2022年平面向量知识点与习题.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载平面对量必修 4 第 2 章 平面对量§ 2.1 向量的概念及其表示 重难点：懂得并把握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示 向量,把握平行向量、相等向量和共线向量的区分和联系考纲要求：明白向量的实际背景懂得平面对量的概念及向量相等的含义懂得向量的几何表示经典例题：以下命题正确选项（）A.与共线,与共线,就与 c 也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点 C.向量与不共线,就与都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行当堂练习：1.以下各量中是向量的是C.重力D.质量 A.密度B.体积（）2 以下说法中正确选项A. 平行向量就是向量所在的直线平行的向量 C. 零向量的长度为零B. 长度相等的向量叫相等向量 D.共线向量是在一条直线上的向量3设 O 是正方形 ABCD 的中心, 就向量AO 、OB 、CO 、OD 是（）A平行向量B有相同终点的向量 C相等的向量D模都相同的向量4.以下结论中 ,正确选项A. 零向量只有大小没有方向B. 对任一向量a,|a|>0 总是成立的C. |AB =| BA | D. |AB 与线段 BA 的长度不相等 5.如四边形 ABCD 是矩形 ,就以下命题中不正确选项A. AB 与 CD 共线B. AC与 BD 相等C. AD与CB 是相反向量D. AB 与CD模相等6已知 O 是正方形 ABCD 对角线的交点,在以 为起点,另一点为终点的全部向量中,O, A, B,C,D 这 5 点中任意一点名师归纳总结 （1）与BC相等的向量有；第 1 页,共 21 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）与OB长度相等的向量有学习必备欢迎下载；（3）与 DA 共线的向量有7在平行向量肯定相等；不相等的向量肯定不平行；共线向量肯定相等；相等向量肯定共线；长度相等的向量是相等向量；平行于同一个向量的两个向量是共线向量中, 不正确的命题是并对你EAOOBF的判定举例说明8如图,O 是正方形 ABCD 对角线的交点, 四边形 OAED ,OCFB都是正方形,在图中所示的向量中：；DECC（1）与AO相等的向量有；（2）写出与AO共线的向有（3）写出与AO的模相等的有；DF（4）向量AO与CO是否相等？答9O 是正六边形ABCDE 的中心,且OAa , OBb , ABc ,在以 A, B, C,D,E,O 为端点的向量中：（1）与a相等的向量有；（2）与b相等的向量有；1）,AB（3）与c相等的向量有10在如下列图的向量a , b , c , d , e中（小正方形的边长为是否存在：（1）是共线向量的有；（2）是相反向量的为；（3）相等向量的的；（4）模相等的向量11如图, ABC 中,D,E,F 分别是边 BC,AB ,CA 的中点,在以 A、B、C、D、E、F 为端点的有向线段中所表示的向量中,名师归纳总结 （1）与向量 FE 共线的有BFDAEC第 2 页,共 21 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）与向量 DF 的模相等的有学习必备欢迎下载（3）与向量 ED 相等的有12如图,中国象棋的半个棋盘上有一只“ 马” ,开头下棋时,它位于 A 点,这只 “ 马”第一步有几种可能的走法？试在图中画出来如它位于图中的 P 点,这只 “ 马”第一步有几种可能的走法？它能否从点 A 走到与它相邻的 B？它能否从一交叉点动身,走到棋盘上的其它任何一个交叉点？必修 4 第 2 章 平面对量§ 2.2 向量的线性运算重难点：敏捷运用向量加法的三角形法就和平行四边形法就解决向量加法的问题,利用交换律和结合律进行向量运算；敏捷运用三角形法就和平行四边形法就作两个向量的差,以及求两个向量的差的问题；懂得实数与向量的积的定义把握实数与向量的积的运算律体会两向量共线的充要条件考纲要求：把握向量加法,减法的运算,并懂得其几何意义把握向量数乘的运算及其意义；懂得两个向量共线的含义明白向量线性运算的性质及其几何意义经典例题：如图,已知点D E F 分别是ABC三边AB BC CA 的中点,求证：EAFBDC0. 