2022年高考数学专题直线与双曲线的位置关系.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载直线和双曲线的位置关系从近两年的高考试题来看 ,与椭圆相比 ,高考对双曲线的要求较低 ,重点考查双曲线的定义、标准方程、图形及几何性质等基础学问 ,题型大多为挑选题、填空题 ,考查双曲线的定义、几何性质、基本运算才能 ,有时也会显现在解答题 如 20XX 年高考江西卷理科第 20 题,难度为中等偏高 ,考查敏捷运用数形结合、函数方程的思想、等价转化的思想 ,考查规律推理才能、分析问题解决问题的才能 . 一、要点精讲1直线和双曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离. 当 <0 时,直线设双曲线方程x2y21a0,b0,直线 Ax+By+C=0, a2b2将直线方程与双曲线方程联立,消去 y 得到关于 x 的方程 mx 2+nx+p=0, 1如 m 0,当 >0 时,直线与双曲线有两个交点；当 =0 时,直线与双曲线只有一个公共点；与双曲线无公共点. 2如 m=0,就直线与双曲线只有一个公共点,此时直线与双曲线的渐近线平行. 2弦长公式：设直线ykxb交双曲线于P 1x 1, y1,P 2x 2, y2,就P 1P 2x 1x 21k21k2x 1x224x 1x2,或P 1P 2y 1y21111y1y 224y 1y2k0k2k2二、基础自测1经过点P12,且与双曲线4x2y21仅有一个公共点的直线有（）2A 4 条B 3 条y2C 2 条D 1 条2直线 y= kx 与双曲线4x216不行能（）（A ）相交（ B）只有一个交点（ C）相离（D）有两个公共点x21的通径长是3过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径,就双曲线y2169A 9B 9C 9D 10424如始终线 l 平行于双曲线的一条渐近线,就l 与双曲线的公共点个数为解：与双曲线渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个公共点,应留意直线与双曲线不是相切名师归纳总结 5经过双曲线x2y28的右焦点且斜率为2 的直线被双曲线截得的线段的长是第 1 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6直线 l 在双曲线x2y21学习必备欢迎下载上截得的弦长为4,且 l 的斜率为 2,求直线 l 的方程32三、典例精析题型一：直线与双曲线的位置关系1过双曲线 2x 2y 220 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A 、B 两点,如 |AB| 4,就这样的直线有 A 4 条 B3 条 C2 条 D1 条解：过双曲线右焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,如 l x 轴,就|AB|4；如 l 经过顶点, 此时 |AB| 2,因此当 l 与双曲线两支各交于一点 A 、B 时,满意 |AB|4 的直线有两条,应选 B. 2、如直线 ykx2 与双曲线 x 2y 26 的右支交 于不同的两点,就 k 的取值范畴是 A. 3,153 15B. 0,3 15C. 3,0 15 D. 3, 1 15解：直线与双曲线右支相切时,k3,直线 ykx2 过定点 0,2,当 k 1 时,直线与双曲线渐近 15线平行,顺时针旋转直线 y x2 时,直线与双曲线右支有两个交点,3 <k< 1. 152 2x y3、过点 P 7,5 与双曲线 1 有且只有一个公共点的直线有几条,分别求出它们的方程；7 252 24、直线 y kx 1 与双曲线 3 x y 1 相交于 A、B 两点,当 a 为何值时, A、B 在双曲线的同一支上？当 a 为何值时, A、 B 分别在双曲线的两支上？名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载点评：与双曲线只有一个公共点的直线有两种；一种是与渐近线平行的两条与双曲线交于一点的直线；另一种是与双曲线相切的直线也有两条；5过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线,且与双曲线的两支相交,求该双曲线离心率的范畴；解：设双曲线的方程为x2y21 a0,b0,F c ,0,渐近线ybx,就过 F 的直线方程为a2b2ayaxc,就2 b x22 a y22 a b204 b4 2a x4 4 22 a cx a c2 4 a b0,yaxc, 代入得bbx x 200即得4 b4 a , ba ,即得到e2；点评：直线与圆锥曲线的位置关系常常和圆锥曲线的几何要素建立起对应关系,取值范畴往往与判别式的取值建立联系；题型二：求双曲线方程6. 