2022年平行四边形-经典例题.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载平行四边形一、基础学问平行四边形矩形菱形正方形等腰梯形平行四边形定有两组对边分别平行的四边有 一 个 角 是 直 角有一组邻边相等的平有一组邻边相等且两腰相等的梯形是等义形是平行四边形；的 平 行 四 边 形 是行四边形是菱形；有一个角是直角的腰梯形；性1、对边平行且相等；矩形；1、四条边都相等；平行四边形；1、两腰相等两底平行1、四个角都是直具有平行四边形、 矩2、对角相等,邻角互补；角；2、两条对角线相互垂形、菱形的全部特2、同一底上的两角相质3、对角线相互平分2、对角线相等；直,并且每一条对角线征；等平分一组对角；3、两条对角线相等判1、定义：1、定义：1、定义：1、先证明是矩形再1、定义：先判定是梯2、判定定理：2、判定定理：2、判定定理：证明一组邻边相等；形在证明两腰相等；（1）两组对边分别相等的四（ 1）对角线相等（ 1）一组邻边相等的2、先证明是菱形再2、同一底上的两个角边形是平行四边形；的 平 行 四 边 形 是平行四边形是菱形；证一个角是直角；相等的梯形是等腰梯（2）两组对角分别相等的四矩形；（ 2）对角线相互垂直形；边形是平行四边形；（ 2）有三个角是的四边形是菱形；3、对角线相等的梯形定（3）一组对边平行且相等的直 角 的 四 边 形 是是等腰梯形；四边形是平行四边形；矩形；（4）对角线相互平分的四边形是平行四边形；对称性轴对称图形轴对称图形轴对称图形轴对称图形二、 1、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三遍的一半；2、 由矩形的性质得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；三、例题BA AFCD D例 1、如图 1,平行四边形ABCD 中,AE BD,CF BD,垂足分别为E、F. 求证： BAE = DCF. 例 2、如图 2,矩形 ABCD中, AC与 BD交于 O 点, BE AC于 E, CF BD 于 F. E（图 1）求证： BE = CF. E F O 例 3、已知： 如图 3,在梯形 ABCD中,AD BC,AB = DC,点 E、F 分别在 AB、CD 上,且 BE = 2EA,B A （图 2）C D CF = 2FD. 求证： BEC =CFB. B E 图 3 F C 名师归纳总结 第 1 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载A E N D 例 4、如图 6, E、 F 分别是ABCD的 AD、 BC边上的点,且AE = CF. （1）求证： ABE CDF；（2）如M、 N 分别是 BE、 DF 的中点,连结MF、EN,试判定四边形MFNE 是怎样的四边形,并证明你的结论. M C B F 图 6 例 5、如图 7 ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD, BC分别相交于点E,F.,求证：四边形AFCE是菱形 . 例 6、如图 8,四边形 ABCD是平行四边形, O 是它的中心, E、F 是对角线 AC上的点 . B A O E C D C F 图 7 ；D （1）假如,就 DEC BFA（请你填上一个能使结论成立的一个条件）（2）证明你的结论. A E F B 图 8 例 7、如图 9,已知在梯形ABCD中, AD BC,AB = DC,对角线 AC和 BD相交于点 O,E 是 BC边上一个动点（点E 不与 B、C 两点重合）,EF BD交 AC于点 F, EG AC交 BD于点 C. （1）求证：四边形EFOG的周长等于2OB；F “四边形 EFOG（2）请你将上述题目的条件“梯形 ABCD中, AD BC,AB = DC”改为另一种四边形,其他条件不变,使得结论,的周长等于2OB” 仍成立,并将改编后的题目画出图形,写出已知、求证、不必证明. A D G O C B E 图 9 例 8、有一块梯形外形的土地,现要平均分给两个农户种植（即将梯形的面积 两等分）,试设计两种方案（平分方案画在备用图 131、2上）,并赐予合理的说明 . 备用图（ 1）备用图（ 2）图 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载四、练习一、挑选题1. 以下命题正确选项（）A 、一组对边相等,另一组对边平行的四边形肯定是平行四边形 B、对角线相等的四边形肯定是矩形C 、两条对角线相互垂直的四边形肯定是菱形 D、在两条对角线相等且相互垂直平分的四边形肯定是正方形2. 