2022年高中数学必修知识点归纳.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 必修 2 学问点归纳其次章点、直线、平面之间的位置关系及其论证第一章 空间几何体1、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简洁组合体常见的 多面体 有：棱柱、棱锥、棱台；常见的 旋转体 有：圆柱、圆锥、圆台、球；简洁组合1、公理 1：假如一条直线上两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内；ABlAl BllA,B体的构成形式：中（ 1）（2）物体表示的几何体；公理 1 的作用：判定直线是否在平面内A,B,C确定平面一种是由简洁几何体拼接而成,例如课本图1.1-112、公理 2：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面；一种是由简洁几何体截去或挖去一部分而成,例如课本图1.1-11中（ 3）（4）物体表示的几何体；C AB如 A,B, C不共线,就推论 1：过直线的直线外一点有且只有一个平面简洁组合体Al如 Al,就点 A 和l确定平面推论 2：过两条相交直线有且只有一个平面棱柱 ：有两个面相互平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都相互平Aml如 mnA ,就m n 确定平面行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱；棱台： 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的多面体叫做推论 3：过两条平行直线有且只有一个平面棱台；m n如 mn,就m n确定平面1、空间几何体的三视图和直观图把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影,中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照耀下的投影叫平行投影,平行投影的投影线是平行的；（1）定义：正视图 ：光线从几何体的前面对后面正投影得到的投影图；侧视图 ：光线从几何体的左面对右面正投影得到的投影图；公理 2 及其推论的作用：确定平面；判定多边形是否为平面图形的依据；3、公理 3：假如两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点 的公共直线；俯视图 ：光线从几何体的上面对下面正投影得到的投影图；bac几何体的 正视图、侧视图和俯视图 统称为几何体的三视图 ；·P LP,Pl且Pl（2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“ 长对正” ,“ 高平齐” ,“ 宽相等”2、空间几何体的直观图（表示空间图形的平面图）. 观看者站在某一点观看几何体,画出的图形 . 公理 3 作用：（ 1）判定两个平面是否相交的依据；（ 2）证明点共线、线共点等；3、斜二测画法的基本步骤： 建立适当直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上）4、公理 4：也叫平行公理, 平行于同一条直线的两条直线平行.ab c 建立斜坐标系 x O y ,使 ' ' 'xOy ' ' '=45 0（或 135 0）,留意它们确定的平面表示水平平面； 画对应图形 ,在已知图形平行于 X 轴的线段, 在直观图中画成平行于 X 轴,且长度保持不变；在已知图形平行于 Y轴的线段, 在直观图中画成平行于 Y 轴,且长度变为原先的一半；一般地,原图的面积是其直观图面积的 2 2倍,即 S 原图2 2 S 直观4、空间几何体的表面积与体积公理 4 作用：证明两直线平行；5、定理：空间中假如两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补；a1 b a a b b 且 1 与 2 方向相同 12b a 'a 1'a2 2b' b '方向相同就 方向相反就 a a b b且 1 与 2 方向相反 1 2 180 1 2 1+ 2 180 °圆柱侧面积 ；S 侧面2rl作用：该定理也叫等角定理,可以用来证明空间中的两个角相等；r6、线线位置关系：平行、相交、异面；ab,abA,a b异面llS侧2r.l（ 1）没有任何公共点的两条直线平行a（ 2）有一个公共点的两条直线相交AbrAAB=2 rB（ 3）不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线7、线面位置关系：aa圆锥侧面积：S侧面rl1a2AA3图中：扇形的半径长为l,l圆心角为 ,弧 AB的长（ 1）直线在平面内,直线与平面有很多个公共点；aVL .l注：扇形的弧长等于 圆心角乘以半径 .