当堂练习：名师归纳总结 1a、b为非零向量,且|ab| |a|b ,就（/）Aa与b 方向相同Babab；CabDa与b方向相反2设ABCDBCDAa ,而 b是一非零向量,就以下各结论：第 3 页,共 21 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 a b a ； a b b；a b a b,其中正确选项（）A B C D33在 ABC 中, D、E、F 分别 BC、CA 、AB 的中点,点 M 是 ABC 的重心,就MA MB MC 等于（）AO B4 MD C4 MF D4 ME4已知向量 a与 b 反向,以下等式中成立的是（）A | a | | b | | a b | B| a b | | a b |C| a | | b | | a b | D| a | | b | | a b |5如a b c 化简3 a 2 23 b c 2 a b （）Aa Bb Cc D 以上都不对6已知四边形 ABCD 是菱形,点 P 在对角线 AC 上（不包括端点 A、C）,就AP= （）2A AB AD . 0,1 B AB BC . 0,2 AB BC . 0, 2 C AB AD . 0,1 D27已知| OA | | a | 3,| OB | | b | 3, AOB=60,就| a b | _；8当非零向量a和b满意条件 时,使得 a b 平分a和b间的夹角；9如图, D、E、F 分别是ABC 边 AB 、 BC、CA 上的名师归纳总结 中点,就等式：AF0FDDEEF0AFDCEB第 4 页,共 21 页FDDADEDABE0ADBEAF0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 10如向量x 、y满意 2x3y学习必备欢迎下载a,3x2yb, a 、 b 为已知向量,就x =_；y=_ 11一汽车向北行驶3 km,然后向北偏东60方向行驶 3 km ,求汽车的位移. , 12.如图在正六边形ABCDEF 中,已知：AB=a, AF= b,试用a 、b 表示向量 BCCD , AD , BE. 必修 4 第 2 章 平面对量§ 2.3 平面对量的基本定理及坐标表示 重难点：对平面对量基本定理的懂得与应用；把握平面对量的坐标表示及其运算考纲要求：明白平面对量的基本定理及其意义把握平面对量的正交分解及其坐标表示会用坐标表示平面对量的加法,减法于数乘运算懂得用坐标表示的平面对量共线的条件名师归纳总结 经典例题：已知点A x ,0,B2 ,1,C2, ,D6,2x 第 5 页,共 21 页求实数x的值,使向量AB 与CD共线；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载当向量 AB 与CD共线时,点当堂练习：A B C D 是否在一条直线上？名师归纳总结 - - - - - - -1如向量 a=1,1,b=1, 1,c=1,2,就 c 等于（）13133131A 2a2b B2a2b C2a2b D2a+2b 2如向量 a=x2,3与向量 b=1,y+2 相等,就（）Ax=1,y=3 Bx=3,y=1 Cx=1,y= 5 Dx=5,y= 1 3已知向量a 4,3 ,bsin,cos,且ab,就tan= （）3344A 4B4C3D34已知ABCD 的两条对角线交于点E,设AB1e,ADe 2,用e 1,e 2来表示 ED的表达式（）A 1e 11e 2B1e 11e2C1e 11e 2D1e 11e 22222222275已知两点P（, 6）、（ 3,）,点 P（3,）分有向线段P 1P 2所成的比为 ,就 、的值为（）1111A 4,8 B4, 8C4, 8 D4,86以下各组向量中：1e2,1 1e 5,3 1e,23e 2 7,5e 2,6 10 e 21,3有一组能作为表示它们所在平面内全部向量的基底,正24第 6 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载C确的判定是（）A B C D 7如向量a=（2,m）与b=（m,8）的方向相反,就m 的值是8已知a=（2,3）,b=（-5,6）,就 |a+b|= ,|a-b|= 9设a=（2,9）,b=（ ,6）,c=-1, ,如a+b=c,就 = , = . 10 ABC的顶 点A2 , 3 , B 4 , 2 和 重心G2 , 1 ,就点坐 标为. 11已知向量e1、 e2 不共线,1如AB=e1e2,BC=2e1 e2,CD=3e1 e2,求证： A 、B、D 三点共线 .2如向量 e1e2 与 e1 e2 共线,求实数 的值 .12假如向量AB=i 2j,BC=i+mj, 其中 i、j 分别是 x 轴、 y 轴正方向上的单位向量,试确定实数 m 的值使 A、B、C 三点共线 .