2022年已知三角函数值求角、正弦定理和余弦定理.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - § 4.7 已知三角函数值求角 正弦定理和余弦定理预备学问 已知锐角,求三角函数值 三角形的分类 角 终边上的点的坐标 重点 已知三角函数值,在主值区间内求出对应的角 懂得正弦定理和余弦定理,并能应用 难点 正弦定理和余弦定理的应用 解斜三角形问题 学习要求 已知三角函数值,能在主值区间内求出对应的角 把握正弦定理和余弦定理可以解斜三角形的类型及其解法 能应用正弦定理和余弦定懂得决一些简洁的实际问题名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 在§ 4. 5 中,你已经学会如何运算已知角的三角函数的函数值可以把它分为两类,第一类,对特别角,你应当记住函数值；其次类,对一般角可以使用运算器求得函数值但在数学和实际生活中,在很多时候遇到的问题是相反的：已知三角函数值,要求相应的角的大小例如在RtABC中,已知 AC =8.5, BC =5,求A见图 4-41由于B 5 tanA=5,所以问题成为已知一个角的正切,8 .5反求角AA 8.5 C 1. 已知三角函数值求角图 4-41 见表 4-2？反1 已知特别角三角函数值求角记得在§4.5 中,曾经要求你熟记特别角的三角函数值吗过来,假如已知的三角函数值是特别角三角函数值表中的数值姑且称其为特别三角函数值,那么,你当然也应当立刻知道角如sinx=1x =6,5；tanx=3x=3；26等等求出一个或两个角后,依据三角函数的周期,仍可以得到无限多个角,如从 sin x = 1 ,除了得到 x= , 5 外,仍有2 6 6x =2k + , 2k + 5 k Z 6 6都是满意 sin x = 1 的角；从 tan x = 3 ,除了 x = 外,也仍有2 3x= k + k Z 3也都是满意 tan x= 3 的角你当然会产生疑问：在这么很多可能的角中,我究竟应当求哪个角？其实,只要求出一个角后,其它无限多个满意要求的角,都是可以推算出来的,至于怎么推算,除了加或减周期外,仍可以用其它公式来得到,这将在第五章中介绍目前在没有介绍这些公式之前,我们名师归纳总结 的要求是 下文中的 a,是特别三角函数值或它们的相反数 ：第 2 页,共 18 页已知正弦函数值sinx=a,如 a 0,求在 0 ,2内的角x；如 a<0,求在 -2,0 内的角 x ；已知余弦函数值cosx=a,求在 0,内的角 x；已知正切函数值tanx=a,如 a 0,求在 0,2内的角 x ；如 a<0,求在-2,0 内的角 x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 为了表达便利,称上面求角的范畴为主值区间即对正弦函数,主值区间是 -2,2 ；余弦函数的主值区间是0,；正切函数的主值区间就是-2,2以前遇到负角,我们总是把它化为一个周期内的正角,很少直接处理负角因此第一考虑已知 sinx 或 tanx 值 a<0,怎么求在 -,0内的角的问2题只要看一下图 4-42 就可以得到解答图上 y T 的圆 O 是单位圆,角 x 和角 -x 的正弦线 MP, P MP 、正切线 AT, AT 的数值正好互为相反数,x M x 因此 O -x A sin-x=-sinx, tan-x=-tanx这样,如已知sinx 或 tanx 值 a<0,你可以先求P T 出0,2内的 x,满意图 4-42sinx= a 或 tanx= a ,然后由于sin-x =-sin x=- a =a 或tan-x=-tan x=- a =a,因此 -x 就是要求的答案名师归纳总结 例在各三角函数的主值区间内,求满意以下要求的x ：第 3 页,共 18 页1sinx=-1 ；22cosx=-3 ；23tanx=1；4tanx=-3 ；35sinx=-1；6cosx =2 ；27sinx =3 ； 8cosx=12解1由于sin-6=-1 ,所以 2x=-62由于cos5=-3 ,所以 2x =5663由于tan4=1,所以x=44由于tan-6=-3 ,所以 3x=-65由于sin-2=-1,所以x=-26由于cos4=2 ,所以 2x=4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 7由于sin3=3 ,所以 2x=38由于cos0=1,所以x =0 课内练习 1 1. 