提示圆心角为弧度角,例如 60° 弧度,345°4弧度, 90° 2弧度等等 （ 2）直线和平面平行,直线与平面无任何公共点；alhlrB（ 3）直线与平面相交,直线与平面有唯独一个公共点；aA圆锥的侧面绽开图是扇形,8、面面位置关系：平行、相交；扇形面积 S扇形 12圆台侧面积：S侧面弧长半径rlRl9、线面平行： （即直线与平面无任何公共点）O 1rhlO 2RRO判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,就该直线与此平面平行；（只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以）a体积公式：h；V 锥体1Sh；rdO1V柱体Sba/3d= R 2-r2a/bV 台体1h S 上S 上S 下S 下证明两直线平行的主要方法是：3球的表面积和体积： 三角形中位线定理：三角形中位线平行并等于底边的一半；S球4R2,V 球4R3. 一般地,面积比等于相像比的平方,体积比等于相像比的立方； 平行四边形的性质：平行四边形两组对边分别平行；3 线面平行的性质： 假如一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交,第 1 页,共 4 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 那么 这条直线和它们的交线平行；12、面面垂直：aab定义：两个平面相交,假如它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面相互垂直；ab平行线的传递性：ab cbac判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线,就这两个平面垂直；面面平行的性质：假如一个平面与两个平行平面相交,那么它们的交线平行；aabl（只需在一个平面内找到另一个平面的垂线就可证明面面垂直）l 性质：两个平面相互垂直,就一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面；b垂直于同一平面的两直线平行；aablmlblm直线与平面平行的性质：假如一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线和它们的交线平行；（上面的）证明两直线垂直和主要方法：利用勾股定理证明两相交直线垂直；利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直；10、面面平行： （即两平面无任何公共点）（ 1）判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,就这两个平面平行；a,b利用线面垂直的定义证明（特殊是证明异面直线垂直）；利用三垂线定理证明两直线垂直（“ 三垂” 指的是“ 线面垂”“ 线影垂” ,“ 线斜垂” ）abA斜P如图：PO又直OA 是PA 在平面上的射影aPAa,b线a,且aOA判定定理的推论：一个平面内的两条相交直线与另一个平面上的两条直线分别平行,两A影Oa线即：线影垂直线斜垂直,反之也成立；平面平行 a b利用圆中直径所对的圆周角是直角,此外仍有正方形、菱形对角线相互垂直等结论；空间角及空间距离的运算abA1. 异面直线所成角：使异面直线平移后相交形成的夹角,通常在在两异面直线中的一aa b b条上取一点,过该点作另一条直线平行线,a b（ 2）两平面平行的性质：性质：假如一个平面与两平行平面都相交,那么它们的交线平行；如图：直线 a与b异面, b/b,直线 a与直线 b 的夹角为两异面直线a与 所成的角,异面直线所成角取值范畴是（0 ,90 aab2. 斜线与平面成成的角：斜线与它在平面上的射影成的角；如图： PA 是平面的一条斜线, A为斜足, O为垂足, OA叫斜线 PA在平面上射影,PAO 为线面角 ；b性质：平行于同一平面的两平面平行；性质：夹在两平行平面间的平行线段相等；3. 