2022年高二矩阵、行列式知识要点复习.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 矩阵、行列式复习一、懂得矩阵的概念并能正确的表示矩阵1、矩阵的定义（1）m n 个实数 a ij , i ,1 ,2 , m ; j ,1 2 , , n 排成 m 行 n 列的矩形数表a 11 a 12 a 1 nA a 12 a 22 a 2 n叫做矩阵；记作 A m n,m n 叫做矩阵的维数；a m 1 a n 2 a mn矩形数表叫做 矩阵 ,矩阵中的每个数叫做矩阵的 元素 . （ 2）在矩阵中,水平方向排列的数组成的向量 a a 1 2 , a n 称为 行向量 ；垂直方向排列b 1的数组成的向量 b 2 称为 列向量 ；由 m 个行向量与 n 个列向量组成的矩阵称为 m n 阶矩b n阵, m n 阶矩阵可记做 A m n；有时矩阵也可用 A、 B 等字母表示；0 0 0（3）当一个矩阵中全部元素均为 0 时,我们称这个矩阵为 零矩阵 ；如 为一个0 0 02 3阶零矩阵；（4）当一个矩阵的行数与列数相等时,这个矩阵称为 方矩阵 ,简称 方阵 ,一个方阵有 n 行51212823m（列）,可称此方阵为 n 阶方阵 ,如矩阵 36 38 36、3 2 4 均为三阶方阵；23 21 28 4 1 n在一个 n 阶方阵中, 从左上角到右下角全部元素组成对角线,假如其对角线的元素均为 1,1 0 01 0其余元素均为零的方阵,叫做 单位矩阵 ；如矩阵 为 2 阶单位矩阵, 矩阵 0 1 00 10 0 1为 3 阶单位矩阵；（5）假如矩阵 A 与矩阵 B 的行数和列数分别相等,那么A 与 B 叫做 同阶矩阵 ；假如矩阵A与矩阵 B 是同阶矩阵, 当且仅当它们对应位置的元素都相等时,那么矩阵 A 与矩阵 B 叫做相等的矩阵 ,记为 AB ；2、线性方程组的系数矩阵和增广矩阵1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2x3ymz1对于方程组m3x2y4z2中未知数x,y,z的系数按原先的次序排列所得的矩阵234xynz423m1324,我们叫做方程组的系数矩阵 ；而矩阵3242叫做方程组的41n41n4增广矩阵 ；3、矩阵的三种变换互换矩阵的两行；把某一行同乘（除）以一个非零的数；某一行乘以一个数加到另一行；变换的目的是将线性方程组系数矩阵变为单位矩阵,其扩充矩阵的最终一列就是方程组的解；二、把握矩阵的加法、减法及乘法运算1、矩阵的和（差）当两个矩阵 A,B 的行数与列数分别相同时,将它们对应位置上的元素相加（减）所得到的矩阵称为矩阵 A ,B 的和（差）, 记作： A+B （ A-B ）运算律：加法交换律： A+B=B+A 加法结合律： （A+B ）+C=A+ （B+C ）2、矩阵与实数的积设为任意实数, 把矩阵 A 的全部元素与A相乘得到的矩阵叫做矩阵A 与实数的乘积矩阵 .记作：A AA运算律：（ 、为实数）安排律：ABAB；结合律：AAA3、矩阵的乘积一般,设 A 是 m k 阶矩阵, B 是 k n 阶矩阵,设 C 为 m n 矩阵,假如矩阵 C 中第i 行第 j 列元素 C 是矩阵 A 第 i 个行向量与矩阵 B 的第 j 个列向量的数量积,那么 C 矩阵叫做 A 与 B 的乘积 .记作： C=AB 运算律安排律：ABCAABAC,BCABACA结合律：ABBAB,ABCABC2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 注：交换律不成立,即ABBA三、把握二阶行列式的有关概念及求二元一次方程组的解法：设二元一次方程组（* ）a 1xb 1yc 1c 1,c2是常数项）a 2xb 2yc 2（其中x,y是未知数,a 1,a2,b 1,b2是未知数的系数且不全为零,用加减消元法解方程组（* ）: 当a1 b2a2b 10时,方程组（ *）有唯独解：xc1 b2c 2b 1a1 b2a2b 1,ya1c2a2c1a1 b2a2b 1a2b 1引入记号a 1b 1表示算式a 1b 2a2b 1,即a 1b 1a1 b2a 2b 2a2b 2从而引出行列式的相关概念,包括行列式、二阶行列式、行列式的绽开式、行列式的值、行列式的元素、对角线法就等记 Da 1b 1,Dxc 1b 1,Dya 1c 1,a 2b 2c 2b 2a2c 2就当 Da 1b 1=a1 b2a 2b 10时,方程组（ *）有唯独解,a 2b 2可用二阶行列式表示为xDxDyDy当 D=0 时,DxDyD0无穷组解；当 D=0 时,Dx0,orDy0无解；系数行列式Da 1b 1也为二元一次方程组解的判别式；a 2b 2四、三阶行列式1、三阶行列式的绽开方法：对角线方式绽开3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 按某一行 或列 绽开法a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23 = a a a 33 a a a 31 a a a 32 a a a 32 a a a 33 a a a 31a 31 a 32 a 33a 22 a 23 a 21 a 23 a 21 a 22= a 11-a 12 + a 13a 32 a 33 a 31 a 33 a 31 a 32记 M 11 a 22 a 23,A 11 1 1 1M 11；M 12 a 21 a 23,A 12 1 1 2M 12；a 32 a 33 a 31 a 33a 21 a 22 1 3M 13,A 13 1 M 13；a 31 a 32称 M 1 为元素 a1 的 余子式 ,即将元素 a1 所在的第一行、 第 j 列划去后剩下的元素按原先次序组成的二阶行列式（类似可以定义其它元素的余子式）；称 A1 为元素 a1 的代数余子1 j式,A 1 j 1 M 1 j（j 1 , 2 , 3 ；a 11 a 12 a 13就三阶行列式就可以写成 D = a 21 a 22 a 23 = a 11 A 11 a 12 A 12 a 13 A 13 , a 31 a 32 a 33这就是说,一个三阶行列式可以表示为它的第一行的元素分别与它们的代数余子式乘积的和；上式称为三阶行列式 按第一行绽开的绽开式；类似地, 如将 D 按别的行或列的元素整理,同样可得行列式按任一行 列 绽开式；五、用三阶行列式求三角形的面积：如 ABC三个顶点坐标分别为 x 1y 1 、 x 2y 2 、x 1 y 1 1 x 3y 3 ,就 S ABC 1 x 2 y 2 12x 3 y 3 1x 1 y 1 1A、 B 、 C 三点共线的充分必要条件为 x 2 y 2 1 0x 3 y 3 14 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页