在主值区间内,求满意以下要求的x ：3 ；4tanx=-1；1sinx =-2 ； 2cosx=-21 ； 3tanx =-25cosx=-1；6cosx=0；7sinx= -3 2 2已知非特别三角函数值求角假如已知的三角函数值,不是特别角的三角函数值,可以使用运算器来求得角第一你要设定求出来的角用角度制仍是弧度制表示,这你已经熟识了,应当用 MODE 键切换来设定假如切换成 RAD 状态,求出来的角是弧度；假如切换成 DEG 状态,求出来的角是角度详细求角的按键次序是：先键入三角函数值,按 2ndF 键,再按一次 sin-1 , 或 cos-1 , 或 tan-1 键,显示屏上立刻显示对应的角运算器显示的仅仅是各三角函数所对应的 主值区间内的 角例 2 已知1sinx= -0.9392； 2cosx=0.7753； 3tanx=-0.4541；4cotx=0.9901；5sinx= 1.0211； 6tanx =- 10.0000；7secx =8.3233； 8cscx=4.8858求分别以角度制和弧度制表示的角 分x 弧度保留四个有效数字,角度精确到解 每题总是先求出弧度制结果,再转换成角度制因此每题解算之前,总是把角的度量制调到 按键,求出角度制的角：RAD 状态,先求出弧度制的角,再按以下次序 1802ndF2ndFDMS 弧度结果角度结果题号按键顺序1 0.9392 +/- 2ndF -1 sinx -1.220 x -69 552 0.7753 2ndF -1 cosx 0.6836 x 39 103 0.4541 +/- 2ndF -1 tanx -0.4263 x -24 254 0.9901 2ndF 1/x 2ndF tan-1 x 0.7904 x 45 175 1.0211 2ndF -1 sinE （出错）E （出错）x 1.471 x -84 1710 +/- 2enF -1 tan6 7 8.8233 2ndF 1/x 2ndF -1 cosx 1.457 x 83 298 4.8858 2ndF 1/x 2ndF -1 sinx 0.2061 x 11 48对此题解算作几点说明名师归纳总结 输出模式设定为RAD 的前导操作,取出弧度制角后转换成角度制的后第 4 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 继操作,按键都是固定的,表上未列出,但你在解算中是不能省的第5题,由于 |sinx |1,所以此题题目有误你可以强制按键来求x,看看会显现什么信息1x,第4题由于在运算器上没有cot-1 键,所以,先用倒数关系tanx=cot从已知 cotx=0.9901,求出 tanx=1.0100,再用 tan-1键求出 x；1 sec x,第7题由于再运算器上没有sec-1键,所以,先用倒数关系cosx=从已知 secx=8.3233,求出 cosx=0.1201,再用 cos-1 键求出 x ；第8题由于在运算器上没有csc-1 键,所以,先用倒数关系sinx =1,从已知 cscx=4.8858,求出 sinx=0.2047,再用 sin-1 键求出 x csc x课内练习 2 1. 已知 1sinx =0.8322； 2cosx =-0.2233； 3tanx=17.455；4cotx=-1.8000；5cosx=-1.0100；6tanx=0.9995；求分别以角度制和弧度制表示的角 到分 7secx= -2.4750； 8cscx =9.0101x弧度保留四个有效数字,角度精确2. 正弦定理、余弦定理A c B a 你已经熟识了直角三角形中的角与边的关系,如a =c sin , b=c cosc=a2b2, a =tan b1b C 等见图 4-43并且,你仍会应用这些关系,来解直图 4-43角三角形,即已知直角三角形中某些边或角,求其余角或边但生产活动和实际生活中,遇到的未必都是直角三角形问题,有些是斜三角形问题例如为了求得不行直接到达的两点 A, B 之间的距离,通常另选一点 C,测得 a,b 和角 见图 4-44假如 =90 ,那是A B 一个简洁的解直角三角形问题；但如、A、 B 没有一个是 90 ,就是斜三角 b a 形问题了因此有必要探求在斜三角形C 