已知平行四边形 ABCD的周长 32, 5AB=3BC, 就AC的取值范畴为 A. 6<AC<10 ； B. 6<AC<16； C. 10<AC<16； D. 4<AC<16 3. 两个全等的三角形（不等边）可拼成不同的平形四边形的个数是（）（ A） 1 （B）2 （C）3 （ D） 4 4延长平形四边形 ABCD的一边 AB到 E,使 BEBD,连结 DE交 BC于 F,如 DAB 120° , CFE135° , AB 1,就 AC 的长为3 （）（A） 1 （B）1.2 （ C）2（D） 1.5 5如菱形 ABCD中, AE垂直平分 BC于E,AE1cm,就 BD的长是（）（A）1cm （B）2cm （ C）3cm （D） 4cm 6. 如顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是矩形,那么这个四边形的对角线 （A）相互垂直（ B）相等（ C）相互平分（D）相互垂直且相等7. 如图,等腰ABC中,D 是 BC边上的一点, DE AC,DF AB, AB=5那么四边形 AFDE的周长是（）（A）5 （ B）10 （ C）15 （D） 20 A EDO 第7题）BC）（第 8题）（第 9题）（第 10题）8. 如图,将边长为8cm的正方形纸片 ABCD折叠,使点 D落在 BC边中点 E处,点 A落在点 F处,折痕为 MN,就线段 CN的长是（A）3cm （B） 4cm （ C） 5cm （D）6cm 9. 如图,在直角梯形 ABCD中,AD BC,B=90° ,AC将梯形分成两个三角形,其中AC D 是周长为 18 cm 的等边三角形,就该梯形的中位线的长是 A9 cm B12cm c 9 cm D18 cm 210. 如图,在周长为 20cm的 ABCD中,AB AD,AC、 BD相交于点 O,OEBD交AD于E,就 ABE的周长为（） A4cm B6cm C8cm D10cm 11. 如图 2,四边形 ABCD为矩形纸片把纸片 ABCD折叠,使点 B恰好落在 CD边的中点 E处,折痕为 AF如 CD6,就 AF等于 （D ）第 3 页,共 11 页（A）43（ B）33（ C）42（D）A D A E 12. 如图,已知四边形ABCD中, R、P分别是 BC、 CD上的点, E、F分别是E AP、 RP的中点,当点 P在CD上从 C向D移动而点 R不动时,那么以下结论P 成立的是（ 、线段 EF的长逐步减小B 图F 2 C B R F C A、线段 EF的长逐步增大 BC、线段 EF的长不变 D、线段 EF的长与点 P 第 12 题图13. 在梯形 ABCD中, AD/BC,对角线 ACBD,且AC5 cm, BD=12c m,就梯形中位线的长等于（）A. 7.5cm B. 7cm C. 6.5cm D. 6cm ）B G A 紫E 绿红D 14. 国家级历史文化名城金华,风光秀丽,花木葱郁某广场上一个外形是平行四边形的花坛（如图）,分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6 种颜色的花H 黄蓝橙假如有 ABEFDC, BCGHAD,那么以下说法中错误选项（A红花、绿花种植面积肯定相等 B紫花、橙花种植面积肯定相等F 第 14 题C 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - C红花、蓝花种植面积肯定相等 D学习必备欢迎下载蓝花、黄花种植面积肯定相等二、填空题1. 假如四边形四个内角之比 1：2：3：4,就这四边形为形； 2. 如正方形的对角线长为 2 cm,就正方形的面积为；3. 如矩形一个内角的平分线,把另一边分为 4cm,5cm两部分,就这个矩形周长是4. 已知：平行四边形 ABCD的周长是 30cm,对角线 AC,BD相交于点 O, AOB的周长比BOC的周长长 5cm ,就这个平行四边形的各边长为；35. 已知： 平行四边形 ABCD中, AEBC交 CB的延长线于点 E,AFCD交 CD的延长线于点 F,ABBCCDDA32cm,BC5 AB,EAF2 C,就 BE长为,就C . 6. 在平面直角坐标系中,点 A、B、C的坐标分别是 A 2,5 ,B 3,1 ,C1,1 ,在第一象限内找一点 D,使四边形 ABCD是平行四边形,那么点 D的坐标是7. 已知：如图 8,正方形 ABCD中,对角线 AC和BD相交于点 O, E、 F分别是边 AB、BC上的点,如 AE4cm, DF 3cm,且 OEOF,就 EF的长为；F C D A B D P O P A C E M N C 图 F D （1）图 9 （ 2）A E B 第 10 题图 B （第 9 题）8 如图 9（1 是一个等腰梯形,由 6 个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图 102 所示的一个菱形对于图 101 中的等腰梯形,请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论：9如图,在四边形 ABCD中,P是对角线BD的中点,E,F 分别是 AB,CD 的中点,AD BC,PEF 18,就 PFE 的度数是10如图,菱形 ABCD的两条对角线分别长 6 和 8,点 P 是对角线 AC上的一个动点,点 M、N分别是边 AB、BC的中点,就 PM+PN的最小值是 _11. 