二面角：从一条直线动身的两个半平面形成的图形,如图为二面角l,二面角的大小指的是二面角的平面角的大小；二面角的平面角分别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直A CACBD如图：在二面角-l-中, O棱上一点,OA,OB,且OAl OBl,就AOB 为二面角-l-的平面角；B D用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是：ABCD明确构成二面角两个半平面和棱；性质：两平面平行,一平面上的任一条直线与另一个平面平行；明确二面角的平面角是哪个？而要想明确二面角的平面角,关键是看该角的两边是否都和棱垂直；aa或aa（求空间角的三个步骤是“ 一找”、“ 二证” 、“ 三运算” ）0有如下两个对应：4. 异面直线间的距离：指夹在两异面直线之间的公垂线段的长度；如图 PQ 是两异面直线间的距离11、线面垂直：（异面直线的公垂线是唯独的,指与两异面直线垂直且相交的直线）5. 点到平面的距离：指该点与它在平面上的定义：假如一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那么就说这条直线和这个平面垂直；判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,就该直线与此平面垂直；射影的连线段的长度；lm如图： O为 P在平面上的射影,线段 OP的长度为点P 到平面的距离lnAl求法通常有：定义法和等体积法mn等体积法：就是将点到平面的距离看成是m n三棱锥的一个高；如图在三棱锥 VABC性质：垂直于同一个平面的两条直线平行；中有：V SABCV A SBCV BSACV C SABaabb第三章直线与方程性质：垂直于同始终线的两平面平行l l1. 直线方程的概念：一条直线 l 与一个二元一次方程F x y , Ax By C名师归纳总结 第 2 页,共 4 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 直线 l 上任意一点的坐标 , x y 都满意方程F x y , Ax By C0；方程组求解,即：A xB yC10以方程F x y , AxBy C0的解为坐标的点 , x y都在直线l上；A xB yC20就称方程F x y , Ax By C0为 直线 l 的方程 ,直线 l 为方程的直线；当有唯独解时, 两直线相交； 当无解时, 两直线平行； 当有很多个解时,两直线重合 ；2. 直线倾斜角的定义：把直线向上的方向与x 轴的正方向形成的最小正角叫直线（ 2）过两直线l1:A xB yC 10,l2:A xB yC20交点的 直线系方程 为：的倾斜角；A xB yC1A xB yC203. 直线倾斜角的范畴：0180,当直线与x轴平行或者是重合时,倾斜角为04. 直线斜率的定义：倾斜角不为 90 直线, 倾斜角的正切值叫直线的斜率；将含有一个参数的直线方程化为直线系方程记作ktan90 的样式就可解决直线恒过定点问题 ；当倾斜角为 90 时直线的斜率不存在；（ 3）两点间距离公式：PP2x2x12y2y125、直线 l 过点P x 1,y 1,P x2,y 2,就直线的斜率为：ky 2y 1x 1x2x 2x 1（ 4）点P x 0,y0到直线l:AxByc0距离公式：dAx 0ABy 02C6、直线方程的表示形式：2B点斜式 ：yy0kxx0,（ 5）两平行线间的距离公式：对于直线当斜率不存在 时,直线与 x 轴垂直,倾斜角为90 ,l1:A xB yC 10,l2:A xB yC20,1l 与2l 间的距离为：d|C22C1|2AB此时直线方程为：xx ,如右图,特 别地 y 轴所在（ 6）线段中点坐标公式：xx 12x 2,A x 1,y 1, B x2,y 2,M x y 是线段 AB的中点；直线方程为x0；当直线斜率k0时,直线与 x 轴平行或者是重合yy 1y 2直线方程为：yy0, x 轴所在的直线方程为y0；2斜截式：ykxb（ b 为直线在 y 轴上的 截距 ）第四章圆与方程当直线过 y 轴上肯定点 0, 时,通常设直线方程为：ykxb ,例如直线 l 过定点1、圆的第肯定义：到定点的距离等于定长的点的集合.PM x y , |MO|r0, 2 ,设l:ykx2；圆的其次定义：到两个定点的距离之比等于常数（不等于1）的点的集合；2、圆的标准方程：xa2yb2r,圆心为 , a b ,半径为 r ；当直线过 x 轴上肯定点（a ,0）时,通常设直线方程为：xmya ,例如直线 l 过定点 2, 0 ,设l:xmy2两点式 ：yy 1xx1y2x23、圆的一般方程：x2y2DxEyF0D2E24F0；y 1x1截距式 ：xy1a0,b0,ab圆心为 D,E,半径r1D2E24F ；一般地,问题中显现两个截距 时,通常设直线方程为xy1 a0,b0；222ab当D2E24F0时,方程x2y2DxEyF0表示点D,E方程中a b 分别表示直线的 横截距和纵截距,22一般地,在直线方程中,令y0可求得横截距 a ,令x0可求得纵截距 b当D2E24F0时,方程x2y2DxEyF0不表示任何图形；一般式 ：AxByC0A22 B0,全部直线方程都可化为一般式；4、点P 0x0,y0与圆xa2yb22 r 的位置关系的判定：当B0,直线的 斜率kA,当B0时,直线 斜率不存在 ,方程可化为xCBA（1）当P x 0,y 0满意x 0a2y 0b22 r 时点 P 在圆上；7、两直线的位置关系的判定：当两直线倾斜角相等时,即时,两直线 平行 ；（2）当P x 0,y 0满意x 0a2y0b2r2时点 P在圆内；当两直线倾斜角满意|90 时,两直线 垂直 ；当两直线倾斜角不相当时,两直线相交 ；（3）当P x 0,y 0满意x 0a2y0b2r2时点 P在圆外；对于直线l1:yk xb1,l2:yk xb 有：5、求圆方程的方法,主要有两种：（1） 待定系数法 ：使用待定系数法求圆方程的一般步骤：依据提设,挑选标准方程或一般方程；l1/ /l2k1k 2；1l 和2l 相交k1k ；b 1b 2依据条件列出关于a、b、 r 或 D、E、F 的方程组 ；1l 和2l 重合k 1k2；l1l2k k21. 解出 a、b、 r 或 D、E、F,代入标准方程或一般方程；（2） 利用三角形外心的定义及其垂径定理求圆心坐标；b 1b2三角形 外心 的定义：三角形三边垂直平分线的交点就是外心；对于直线l1:A xB yC10,l2:A xB yC20有：垂径定理 ：垂直于弦的半径平分弦并平分弦所对的弧；弦的垂直平分线必经过圆心,因此求出两条弦的垂直平分线方程,联立解方程组求l1/ /l2A B 2A B 1；（2）1l 和2l 相交A B2A B ；得圆心坐标,而圆心到圆上任意一点的距离都等于半径,最终写出圆的标准方程；6、直线与圆的位置关系的判定：B C2B C1几何法 （ 1）相切 ：圆心到直线的距离d r ；1l和2l重合A B 2A B 1；l1l2A A 2B B20. （ 2） 相交 ：圆心到直线的距离dr ；（ 3） 相离 ：圆心到直线的距离dr ；B C2B C18、交点与距离公式l:Ax+By+C=0l:Ax+By+C=0l:Ax+By+C=0dd rCa,b |Ax0+By0+C| d= A 2+B 2 圆 C:（x-a2+y-b2=r2dr Ca,b |Ax0+By0+C|圆C:（x-a2+y-b d=2=r A 2+B 2 2（ 1）两直线l1:A xB yC10,l2:A xB yC20的交点坐标需将两直线方程组成r Ca,bd=|Ax0+By0+C|A 2+B 2圆C:（x-a2+y-b2=r2 相离： d>r第 3 页,共 4 页名师归纳总结 - - - - - - -相切： d=r相切： d<r精选学习资料 - - - - - - - - - 如圆心C 到公共弦的距离等于 半径1r ,或者是圆心C 到公共弦的距离等于 半径2r ,就两圆代数法 ：将直线方程与圆的方程联立组成方程组y2kx2bDxEyF0相切（外切或者内切） ；小于1r ,或者是圆心C 到公共弦的距离小于 半径2r ,就两圆xy如圆心C 到公共弦的距离等于（ 1）如方程有 唯独 一个解, 直与圆相切 ；（ 2）如方程有唯 两个 不等实数个解, 直线与圆相交 ；相交 ；（ 3）如方程有 无解 , 直线与圆相离；特殊地,当直线|l与圆C相离时,P为圆上的动点,| PH为点 P 到直线 l 的距离,设 d8、坐标法是解决几何问题的重要方法,其步骤是：第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何为圆心到直线 l 的距离,就问题转化为代数问题；其次步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：将代数运算结果“ 翻译” 成几何结论9、 空间直角坐标系|PH| maxdr|,PH| mindr.