中,内角和边之间的关系目前你所知 图 4-44道的关系是：大边对大 内角,小边对小 内 角,这种熟识太模糊了,现在我们要把这种所谓“对” 数字化,说得更详细一些,是边与内角的三角函数之间的关系1 正弦定理名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 图 4-451是一个直角三角形,它的角边之间的关系已经用 1写出,把改记为 A,表示内角 A 的大小,同样, B,C 表示A c F B 内角 B,C 的大小由于a CF =a sinB=b sinA,sinC=1,所以SRt ABC =1 AB CF= 21 c b sinA 2b C 图 4-451=1 c a sinB = 21 a b sinC,2由此得s i n = asinB=sinCbc这就是说,直角三角形三个内角的正弦,与三条对边的对应比是相等的现在我们把角 C 改动一下,变为图 4-452那样,此时,ABC 当然不再是直角三角形,但仍有 B F CF =b sinA=a sinB, AE =c sinB=b sinC c E a BD =c sinA=a sinC,A C SRt ABC = 1 AB CF= 1 BC AE= 1 AC BD b D 2 2 2 图 4-452即 SRt ABC = 1 c b sinA= 1 c a sinB = 1 a b sinC 4-7-1 2 2 2从而 s i n = sin B = sin C 4-7-2a b c即使转变 C 为图 4-453那样 成为钝角 ,仍 B 然可以导出上述结果这样就可以得到两个结论：c E a 任何三角形的面积等于任意两边与其夹角的正弦的乘积之半 即4-7-1 ；D A b C 任何三角形三个内角的正弦,与三条对边的 F 对应比是相等的 即4-7-2 图 4-453称结论 为正弦定理 2 余弦定理2 2回到图 4-451,对直角三角形有关系式 c= a b现在我们也把角2 2C 改动一下,变为图 4-452那样非直角三角形情形,此时,c= a b 不再成立,代替它的是所以a2=BD2+DC2 和 c2=BD2+AD22= a2+AD +DC AD -DC ,c2AD2+a2-DC2 =a2+AD2-DC由于AD +DC =AC=b, DC =acosC,AD -DC =b - DC -DC =b-2DC, 名师归纳总结 所以c2=a2+bb- 2a cosC=a2+b2-2ab cosC第 6 页,共 18 页这表示,代替关系c=a2b2的将是- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - c2=a2+b2-2ab cosC4-7-3 比较一下 4-7-3与直角三角形时的关系式c=a2b2是相容的 由于在直角三角形中 cosC=0把角 C 改为角 A、角 B,作同样的推导,也可得到如下公式：a 2=c 2+b 2-2bccosA 4-7-4 b 2=c 2+a 2-2accosB 4-7-5 上面推导中,我们所参看的图 4-452,默认 是锐角假如转变 C 为图 4-453那样,使 成为钝角,只要留意 cos <0,上述结果仍旧成立因此可以有结论：在任何三角形中,一个角的对边的平方等于两条邻边的平方和,减去这两条邻边与这个角的余弦的乘积 理4-7-3 4-7-5是余弦定理的数学表示.这个结论被称为余弦定 3.正弦定理、余弦定理是“ 大边对大 内角,小边对小 内角”的数字化解斜三角形前面曾经说过,直角三角形的边角关系1是解直角三角形的基础所谓解直角三角形问题,就是已知直角三角形的二条边,或一条边和一个锐 角,求得其余的角和边的问题而正弦定理和余弦定理就是解决下述 解斜三 角形问题 的基础： 已知一个斜三角形的某些边和角,求其余的未知边和角先分析和回忆一下解直角三角形问题在这类问题中,已知的条件总是二个但你别忘了,直角三角形有一个内角是已知的90 ,这也是已知条件之一,因此实际上已知条件是三个不同条件下解算的方法可以归结为条件类 型A 图 象B 解 算 步 骤A二 条二条直角边 两 边 夹 一 角 c c=a2b2c, sinA=a/ cb a B= /2-AB. C A c B sinA=a/ cA, B= -ABc. 