2022年高中数学论文向量与三角形内心外心重心垂心知识的交汇新课标人教A版.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 向量与三角形内心、外心、重心、垂心学问的交汇一、四心的概念介绍（1）重心中线的交点：重心将中线长度分成 2：1；（2）垂心高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心角平分线的交点（内切圆的圆心） ：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等；二、四心与向量的结合名师归纳总结 （1）OAOBOC0O 是ABC 的重心 . x3第 1 页,共 5 页证法 1：设Ox ,y ,A x 1,y 1,B x2,y 2,Cx 3,y 3OAOBOC0x 1xx 2x x 33x 0xx 1x23y 1yy2y yy 0yy 1y2y33O 是ABC 的重心 . 证法 2：如图AOAOBOCOA2OD0OEAO2 ODA、O、D三点共线,且O 分 AD为 2：1 BDCO 是ABC 的重心（2）OAOBOBOCOCOAO 为ABC 的垂心 . 证明：如下列图O 是三角形 ABC 的垂心, BE 垂直 AC ,AD 垂直 BC, D、E 是垂足 . OAOBOBOCOBOAOC OBCA0AOBACOE同理OABC,OCABO 为ABC 的垂心BDC（3）设 a, b , c 是三角形的三条边长,O是ABC的内心a OAb OBc OC0O为ABC 的内心 . 证明：AB、ACc b分别为AB、AC方向上的单位向量,ABAC平分BAC , cbAOABAC ,令abcccbb- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - AOabcc（ABAC bcb化简得abc OAbABcAC0a OAb OBc OC0O 为ABC 的外心；（4）OAOBOC典型例题：例 1： O 是平面上肯定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点E）P 满意,就点 P 的轨迹肯定通过ABC 的（COPOAABAC,0 ,A外心B内心C重心D垂心分析：如下列图ABC ,D、E分别为边BC、AC的A中点 . ABAC2ADOPOA2ADBDOPOAAPAP2ADAP / AD名师归纳总结 满意点 P 的轨迹肯定通过ABC 的重心,即选C . 第 2 页,共 5 页例 2：（03 全国理 4）O 是平面上肯定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点 POPOAABAC,0 ,就点 P 的轨迹肯定通过ABC 的（B ）OPABACA外心B内心C重心D垂心分析：AB 、ACAB AC分别为AB、AC方向上的单位向量,ABAC平分BAC , ABAC点P的轨迹肯定通过ABC 的内心,即选B . 例 3： O 是平面上肯定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P 满意OAABAC,0,就点 P 的轨迹肯定通过ABC 的ABco s BACco s C- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （）A 外心B内心C重心D垂心AEC分析： 如下列图 AD 垂直 BC,BE 垂直 AC , D、E 是垂足 . ABBACBCABcosACcos CBD=ABBCACBCABcosBACcos C=ABBCcosBACBCcosCABcosBACcosC=BC + BC =0 点 P 的轨迹肯定通过ABC 的垂心,即选D . 练习：名师归纳总结 1已知ABC 三个顶点A、B、C及平面内一点P ,满意PAPBPC0,如实第 3 页,共 5 页数满意：ABACAP,就的值为（）A 2 B3C3 D 6 22如ABC 的外接圆的圆心为O,半径为 1,OAOBOC0,就OAOB A1B0 C1 D1223点 O 在ABC 内部且满意OA2 OB2 OC0,就ABC 面积与凹四边形ABOC 面积之比是（）A 0 B3C5D42434ABC 的外接圆的圆心为O,如OHOAOBOC,就H是ABC 的（）A 外心B内心C重心D垂心5 O 是平面上肯定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,如2 OABC2OB2CA2OC2AB2,就 O 是ABC 的（）A外心B内心C重心D垂心6 ABC 的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,OHm OAOBOC,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就实数 m = 7（ 06 陕西）已知非零向量 AB 与AC 满意 AB + |AB |AC· BC|AC |=0 且AB·|AB |AC=|AC |1 2 , 就 ABC为 ABCBBCCA,就A三边均不相等的三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D等边三角形8已知ABC 三个顶点A、B、C,如AB2ABACABC 为（）A等腰三角形B等腰直角三角形C直角三角形D既非等腰又非直角三角形练习答案： C、 D、C、 D、 D、 1、D、C名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页