如图,在四边形 ABCD中,E、F、G、H分别是 AB、BD、CD、AC的中点,要使四边形 EFGH是菱形,四边形 ABCD仍应满意的一个条件是；A D A EDO OB F EC BF C（ 12题）（13题）（14题）12、 如下列图, O为矩形 ABCD的对角线交点,DF平分 ADC交AC于 E, BC于F, BDF=15° ,就 COF=_13. 如图,矩形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O ,过点 O 的直线分别交 AD 和 BC 于点 E、F,AB 2,BC 3,就图中阴影部分的面积为14、如图,矩形 的面积为,顺次连结各边中点得到四边形 1 1 1 1 B ,再顺次连结四边形 2 2 2 2 B 2 2 2 2 四边中点得到四边形 ,依此类推,求四边形 的面积是；15、如图已知 O是 ABCD的对角线交点, AC 24, BD38,AD 14,那么OBC的周长等于；A D A D A D A F D O O E B C B C B E C B C 名师归纳总结 第 4 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载16、在平行四边形 ABCD中, C B+D,就 A, D；17、一个平行四边形的周长为 70cm ,两边的差是 10cm,就平行四边形各边长为cm；18、已知菱形的一条对角线长为 12cm,面积为 30cm 2,就这个菱形的另一条对角线长为 _cm；19、菱形 ABCD中, A 60 o,对角线 BD 长为 7cm,就此菱形周长cm；20、假如一个正方形的对角线长为 2 ,那么它的面积；21、如图 2 矩形 ABCD的两条对角线相交于O,AOB 60 o,AB8,就矩形对角线的长；22、如图 3,等腰梯形 ABCD中, AD BC,AB DE,BC8, AB6, AD5 就 CDE周长；21、正方形的对称轴有条22、如图 4, BD 是 ABCD的对角线,点 E、F 在 BD 上,要使四边形 AECF是平行四边形,仍需增加的一个条件是23、要从一张长为 40cm,宽为 20cm 的矩形纸片中,剪出长为 18cm,宽为 12cm 的矩形纸片,最多能剪出张；三、解答题1. 如图,在四边形ABCD中, A=60° , B= D=90° ,BC=2,CD=3, 求 AB的长；ABCD的周长；2. 如图,在等腰梯形ABCD中, AD BC,AB=CD=2, BAD=120°, 对角线 AC平分 BCD,求等腰梯形3. 将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠,使点C 与 A 重合,点 D落到 D处,折痕为 EF（1）求证：ABE ADF；D（2）连接 CF,判定四边形 AECF是什么特别四边形？证明你的结论B A E F C D 4已知：如图,在梯形ABCD中, AD BC,AB=CD,对角线 AC、BD相交于点 E,ADADB=60° , BD=10,BEED=41,求梯形 ABCD的腰长 . E5. 如图,菱形ABCD,E,F 分别是 BC, CD上的点, B EAF 60° ,BCBAE18° 求 CEF的度数；BAD名师归纳总结 ECF第 5 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载6. 已知：如图,在ABC中, AB=AC,ADBC,垂足为点 D,AN是 ABC外角 CAM的平分线, CEAN,垂足为点 E,（ 1）求证：四边形ADCE为矩形；B M E N （2）当 ABC满意什么条件时,四边形A ADCE是一个正方形？并给出证明D C 第 6 题 7. 如图,四边形ABCD中,一组对边AB=DC=4,另一组对边AD BC,对角线 BD与边 DC相互垂直, M、N、H分别是 AD、 BC、BD的中点,且 ABD=30° 求：（ 1）MH的长（ 2）MN的长；8. 如下列图,在ABC中, BAC=90° ,ADB,BE 平分 ABC,EF BC,那么 AE=CF吗？证明你的结论；9. 如图, ABCD是正方形, CE BD,BEBD,BE交 DC于点 F,AD求证：（ 1） BEC30°（2） DE DF F E10. 