边一条直角边 和斜边b sinB=b/c b , c=a2b2a C 一 边 和直角边和锐 角（两角共 一边）A c B sinB=b /cb, c=a2b2a,b a C 锐 角斜边和A c b 锐角a B A= /2-BAC 粗线表示的为已知条件 比照解斜三角形问题,也有类似的分析第一,已知条件必需是三个；其次,由于现在已经没有一个内角是直角这样的隐含条件,因此这三个条件 必需实际给出,而且,在直角三角形中,不会给出已知三条边这种条件形式（由于已知两条边加一个直角条件,已经能确定直角三角形了,给三条边属 于条件余外）,但在斜三角形的中,却有可能以三条边的形式给出已知条件 .这样,我们也可以把解斜三角形问题归纳为名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 条件类型图象解算步骤三 条三边A a c 应用余弦定理于两个不同内角,b 得到两个内角的余弦值求出两B 个内角第三内角= - 两内角的边C 和. 二两边夹A a c c2=a2+b2-2ab cosCc, sinAsinCA, 一角b 条acB 边C sinBsinCB. 和两边一A a c bc一sinBsinCB 个bcb 角A= -B+C A, 对角B C a2=b2+c2-2ab cosAa . 一两角夹A a c A= -B+C A, sinAsinCc, b 一边acB 边C sinBsinCb . 和两角一A a c bc两A= -B+C A, 个角sinBsinAa , b baB 对边C sinAsinCc. ac粗线表示已知条件 留意,表中所列的步骤,并非不能转变,例如表中最终一类,第三步完 全可以不用正弦定理,而用余弦定理求 c遇到一个解斜三角形的问题,第一应当判定它属于哪一类,然后按步骤 解算你可能会被三角形三个内角、三条边之间的众多搭配方案所构成的已 知条件所困惑,以至于判定不出类型其实,判定类型是有章可循的你可以这样来记： “三边必定用余弦,仍有两角夹一边；正弦两边一对角,双角 必定用正弦 ”表中第三行两边一对角问题的解可能不只一个,因此,这种情形的一般 情形,到第六章才会最终解决名师归纳总结 例 3如图 4-46,在 ABC 中,已知三边A 9 8 C 7B 第 8 页,共 18 页AB,BC,AC ,求三角形的三个内角精确到 1 解这是属于三边类型对角 A 应用余弦定理BC2=AC2+AB2-2AB AC cosA,图 4-46- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 得cosA=9228272960 . 6,89144应用运算器,求得 A 48 11 ；对角 B 应用余弦定理AC2=BC2+AB2-2AB BC cosB,C B 得cosB= 722829232.028571487112应用运算器,求得B 73 24 ；C=180 -A+B 58 25例 4如图 4-47,在 ABC 中,已知边AC 和角 A,B,求 AB ,BC 和角 C11 解这是属于双角类型2C= -A+B = -4+2=7；A 45520图 4-47应用正弦定理于角B,Cbc,即11ABs i n Bs i n Csin2 5sin7 20C B 得AB =11sin710.305457sin2 520应用正弦定理于角A,Bba,即11BC4s i n Bs i n Asin2 5sin得BC =11sin48.178457 sin2 5例 5如图 4-48,在 ABC 中,已知边AC,AB 和角 A,求 AB 和角 B,C ,并求其面积S5 解这是属于两边夹一角类型44 D 应用余弦定理于角AA BC2AB2AC22ABBCcos A,图 4-48BC =422 5245cos43.565912；应用余弦定理名师归纳总结 AB2BC2AC22ACBCc o s,第 9 页,共 18 页cos CAB2BC2AC21612 . 71572925 0.608981 2ACBC253 .565912应用运算器,求得C 52 29 ； B 180 -45 +52 29 =82 31 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 面积S=1 AB 2 AC sinA =14 527.071068 22课内练习 31. 在AB C 中,已知 a=7, b=5,C=45 ,求 c, A, B取 6 位小数,角度精确到分 2. 