直线与圆相切,求圆的切线方程：一般用圆心到直线的距离等于半径来求解1过圆外一点的切线：k 不存在,验证是否成立；k存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离半径,求解k,得到直线方程【肯定有两解】确定空间直角坐标系中点的坐标的学问要点:1. 空间直角坐标系：从空间某一个定点O 引三条相互垂直且有相同单位长度的数轴2过圆上一点的切线方程：圆xa2yb2r2,圆上一点为x 0,y0,就过此点的切线方程为x 0axay 0bybr2Ox ,Oy Oz,这样的坐标系叫做空间直角坐标系Oxyz,点O叫做坐标原点,x轴、y轴、z轴叫做坐标轴 . 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面, 分别称为 xOy 平面、 yOz 平面、xOz 平面 . 如图：边长为2 的正方体各顶点坐标分别为：留意解决直线与圆位置关系问题时,常常需要设定直线方程,设直线方程的技巧：D0, 0, 0A2, 0, 0B2, 2, 0C0, 2, 0A 1 2, 0, 2B 1 2, 2, 2C1 0, 2, 2D1 0, 0, 2 如直线 l 过轴上的定点 , 0就可设直线l:xmya如直线过定点为0,b ,就一般设直线l:ykxb ；如直线过点x 0,y 0,就设直线l:yy0k xx0；请留意：在写空间中点的坐标遇到困难时,通常先写出该点在xOy 平面上的射影点的的坐标,然后加上相应的竖坐标即可；7、两圆位置关系的判定：设圆心距dC C22. 右手直角坐标系：在空间直角坐标系中,让右手 拇指 指向 x 轴的正方向, 食指 指向 y 轴几何法相离：dRr； 外切：dRr；相交： |Rr|dRr的正方向,如 中指 指向 z 轴的正方向,就称这个坐标系为右手直角坐标系. 内切：d|Rr|；内含：d|Rr|. 3. 空间直角坐标系中的坐标：对于空间任一点M,作出 M点在三条坐标轴Ox轴、Oy轴、相离 :无共点,圆心距C 1C 2 >r 1+r 2外切 :有一个公共点,圆心距 C 1C 2 r1+r 2相交 :有两个公共点,圆心距Oz 轴上的 射影 ,如射影在相应数轴上的坐标依次为x、y、z,就把 有序实数组 x, y, z叫做|r 1-r2 |< C1C2 r1+r 2M点在此空间直角坐标系中的坐标,记作Mx, y, z,其中 x 叫做点 M的 横坐标 ,y 叫做点 MC1r 1r 2C 2C1r1r2C 2C1r 1r 2C 2的纵坐标 , z 叫做点 M的竖坐标 . 4. 坐标轴上的点与坐标平面上的点的坐标的特点：x 轴上的点的坐标的特点：P a , 0, 0,纵坐标和竖坐标都为零圆 C1:x 圆 C2:x2+y 2+y2+D 1x+E 1y+F 1=0 2+D 2x+E 2y+F 2=0圆 C1:x 圆 C2:x2+y 2+y2+D 1x+E 1y+F1=0 2+D 2x+E 2y+F2=0圆 C1:x 2 +y 2 +D1x+E 1y+F 1=0圆 C2:x 2 +y 2 +D2x+E 2y+F 2=0y 轴上的点的坐标的特点：P0,a, 0,横坐标和竖坐标都为零z 轴上的点的坐标的特点：P0, 0,a ,横坐标和纵坐标都为零xOy 坐标平面内的点的特点：P a b , , 0）,竖坐标为零xOz坐标平面内的点的特点：P a , 0,b ,纵坐标为零代数法 ; 将两圆的方程组成方程组x2y2D xE yF 10yOz 坐标平面内的点的特点：P0,a b ,横坐标为零5.中点坐 标公式：设 A x 1,y z 1）, B x 2,y z 2就线 段AB的中点 坐标为x 12x 2,y 12y2,z 12z 2 6 、空间中两点间距离公式：x2y2D xE yF 20PP 12x2x 12y2y12z 2z 12（1）如方程有 一个 解,两圆 相切（内切或外切） ；（2）如方程有 两个 不同解, 两圆相交；（3）如方程有 无解 ,两 圆外离或内含特殊地,方程x22 yD xE yF 1x2y2D xE yF0表示过两圆交点的圆系方程；在这个方程组中x2y2D x 1E y 1F 10用消去平方项后得一个直线方程,该x2y20D x 2E y 2F 2直线方程过两圆的交点,因此该直线方程也叫两圆的公共弦所在的直线方程；第 4 页,共 4 页名师归纳总结 - 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