如图,在正方形ABCD中, P 为对角线 BD上一点,BCPEBC,垂足为E, PFCD,垂足为F,求证： EFAP 11. 如图,四边形 ABCD的对角线 AC、BD交于点 P,过点 P 作直线交 AD于点 E, 交 BC于点 F；如 PE=PF,且 AP+AE=CP+CF 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（1）求证： PA=PC; （2）如 AD=12,AB=15, DAB=60° , 求四边形 ABCD的面积 . 10如下列图,已知在 ABCD中, E,F 分别是 AD, BC的中点,求证：MN BC11已知：如图,E为 ABCD中 DC边的延长线上的一点,且CEDC,连结 AE 分别交 BC、BD于点 F、G,连结 AC交 BD于 O,连结 OF求证： AB2OF12. 如图,在矩形 ABCD中, AD=8cm,AB=6cm,点 A处有一动点 E以 1cm s的速度由点 A向点 B运动,同时点 C处也有一动点 F以 2cm s的速度由点 C向点 D运动,设运动的时间为 x（ s）,四边形 EBFD的面积为 y（ cm 2）,求 y与 x的函数关系式及自变量 x的取值范畴；21,如图 16,已知四边形 ABCD是平行四边形, BCD的平分线 CF交边 AB 于 F,ADC 的平分线 DG交边AB 于 G. （1）线段 AF与 GB 相等吗？名师归纳总结 （2）请你在已知条件的基础上再添加一个条件,使得D EFG为等腰直角三角形,并说明理由 . 第 7 页,共 11 页CDF B EA ·O C 图 16 BAFE 图 18 图 17 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载E. 22,如图 17,已知 ABCD中, E为 AD的中点, CE的延长线交BA的延长线于点（1）试说明线段CD与 FA相等的理由；（2）如使 F BCF, ABCD 的边长之间仍需再添加一个什么条件？请你补上这个条件,并说明你的理由不要再增加帮助线.ABCD 中,对角线 AC,BD交于点 O , E 是 BD 延长线上的点,且23,（08 上海市）如图,已知平行四边形ACE是等边三角形（1）求证：四边形ABCD 是菱形；ABCD 是正方形（2）如AED2EAD ,求证：四边形EAD19,四边形 ABCD是菱形, E是 BD延长线上一点,F 是 DB 延长线上一点,且DEBF.请你BOC24,已知：如图以 F 为一个端点,和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段,猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）. （1）连结 _；（2）猜想： _=_；（3）证明：25,如图 20,已知正方形ABCD的对角线 AC、BD 相交于点 O,E 是 AC上一点,连结EB,过点 A 作 AMBE,垂足为 M, AM 交 BD 于点 F. 1试说明 OEOF；2如图 21,如点 E 在 AC的延长线上, AMBE于点 M,交 DB 的延长线于点 F,其它条件不变, 就结论“ OEOF” 仍成立吗 .假如成立,请给出说明理由；假如不成立,请说明理由 . A A D A D O O O F E E B D F M C M B C B C 图 20 F E 图 19 图 21 13. 如图在直角梯形 ABCD中 , AD BC, B=90° AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,动点 P 从 A 开头沿 AD边向 D 以 1cm/s 的速度运动 , 动点 Q从 C开头沿 CB向 B 以 3cm/s 的速度运动 ,P,Q 分别从点 A,C 同时动身 , 当其中一点到达端点时, 另一点也随之停止运动, 设运动的时间t,t分别为何值时 , 四边形 PQCD为平行四边形 , 等腰梯形 . C A P D B Q 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载14 已知：如图,在直角梯形 ABCD中, B90 o,AD BC,AD 24cm,BC26cm,动点 P 从 A 点开头沿AD 边向 D 以 1cm/ 秒的速度运动,动点 Q 从 C 点开头沿 CB 边向 B 以 3cm/秒的速度运动,P、Q 分别从 A、C同时动身,当其一点到端点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为 t 秒, t 分别为何值时,四边形 PQCD是平行四边形？等腰梯形？A P DD B Q C . 