必修 4 第 2 章 平面对量§ 2.4 平面对量的数量积 重难点：懂得平面对量的数量积的概念,对平面对量的数量积的重要性质的懂得考纲要求：懂得平面对量数量积的含义及其物理意义明白平面对量数量积于向量投影的关系把握数量积的坐标表达式,会进行平面对量数量积的运算能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判定两个平面对量的垂直关系名师归纳总结 经典例题：在ABC 中,设AB,2 3,AC,1k,且ABC是直角三角形,求k 的第 7 页,共 21 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载值当堂练习：1已知a=（3,0）,b=（-5,5）就a 与 b 的夹角为（）A450 B、600 C、1350 D、1200 2已知a=（1,-2）,b=（ 5,8）,c=（2,3）,就a ·（ b · c ）的值为（）A34 B、（34,-68）C、-68 D、（-34,68）3已知a=（2,3）,b=（-4,7）就向量a在 b 方向上的投影为（）13 65A13 B、5 C、5 D、654已知a=（3,-1）,b=（ 1,2）,向量c 满意 a ·c =7,且 b c ,就 c 的坐标是（）A（2,-1）B、（-2,1）C、（2,1）D、（ -2,-1）5有下面四个关系式 （ 1）0 · 0=0 ；（2）（ a · b ）c=a（ b · c ）；（3）a · b=b · a ；（4）0a=0,其中正确的个数是（）A、4 B、3 C、2 D、1 6已知a=（m-2,m+3）,b=（2m+1,m-2）且a 与 b 的夹角大于 90° ,就实数 m（）A、m2 或 m -4/3 B、 -4/3 m 2 C、m 2 D、m 2 且 m -4/3 7已知点 A（1,0）,B（3,1）,C（2,0）就向量BC 与 CA 的夹角是；8已知a=（1,-1）,b=（-2,1）,假如（a b a b ,就实数 = ；9如 |a|=2,|b|= 2, a 与 b 的夹角为 45° ,要使 k b-a与 a 垂直,就 k= 名师归纳总结 10已知a+b=2i-8j , a b=-8i+16j ,那么 a ·b = 第 8 页,共 21 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载11已知 2a+b=（-4,3）,a-2b=（3, 4）,求a ·b 的值；12已知点 A（ 1,2）和 B（4,-1）,试推断能否在y 轴上找到一点C,使ACB=900 ？如能,求点C 的坐标；如不能,说明理由；第 2 章 平面对量必修 4 § 2.5 平面对量的应用重难点：通过向量在几何、物理学中的应用能提高解决实际问题的才能考纲要求：会用向量方法解决某些简洁的平面几何问题会用向量方法解决简洁的力学问题于其他一些实际问题经典例题：如下图,无弹性的细绳 OA OB 的一端分别固定在 A B 处,同质量的细绳OC 下端系着一个称盘,且使得 OB OC ,试分析 OA OB OC 三根绳子受力的大小,判定哪根绳受力最大？当堂练习：1 已 知A 、 B 、 C为 三 个 不 共 线 的 点 , P 为 ABC所 在 平 面 内 一 点 , 如PAPBPCAB,就点 P 与 ABC 的位置关系是（）A、点 P 在 ABC 内部B、点 P 在 ABC 外部名师归纳总结 C、点 P 在直线 AB 上D、点 P 在 AC 边上（）2已知三点A（1,2）,B（4,1）,C（0,-1）就 ABC 的外形为第 9 页,共 21 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载A、正三角形 B、钝角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰锐角三角形3当两人提起重量为 |G|的旅行包时,夹角为,两人用力都为 |F|,如 |F|=|G|,就 的值为（）A、300 B、600 C、 900 D、1200 4某人顺风匀速行走速度大小为 a,方向与风速相同,此时风速大小为 v,就此人实际感到的风速为（）A、v-a B、 a-v C、v+a D、v 5一艘船以 5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶,船的实际航行方向与水流方向成300 角,就水流速度为 km/h；6两个粒子 a, b 从同一粒子源发射出来,在某一时刻,以粒子源为原点,它们的位移分别为 Sa=（3,-4）,Sb=（4,3）,（ 1）此时粒子 b 相对于粒子 a 的位移；（2）求 S 在 Sa方向上的投影；7如图,点 P 是线段 AB 上的一点,且 APPB=m n ,点 O 是直线 AB 外一点,设OA a , OB b ,试用 m n a b的运算式表示向量 OP AaPAD 与 BE 相交于 G,求证：ObB8如图,ABC 中, D,E 分别是 BC,AC 的中点,设AG GD=BG GE=21A9如图,O 是 ABC 外任一点,如OG1 3OAOBOCGECBD,求证： G 是 ABC重心（即三条边上中线的交点）AG名师归纳总结 BOC第 10 页,共 21 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载10一只渔船在航行中遇险,发出求救警报,在遇险地西南方向 10mile 处有一只货船收到警报立刻侦察,发觉遇险渔船沿南偏东750,以 9mile/h 的速度向前航行,货船以21mile/h 的速度前往营救,并在最短时间内与渔船靠近,求货的位移；北东450 A 750 C B 必修 4 第 2 章 平面对量§ 2.6 平面对量单元测试1 在 