在ABC 中,已知 a=3, B=5,C=2,求 c, A, b 取 6 位小数,角度3精确到分 3. 在ABC 中,已知边a=4.5, B=3, A=5,求 b,c 和角 C取 6 位小5数,角度精确到分 4. 解斜三角形应用举例正弦定理、余弦定理及解斜三角形问题,原来就是从本部分开头时提出的那个实际问题引发的事实的确如此,解斜三角形在实际中遇到的机会是比较多的第一,让我们一起来解决本部分开头时提出的问题例 6如图 4-49为了测量不行直接A B 到达的两点A,B 之间的距离,可以另选一点 C,AC , BC 是可以直接到达的现量得6087 3075AC =60m,BC =75m,ACB =87 30 ,C 图 4-48“两边夹一角 ”类型求 AB 精确到 0.1m 分析这是一个典型的解斜三角形问题,而且属于解应用余弦定理93 .980985AB2=BC2+AC2-2AC BC cosC,AB =BC2AC22ACBCcos C=562536009000cos873 0=922590000.043619=8832 .426所以AB94.0m 就这个实际问题而言,除了题目中这种测量方法以外,仍可以有其它的、你会解算的测量方法,你能提出一个新方法吗？下面我们连续探究,解斜三角形在其它一些问题上的应用例 7 如图 4-50,为了测量塔的高度 CD ,可以取一点 A,再在 AD 线上另选一点 B,在 A,B 点处测取点 C 的仰角 , ,同时量取 AB ,经过简洁的运算,塔高 CD 就可以得到了现设 AB =50m, =38 20 , =55 10 ,求塔高 CD 精确到 0.1m 分析 从已知条件可得名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - ABC = -C 这样在斜三角形 ABC 中,已知两角夹一边,可以算得 BC 或 AC ；再依据三角函数定义得CD =BCsin或 CD =AC sin A B 图 4-50D 解ABC =180 - =124 50 ；以两角夹一边类型,解斜三角形ABC ACB =180 -38 20 +124 50 =16 50 ；应用正弦定理AB5BC38sin5050sinBC107 .088840；s i n ACBs i n163820BC =50 sin 160sin20=0500. 620235.289589在 Rt ABC 中,CD =BC sin =107.088840 sin55 10=107.088925 0.820817 87.900340答：塔高 CD 87.9m 与例 6 一样,此题中的问题也可以有其它解决方法,你能提出一个新方法吗？例 8 典型的热动力机的工作原理,是靠混合了空气的燃料 如汽油、柴油等 在汽缸 Q 内燃烧,推动活塞 P 在汽缸内作往复直线运动 , 通过连杆AB 带动曲柄 BC 绕 C 旋转,从而输出动力由AB , BC 组成的传动机构,在机械上常称为曲柄连杆机构图 4-511是它的工作原理图,图 4-512是它的工作示意图当曲柄位于 B 0C 位置时,连杆的 A 端位于 A 0现设连杆AB 长 340mm,曲柄 BC 长 85mm曲柄自 CB 0 顺时针旋转 80 时,求活塞即连杆 A 端移动的距离 精确到 0.1mm名师归纳总结 分析A 0C=A 0B 0+B 0C=340+85=425,P B 0 BB第 11 页,共 18 页A 0A=A 0C-AC ,所以为了求出A 0A,只要求AC这样问题就成为解斜三Q A 0 AC角形ABC ,已知条件是a=BC , c=AB 和角 C,图 4-511B 0 80因此它是属于两边一对角的类型所以解由于AB>BC ,A 0 ACA<C；由于C =80 ,所以A 也是锐角图 4-512- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 应用正弦定理ABBCsin800.2 4 6 2,sinCsinAsinABCsinC85AB3 4 0由于 A 是锐角,可得A=14.25 ；B=180 -A+C=180 -80 +14.25 =85.75 ；用余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB BC cosB,9259.2AC =AB2BC22ABBCcos B=2 3402 85234085cos 85 . 