已知焦点在 x 轴上的双曲线上一点 P ,到双曲线两个焦点的距离分别为 4 和 8,直线 y x 2 被双曲线截得的弦长为 20 2,求此双曲线的标准方程7. 双曲线的中心为原点 O ,焦点在 x 轴上,两条渐近线分别为 l 1,l 2,经过右焦点 F 垂直于 1l 的直线分别名师归纳总结 交 1,l2于 A,B两点已知OA、AB、OB成等差数列,且BF 与 FA 同向第 3 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（）求双曲线的离心率；（）设 AB 被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程md2解：（）设 OAmd , ABm, OBmd由勾股定理可得：md2m2得：d1m , tanAOFb,tanAOBtan 2AOFAB44aOA3由倍角公式12b24,解得b1,就离心率e5ab3a225 b 代入,a（）过 F 直线方程为yaxc ,与双曲线方程x2y21联立,将a2 b ,ca2b2b化简有15x28 5x21041a2x 1x 21a2x 1x 224x x 1 24b2bbb将数值代入,有4532 5 b2428 b2, 解得b3故所求的双曲线方程为x2y21；155369题型三：直线与双曲线的相交弦问题8求过定点 0,1 的直线被双曲线x2y21截得的弦中点轨迹方程；49. 双曲线方程为3x2y23. 问：以定点 B1,1 为中点的弦存在吗？如存在,求出其所在直线的方程；如不存在,请说明理由解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题,一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标,而是利用根与系数的关系或“ 平方差法” 求解此时,如已知点在双曲线的内部,就中点弦肯定存在,所求出的直线可不检验,如已知点在双曲线的外部,中点弦可能存在,也可能不存在,因而对所求直线必需进行检验,以免增名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解,如用待定系数法时,只需求出 k 值对判别式>0 进行验证即可2 2102022 浙江 如图, F 1,F2分别是双曲线 C：xa 2yb 21a,b0的左、右焦点,B 是虚轴的端点,直线F1B 与 C 的 两条渐近线分别交于 P,Q 两点,线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M .如|MF 2|F1F2|,就C 的离心率是 2 3 6A. 3 B. 2 C. 2 D. 3 解： 依题意得直线 F 1B 的方程为 yb cxb,M 点坐标为 3c,0,那么可知线段 PQ 的垂直平分线的方程为 yc bx3c,b b由 ycx b,b 得点 P ac a c,bc ac,由 ycxb,b 得点 Q ca ac,bc ca,那么可得线段 PQ yax,yax,的中点坐标为 ab 2c2 ,c b,代入 y c 2bx 3c并整理,可得 2c 23a 2,可得 ec a322,故应选 B. 62 211. 已知双曲线 x2 y2 1 a 0 , b 0 的右焦点为 F,过 F 且倾斜角为 45 的直线 l 与双曲线的右支交a b于 M,N 两点,如 MF 7 FN,求该双曲线的离心率2x 212. 设双曲线 C : 2 y 1 a 0 与直线 l : x y 1 相交于不同的点 A 、B. a求双曲线 C 的离心率 e的取值范畴；名师归纳总结 - - - - - - -设直线 l 与 y 轴的交点为 P ,且PA5PB,求 a 的值；122 解： 1将 y x1 代入双曲线x a 2y21 中得 1a 2x22a 2x2a 2 0 由题设条件知,1a 2 02 1a>0,解得 0<a<2且 a 1, 又双曲线的离心率e2 1aa1 a 21,4a 4 8a 20<a<2且 a 1, e> 6 2且 e2. 2设 Ax 1,y1, Bx 2,y2,P0,1 PA5 12PB,x 1, y1 15 12x 2, y21 x1 5 12x 2,x 1、x 2是方程的两根,且1a2 0,217 12x2 2a 1a 2, 5 12x2 2 2a 2,1a第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 消去 x2 得,21a 2a 2289 60,1学习必备y欢迎下载 a>0, a17 13. 