矩 形ABCD中 , O是 对 角 线 的 交 点 , 如BC5 e 1,DC3 e 2就OC=（）3 e 1A 15e 13 e 2 B15e 13e 2 C13e 25e 1 D15 e 222222对于菱形ABCD ,给出以下各式：ABBC|AB|BC|ABCD|ADBC|AC|2|BD|24|AB|2 其中正确的个数为（）A 1 个 B2 个 C 3 个 D4 个名师归纳总结 3在ABCD 中,设ABa ,ADb ,ACc ,BDd,就以下等式中不正确选项第 11 页,共 21 页（）badDcabA abcBabdC4已知向量a与b反向,以下等式中成立的是（）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A |a|b|ab| B|a学习必备|a欢迎下载b|b|C|a|b|ab|D|a|b|ab|5已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（点的坐标为（）1,0）,（3,0）,（1, 5）,就第四个A （1,5）或（ 5, 5）B（1,5）或（ 3, 5）C（5, 5）或（ 3, 5）D（1,5）或（ 3, 5）或（ 5, 5）6与向量d 12 , 5 平行的单位向量为（）5 13A12,5 B12,5C12,5或12,5D12,13131313131313137如|ab|41203,|a|,4b|5,就a与b的数量积为（）A 103B 103C102D10 ）8如将向量a1,2环绕原点按逆时针旋转4 得到向量 b ,就 b 的坐标为A 2,322B2,322C322,2D32,2 222229设 kR,以下向量中,与向量Q,11肯定不平行的向量是（）A b k,kBck ,k（）Cdk2,1k21Dek2,1k2110已知|a|10 |,b|12,且3 a1b36,就a与b的夹角为5A60°B120° C135°D150°. ABCD 的11非零向量a ,b 满意|a|b|ab|,就a,b的夹角为12在四边形ABCD 中,如ABa ,ADb ,且|ab|ab|,就四边形外形是名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 13已知a ,3 2 ,b ,21学习必备欢迎下载b平行,就 = . ,如ab 与a14 已知e 为单位向量,| a|=4 ,a与e2的夹角为3,就a在e方向上的投影为. |ab|ab|,求证 : ab15已知非零向量a,b满意16已知在ABC 中,AB2 3, ,AC k,且 ABC 中 C 为直角, 求 k 的值 . 17、设e 1,e 2是两个不共线的向量,AB2 e 1ke 2,CBe 13 e 2,CD2 e 1e 2,如 A、 B、 D 三点共线,求k 的值 . c5 a3 b,d3akb,当当实数k 为18已知| a|2| b|3,a与b的夹角为 60o,名师归纳总结 何值时,cdcd第 13 页,共 21 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载19如图, ABCD 为正方形, P 是对角线 DB 上一点, PECF 为矩形,求证： PA=EF；PAEF. 20如图,矩形ABCD 内接于半径为r 的圆 O,点 P 是圆周上任意一点,求证： PA2+PB2+PC2+PD2=8r2. 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载参考答案第 2 章 平面对量§ 2.1 向量的概念及其表示经典例题：解：由于零向量与任一向量都共线,所以A 不正确；由于数学中讨论的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同始终线上,而此时就构不成四边形,根本不行能是一个平行四边形的四个顶点,所以B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以不正确；对于 C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假如与不都是非零向量,即与至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可有与共线,不符合已知条件,所以有与都是非零向量,所以应选 C. 当堂练习：1.C; 2.C; 3.D; 4.C; 5.B; 6. 1 AD 2 OA , OC , OD , BO , AO , CO , DO3 AD , BC , CB . ; 7. ; 8. （ 1 ）BF（ 2 ）DE , CO , BF（ 3 ）AE , DE , DO , BO , CO , BF , CF（4）不相等 ; 9. （1）DO, CB（2）EO, DC（3）OC, ED ; 10. （1）a, d（2）a, d（3）不存在（4）a, d,c; 11. （1）BD , DB , DC , CD , BC , CB（2）AE , EA , EC , CE（3）FB, AF ; 12. 