75344.30活塞移动A 0A=A 0C-AC =425-344.30=80.7 所以活塞移动80.7mm 课内练习 4 1. 你使用圆规画圆,原来应当是两边一样长的,但你在 安装铅芯时,搞成一边长,另一边短了现在把圆规第 1 题图张成 25 角画圆,你画的圆的半径是多少如图,单位为 mm运算精确到0.1mm北65S2. 如下列图,一艘船以32km/h 的速度向正北方向航行起初望见一座灯塔在船的北偏东20 ；半小时后,望B 20A 第 2 题图见这座灯塔在船的北偏东65 求两次望见灯塔时,离灯塔有多远 结果精确到0.1km课外习题 A组1. 求以下三角形中的未知边：1a=35,b =24,C=60 ；2a=52, b=7,C=1352. 在 ABC 中已知三边,求三个内角：1a=2, b=5, c=4；2a=12, b=10, c=9；3a=8, b=5, c=123. 在ABC 中1a=15, A=60 , B=75 ,求 b；2a=15, b=12, C=60 ,求 c, A, B；名师归纳总结 3b=9,C=40 ,B=35 ,求 a , c, A； 4c=7, A=4, B=3,求 a, b, C第 12 页,共 18 页54. 求以下三角形的面积S保留根号 ：；1a=4,b=5,C=6；2b=8,c=8,A=23- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3a=10,b =5,c=9；4a=61,b=74,c=87B 组1. 在 ABC 中,已知 A=120 ,求证：1a 2-b 2=cb+c；2b a 2-b 2=ca 2-c 22. 在 ABC 中,已知 sin 2A+sin 2B=sin 2C,求证：ABC 是直角三角形3. 已知平行四边形 ABCD 的对角线 AC=16, BD=20,且它们所夹的锐角为60 ,求各边的长4. 在 ABC 中,已知 c=1+3 , A=60 , B=45 ,求 S ABC 5. 如图,自动卸货汽车的车厢采纳液压机构,设计时需运算油泵顶杆BC 的长度已知第 5 题图）R车厢的最大仰角为60；油泵顶点 B 与插自卸载重厢支点 A 之间的距离为1.95m； AB 与水平汽车标记图 线之间的夹角为6 20 , AC 长为 1.40m计Q算 BC 的长 结果保留三个有效数字6. 如图 , 作用于一点的两个力P=36N, Q=83N,两力的夹角为=77 10 ,求合力 R的大小及其与力 Q所夹的角R保留 2 个有效数字 180 -C 组1. 如图 , 在山顶铁塔上 B 处测得地面上一 P第 6 题点 A 得俯角 =54 40 ,在塔底 C 处测得点 A 得俯角 =50 1 已知铁塔 BC 部分的高 27.3m,求山高 CD 精确到1m2. 如图,刨工要加工一个三角形凹槽ACB 已知 ABAD ,ABBE ,量得AB =80mm,加工结果要求BC =70mm, AC =30mm,问要挑选多大的角和 ,才能刨出所需的三角凹槽？BA AC第 2 题BCDED 第 1 题3. 曲柄连杆的示意图如下列图当曲柄OA 在水平位置OB 时,连杆端点P 在 Q 的位置当 OA 自 OB 按顺时针方向旋转角时, P 和 Q 之间的名师归纳总结 距离 x已知 OA =25cm,AP =1 25cm 求在以下条件下的x 值： 精确到第 13 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 0.1cm A1 =50 ；2=90 ；QxP第 3 题BO3 =135 ； 4 AP AO 4. 已知ABC 的三边分别为m,n ,m2mnn2,求ABC 的最大角5. 已知ABC 中, a : b: c=3: 4:5 ,试判定ABC 的外形6. 证明三角形的面积S=a2sinBsinCb2sinAsinCc2sinAsinB2sinA2sinB2sinC7. 在 ABC 中,AC =16,面积 S=2003 ,求 BC 的最小值8. 列车在雨天顺风行驶当列车静止时,雨点由于风吹,会在车窗玻璃上留下与铅垂线成 15 角的痕迹,方向从后向前；列车在行进中,雨点在车窗上留下的痕迹却是从前向后的,且与铅垂线成45 角已知雨点下落的斜线速度是 21m/s,你能算出列车行进的速度吗 精确到 0.1m/s？实习课题 你有没有遇到过这种情形：想知道可望而不行及的两个目标的