在 ABC中,借助作图工具可以作出中位线EF,沿着中位线EF一刀剪切后,用得到的AEF和四边形 EBCF可以拼接成平行四边形 EBCP,接切线与拼图过程如下列图,依照上述方法,安要求完成以下操作设计,并画出图形说明；（1）在 ABC中,增加条件,沿着一刀剪切后可以拼成矩形；成菱形；（2）在 ABC 中,增加条件,沿着一刀剪切后可以拼（3）在 ABC 中,增加条件,沿着一刀剪切后可以拼成 正 方形；（4）在 ABC（ AB AC）中,一刀剪切后也可以拼接成等腰梯形,画出切线与 拼 图 示意图；15 如图把一个正方形割去四分之一,将余下的部分分成3 个全等的图形（图甲） ；将余下的部分分成4 个全等的图形（图已）仿照示例,请你将一个正三角形割去四分之一后余下的部分；（1）分成 3 个全等的图形（在图一中画出示意图）；（2）分成四个全等的图形（在图二中画出示意图）；（3）你仍能利用所得的 4 个全等的图形拼成一个平行四边形吗？如能,画出大致的示意图；16. 如图是 王大爷的一块四边形菜地,在 A处有一口井,王大爷要想从 A处引一条笔直的水渠,且这条笔直的水渠将四边形菜地分成面积相等的两部分. 请你为王大爷设计一条引水渠的方案,画出图形, 并简要写出作图的主要步骤. 解: 作图步骤：BADC17. 1如图 25-1 ,在四边形ABCD中, ABAD, B D 90° , E、F 分别是边 BC、CD上的点,且 EAF=1 2 BAD.求证 :EFBE FD; 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 2 如图 25-2 在四边形 ABCD中, AB AD, B+D180° , E、F 分别是边 BC、CD上的点,且 EAF=1 BAD, 1 中的结论2是否仍旧成立？不用证明 . 3 如图 25-3 在四边形 ABCD中, ABAD,B+ADC180° , E、F 分别是边 BC、CD延长线上的点,且EAF=1 BAD, 1 中的结论是否仍旧成立？如成立,请证明；如2不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明 . ADBEFC18. 将边长 OA=8,OC=10的矩形 OABC 放在平面直角坐标系中,顶点 O为原点,顶点C、A分别在 x 轴和 y 轴上 . 在 OA 、OC边上选取适当的点E 、F,连接 EF,将 EOF沿 EF折叠, 使点 O 落在 AB 边上的点 D 处y ADByDByADFCBxAEEEOTTCFxOGFCxOG图图图（1）如图,当点F 与点 C 重合时, OE的长度为；（2）如图,当点F 与点 C 不重合时,过点D 作 DG y 轴交 EF于点 T ,交 OC 于点 G . 求证： EO=DT；（3）在（ 2）的条件下,设T x,y,写出 y 与 x 之间的函数关系式为,自变量 x 的取值范畴是；（4）如图,将矩形 OABC 变为平行四边形,放在平面直角坐标系中,且OC=10, OC边上的高等于8,点 F 与点 C不重合,过点 D 作 DG y 轴交 EF 于点 T ,交 OC 于点 G ,求出这时T x,y的坐标 y 与 x 之间的函数关系式（不求自变量x 的取值范畴）19. 1 如图 101 所示, BD, CE分别是ABC的外角平分线,过点A 作 AFBD, AG CE,垂足分别为F,G,连结 FG,延长 AF, AG,与直线 BC分别交于点 M、N,那么线段FG与 ABC的周长之间存在的数量关系是什么？即：FG（ABBC+AC）（直接写出结果即可）ABC的内角平分线；其他条件不变,线段FG与第 10 页,共 11 页（2）如图 10 2,如 BD,CE分别是名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 ABC三边之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想,并赐予证明（3）如图 10 3,如 BD为 ABC的内角平分线, CE为 ABC的外角平分线,其他条件不变,线段 FG与 ABC三边又有怎样的数 量关系？MD直接写出你的猜想即可不需要证明；EGAFDAEFGBCNBC20. 已知正方形 ABCD和等腰 RtBEF EFBE,BEF0 90 ,按图 1放置,使点 F在 BC上,取 DF的中点 G,连 EG 、CG. 1探索EG、CG的数量关系,并说明理由；（2）将图 1中BEF 绕B 点顺时针旋转0 45 得图 2,连结 DF, 取DF的中点 G,问（ 1）中的结论是否成立,并说明理由；（3）将图 1 中BEF绕 B点转动任意角度（旋转角在0 到0 90 之间）得图3,连结 DF,取 DF的中点 G ,问（ 1）中的结论是否成立,请说明理由；ADADADG名师归纳总结 BEFCBEGCBEFGC第 11 页,共 11 页图1F图2图3- - - - - - -