2022年高等数学教案第二章.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第一讲 I 授课题目 : §2.1 导数概念 II 教学目的与要求 : 1. 懂得导数的概念,懂得导数的几何意义；2. 会用导数描述一些物理量；3. 会用导数的定义求函数的导数并会判定函数的可导性；III教学重点与难点: 重点：导数的概念难点：用导数的定义判定函数的可导性IV讲授内容 : 它的基概念是导数与微分；主要争论导数和微微分学是微积分的重要组成部分,分的概念以及它们的运算方法；先争论导数的概念, 而导数的概念的形成与直线运动的速度,切线问题有亲密的关系；一、直线运动的速度,切线问题 1直线运动的速度 先建立坐标系：设某点沿直线运动, 在直线上引入原点和单位点（即表示实数 1 的点）,使直线 t 在直线上 成为数轴；此外,再取定一个时刻作为测量时间的零点,设动点于时刻 的位置的坐标为 s （简称位置）,运动完全由位置函数所确定；位置函数：0tsft（1）从时刻0t 到 t 一个时间间隔,有平均速度为：ss 0fttft0（2）tt0t0时间间隔较短,比值在实践中可用来说明动点在时刻0t的速度,但动点在时刻的速度的精确概念仍得让t0t,即：vlim t t 0ftft0（3）tt0极限值叫做动点在时刻t0的（瞬时）速度,给出了求瞬时速度的方法；2 切线问题 建立直角坐标系,函数的图形为曲线,分析切线的定义,就得曲线上任一点处名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载的切线的斜率为：y y f x N T klim x x0fC fx 0M （4）x xxx0割线斜率的极限就是切线的斜率二、导数的定义1.函数在一点处的导数与导函数争论知,非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归为一数学形式：此处的xx0和fx fx0x l i m x 0fxfx 0fx的自变量的增量（5）xx 0的分别是函数yx 和函数的增量y式（ 5）写成：lim x0ylim x 0f x 0xf x 0（6）xx由它们在数量关系上的共性,就得出函数的导数的概念；2.导数的定义名师归纳总结 定义1 设函数yfx在点x 的某个邻域内有定义,当自变量x 在x 处取得增量第 2 页,共 6 页x（点x0x仍在该邻域内）时,相应地函数y 取得增量y ；假如y 与x 之比当x0时的极限存在,就称函数yf x 在点x 处可导,并称这个极限为函数yfx在点x 处的导数,记为f0x,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即fx0x 0,lim x0xy,学习必备x0欢迎下载fx0（7）lim x 0fxxx记yxdyx0dfx x 0dxdxx函数yf x 在点x 处可导有时也说成yfx在点x 具有导数或导数存在；导数的定义也可取不同的形式,常见的有：fx 0lim h 0fx0h x0fx0（ 8）hfx 0x lim x 0fxf（9）xx 0在实际中,需要争论有不同意义的变量的变化“ 快慢” 问题,在数学上就是所谓函数的变化率问题；导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述；3. 函数在一点处不行导的定义定义 2 假如式（ 7）的极限不存在,就说函数在点处不行导,假如,当 x 0 时,比值 y 时,就说函数 y f x 在点 x 处的导数为无穷大 （此时函数不行导） ；x4.导函数的定义定义 3 假如函数 y f x 在开区间 I 内的每点处都可导,就称函数 y f x 在开区间 I 内可导；对任意 x I 都对应着 y f x 的一个确定的导数值,这样就构成了一个新的函数,这个函数叫做函数 y f x 的导函数,记作：dy df x y , f x , ,（10）dx dx式（ 7）、式（ 8）得f x h f x f x lim h 0 h（11）导函数 f x 简称导数,而 f x 0 是 f x 在 x 处的导数或导数 f x 在点x x 0 处的值；5.求函数的导数举例名师归纳总结 例 1 求函数fx xnnN在xa处的导数第 3 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解falim x afxfalim x axnanxaxalim x axn1axn2an1nan1将 a 换成 x 得fxnxn1即xnnxn1幂函数yxu 为常数的导数公式xuuxu1例 2 求函数fx sinx的导数解fxlim h 0fxhfxxlim h 0sinxhsinxhhlim h 012cosxh 2sinhh2lim h 0cosxhsinhcos22h2正弦函数的导数是余弦函数；例 3 求函数fx x在x0处的导数x1解f0lim x 0f x f0lim x 0|x|x0xlim x 0|x|lim x 0x1, lim x 0|x|lim x 0xxxx所以lim x 0|x|不存在x即函数fxx在x0处不行导6.单侧导数名师归纳总结 依据函数fx在点x 处的导数fx0的定义,导数是一个极限,第 4 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - fx0lim h 0学习必备h欢迎下载fx0fx0h而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等；函数在点处的左、 右极限得左、右导数的定义 左导数的定义f'x0h lim 0fx0h fx0h右导数的定义fx0lim h 0fx0h fx0h函数在点处可导的充分必要条件是左导数和右导数都存在且相等；函数f x 在开区间a ,b的内可导,及fa的fb都存在,就说fx在闭区间a,b上可导；三、导数的几何意义切线问题的争论知,函数yfx在点x 处的导数fx0在几何上表示曲线yfx在点Mx0,fx0处的切线的斜率,即：x0处有垂直于x 轴的切线fx0klim h 0fx0h fx0h注： 1.假如fx0,就曲线yfx在点Mx0,fxx0；0处有平行于 x 轴的切线2.假如fx 00,就曲线yfx在点Mx0,fxyf x0；曲线在点处的切线方程为yy0fx0xx 0曲线在点处的法线方程为名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - yy 0学习必备x欢迎下载1x 0fx0例 4 求等边双曲线y1 在点 x1,2处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和2法线方程；解 依据导数的几何意义,得切线的斜率为k 1yx11x14x222切线方程为法线的斜率为yx2y14 x1,2440 .k21k 14法线方程为y2y1x1 2,42x8150.V 小结与提问：小结： 1.给出了函数在一点处的导数的定义以及函数的导函数的定义；2.函数在一点处的左右导数的定义；3.给出函数的导数的几何意义 . 提问：怎么样用导数的定义求函数在一点的导数？名师归纳总结 VI课外作业：1,5,7 （3）（6）,11 第 6 页,共 6 页P85-P86 - - - - - - -