析： 方程等价于 |x t|2x 2,结合 y|xt|与 y2 x 2 图象,如图,找出两边临界值,可得94t 2. 答案：9,246已知函数 fx2x,x2,如关于 x 的方程 fxk 有两个不同的实根,就x 1 3,x<2,实数 k 的取值范畴是 _解析： fx2 xx2单调递减且值域为 0,1 ,fxx1 3x<2单调递增且值域为 ,1,fxk 有两个不同的实根,就实数 k 的取值范畴是 0,1答案： 0,1 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 7对于实数 a 和 b,定义运算 “* ”：a*ba2 ab,ab,设 fx2x1* x 1,且2 ab,a>b,b关于 x 的方程为 fxmmR恰有三个互不相等的实数根 是_解析： 由定义运算 “* ”可知 fx2x1 2 2x1 x1 ,2x1x 1,x1 2 2x1 x1 ,2x 1>x1,x1,x2,x3,就 x1x2x3 的取值范畴2 x14 21 8,x0,画出该函数图象可知满意条件的取值范畴是 13,0 . x1 2 214,x>0,16答案：13,0168定义在 R 上的函数 fx满意 fx 6fx当 3x<1 时, fx x2 2,当1x<3 时, fxx.就 f1f2 f3 f2 012 _. 解析： 由 fx6fx,可知函数的周期为6,所以 f3f3 1,f 2f4 0,f1f5 1,f0 f60,f1 1,f22,所以在一个周期内有 f1f2 f6121 0101,所以 f1f2 f2 012 f1 f2335× 13353 338. 答案： 338 92022 ·南师附中 设 fx是定义在R 上的奇函数,且当x<0 时, fxx2,对于任意x t2,t,不等式 fxt2fx恒成立,就实数t 的取值范畴是 _解析： fxt2fx等价于 fxtf 2x依据奇偶性得到函数在定义域上是单调递减函数,所以 xt2x 恒成立,解得 t2. 答案： ,2 102022 ·北京高考 已知 fxmx2mxm3,gx2 . xR, fx0 或 gx 0；. x, 4, fxgx0. 就 m 的取值范畴是 _x2.如同时满意条件：解析： 当 x1 时, gx0,当 x1 时, gx 0,当 x1 时,gx0.m0 不符合要求；当 m0 时,依据函数fx和函数 gx的单调性, 肯定存在区间 a, 使 fx0 且 gx 0,故 m0 时,不符合第条的要求；当 m0 时,如下列图, 假如符合的要求,就函数 fx的两个零点都得小名师归纳总结 于 1,假如符合第条要求,就函数fx至少有一个零点小于4,问第 12 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 题等价于函数fx有两个不相等的零点,其中较大的零点小于1,较小的零点小于4.函数m0,m0,fx的两个零点是2m,m3,故 m 满意2m m3 ,或者 m3 2m,2m1,2m 4, m 3 1 m3 4,故所求 m 的取值范畴是 4,解第一个不等式组得4m 2,其次个不等式组无解,2答案： 4, 2 112022 ·栟茶一模 已知二次函数fxax2bx c. 1如 a>b>c,且 f1 0,是否存在mR,使得 fm a 成立时, fm3为正数？如存在,证明你的结论；如不存在,说明理由；2如对 x1,x2R,且 x1<x2,fx1 fx2,方程 fx明必有一个根属于 x1,x2；1 2fx1fx2有 2 个不等实根,证3如 f00,是否存在b 的值使 x|fxx x|f fx x 成立？如存在,求出b 的取值范畴；如不存在,说明理由解： 1由于 f1 abc0,且 a>b>c,所以 a>0 且 c<0. f10, 1 是 fx0 的一个根,由韦达定理知另一根为 c a. a>0 且 c<0,c a<0<1. 又 a>b>c,b ac, 2<c a<1 2. 假设存在这样的 m,由题意,就 c c a ma m1 a<0,a<m<1. a3>231. m3>cfx在1, 单调递增,fm3>f10,即存在这样的 m 使 fm3>0. 2令 gxfx1 2fx1fx2,就 gx是二次函数gx1 ·gx2 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - f x1 f x1 f x2f x2 f x1 f x2221 4 fx1fx2 20,又 fx1 fx2,gx1 ·gx2<0,gx0 有两个不等实根,且方程 gx0 的根必有一个属于 x1,x23由 f00 得 c0, fxax 2bx. 由 fxx,得方程 ax 2b1x0,解得 x10,x21b,a又由 ffxx 得 afx 2bfxx. afxxx2 bfxxxx. afxx22axfxxax2bfxxbxx0. fxx afxax2axb10,即fxx a2x2ab1xb10. * fxx0 或 a2x2ab1xb10.由题意 * 式的解为 0 或1b a或无解,当* 式的解为 0 时,可解得b 1,经检验符合题意；当* 式的解为1b a时,可解得b3,经检验符合题意；当* 式无解时, a 2b1 24a 2b1<0,即 a 2b1b3<0, 1<b<3. 综上可知,当1b3 时满意题意12已知函数 f1xe |x2a1|, f2x e |xa|1,x R, 1a6. 1如 a2,求 fxf1xf2x在2,3 上的最小值；2如|f 1xf2x|f2xf1x对于任意的实数 x 恒成立,求 a 的取值范畴；3求函数 gx