3 种, 8 种,可以（转化为相邻两个中的互跳）; § 2.2 向量的线性运算经典例题：名师归纳总结 证明：连结DE EF FD 由于D E F 分别是ABC三边的中点, 所以四边形 ADEF为平行四边形由向量加法的平行四边形法就,得EDEFEA （ 1）,同理在平行第 15 页,共 21 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 四 边 形 BEFD 中 , F D学习必备欢迎下载F EF B 2 , 在 平 行 四 边 形C F D E在 中 ,D FD ED C 3 将（ 1）2 3 相加,得EAFBDCEDEFFDFEDEDFEFFEEDDEFDDF0当堂练习：1.C; 2.D; 3.A; 4.C; 5.D; 6.A; 7. 3; 8. |a|b|; 9. , ; 10. （1）a,d2（ 2）a,d（3）不存在（4）a,d,c; ab；b11. 北偏东 30° 方向,大小为3 3 km12.BCAOABBOABAFCDAFb；AD2BC2ab；BE2AF§ 2.3 平面对量的基本定理及坐标表示经典例题：解 （1）AB ,1,CD4, x AB/CD ,x24,x2A B C D 不（2）由已知得BC22 , x x1AB 和BC 不平行, 此时BC当x2时, 2,1,AB2,1,在一条直线上；名师归纳总结 当x2时,BC6,3,AB 2,1AB /BC,此时A B C 三点共线第 16 页,共 21 页又AB/CD ,A B C D 四点在一条直线上综上当x2时,A B C D 四点在一条直线上- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载当堂练习：1.B; 2.B; 3.A; 4.B; 5.D; 6.A; 7. -4; 8. 310,58; 9. -3,15; 10. 8,-4; 11解析： 1 BD=BC+CD=2e1-8e2+3e1+e2 e1-5e2AB BD 与 AB又直线 BD 与 AB 有公共点 B,A 、B、D2 e1-e2 与 e1- e2存在实数k,使 e1e2（ e1 e2 ） e1+k e20e1、 e2由平面对量的基本定理可知： 且 解得 ± ,故 12解法一： A 、B、C 三点共线即 AB 、BC存在实数 使得 AB BC即 i-2j= （i+mj ）1于是m2i=1,0,j=0,1 即 m=2 时, A 、B、C 三点共线 .解法二：依题意知：就AB=1,0-20,1=1,-2, 而 AB 、BCBC =1,0+m0,1=1,m 故当 m=2 时, A、 B、 C 三点共线 . § 2.4 平面对量的数量积经典例题：名师归纳总结 解：如A900,就ABAC,于是213k0第 17 页,共 21 页解得k23；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 如B900,就ABBC,又学习必备欢迎下载,1 k3,BCACAB故得213k30,211或3213解得k113；如C900,就ACBC,故11kk30,313k解得2所求k的值为3或3当堂练习：1.C; 2.B; 3.C; 4.A; 5.D; 6.B; 7. 450; 8. 15y2-y+2=0, 此方程无实数2; 9.2; 10. - 63; 11. a=-1,2 b =-2,-1 a ·b =0 12. 令 C0,y, 就AC=-1,y-2 CB 4 ,1y由于ACB=900, 所以ACCB =0 ,即 -4+y-2-1-y=0 解,所以这样的点不存在. § 2.5 平面对量的应用经典例题：解：设OA OB OC 三根绳子所受力分别是a b c ,就abc0,a b 的合力为c'ab c' | |c|, 如 上 右 图 , 在 平 行 四 边 形OB C A'中 , 因 为OB'OC',B C'OA ,所以 |OA' | |OB' |,|OA' | |OC' |即|a| |b|,|a| |c ,所以细绳OA受力最大当堂练习：名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1.D; 2.C; 3.D; 4.A; 5. 5学习必备欢迎下载a 的位移为 1,7, S 在 Sa方向上3 km/h; 6. 粒子 b 相对于粒子的投影为 -5; 7. OP=mnbnmnna; m8. OP=1 2ana - b; m9.略; 1310.| BC|=14,cos ABC=14§ 2.6 平面对量单元测试1.A; 2.C; 3.B; 4.C; 5.D; 6.C; 7.A; 8.B; 9.C; 10.B; 名师归纳总结 11120° ；12矩形13、1142ab20第 19 页,共 21 页15证：ababab2ab2ab2a22 abb2a22a bb2ab03 3又a,b 为非零向量ab,1k16解：BCACAB,1k2 3, ,1k,1