13、双曲线 C 与椭圆x2y2有相同的焦点 ,直线3 C 的一条渐近线 . 841 求双曲线 C 的方程 ; 2过点 P0,4的直线 l ,交双曲线C 于 A、B 两点,交 x 轴于 Q 点Q 点与 C 的顶点不重合 ,当PQ1QA2QB,且128时,求 Q 点的坐标 . ,从而可以利用根3解：1设双曲线的方程为x2y21. a2b2由椭圆x2y21,求得两焦点为-2,0,2,0,对于双曲线C:c=2. 84又y3x为双曲线 C 的一条渐近线 , b3,又 a 2+b2=c 2=4,解得 a 2=1,b2=3. 双曲线 C 的方程为x2y21. a3【点评】有关直线与圆锥曲线的位置关系问题,通常转化为一元二次方程根的问题来争论与系数之间的关系转化为含有特定系数的方程来求解 . 2留意直线与双曲线有一个公共点的情形时 ,只争论 1 k 0 是不够的 ,仍应争论二次项系数等于 0 的情形 ,0此时解得的斜率 k 恰好等于双曲线渐近线的斜率 ,这样的直线 l 与双曲线相交 ,但交点只有一个 ,所以 ,直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件 ,而对于椭圆就是充要条件 . 14已知点 M 是圆 B：x2 2y 212 上的动点,点 A2,0,线段 AM 的中垂线交直线 MB 于点 P. 1 求点 P 的轨迹 C 的方程；2 如直线 l：ykx mk 0与曲线 C 交于 R,S两点, D0, 1,且有 |RD |SD|,求 m 的取值范畴名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载A,B 为焦点的双曲解： 1由题意得 |PM |PA|,结合图形得 |PA|PB|BM |23,点 P 的轨迹是以线,且 2a 2 3,a2 3,c2,于是 b1,故 P 点的轨迹 C 的方程为x 3y2 1. 2当 k 0时,由2 x 3y 21,得 13k 2x26kmx3m 230,* ykx m,由直线与双曲线交于R,S两点,明显13k2 0, 6km 2 413k 2 3m 23 12m2 13k 20,设 x1,x2 为方程 * 的两根,就x1x26km 2,13k设 RS的中点为 Mx0,y0,就x0 3km 13k2,y0kx0mm2,1 3k故线段 RS的中垂线方程为y13k m 2 1 kx3km 1 3k2 . 将 D0, 1代入化简得4m3k 2 1,故 m,k 满意m 21 3k20,4m3k 2 1.消去 k 2 即得 m 2 4m0,即得 m0 或 m 4,又 4m3k 2 11,且 3k 2 1 0,m1 4,且 m 0,m 1 4,0 4, 2 2x y15、已知双曲线 a 2b 21b>a>0,O 为坐标原点,离心率 e2,点 M 5,3在双曲线上1 求双曲线的方程；2 如直线 l 与双曲线交于P,Q 两点,且OPOQ0.求1 |OP| 21 |OQ| 2的值1 6. 解：1e2,c2a,b2 c 2 a 23a2,双曲线方程为x2 22y 3a 21,即 3x 2y 23a2. a点M 5,3在双曲线上, 1533a 2.a 24. 2 2所求双曲线的方程为x 4 y 121. 2设直线 OP 的方程为ykxk 0,联立2 2x 4 y 121,得x 2 12 2,3k|OP| 2x 2y 212 k21. 就 OQ 的方程为 y1 kx,2 y 2 12k 2,3k3k2同理有 |OQ| 212 11 k 212 k 2 1,1 2|OP|1 2|OQ|3k2 3k2122k23k2112 k 2112 k 2131 k 216已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为 2,0,右顶点为 3, 0名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1求双曲线方程；2如直线 l：ykx2与双曲线 C 恒有两个不同的交点A 和 B,且OAOB2其中 O 为原点 ,求 k 的取值范畴；2 2解： 1设双曲线 C 的方程为xa 2y b 21a0,b0,由已知得 a3,c2,再由 c 2a 2b 2 得 b 21,2所以双曲线 C 的方程为x 3y 21. 22将 ykx2代入x 3y 21,整理得 13k 2x 26 2kx90,1 3k 2 0,由题意得 6 2k 236 13k 2 36 1k 2 0,故 k 2 1 3且 k 21,9设 AxA,yA,BxB,yB,就 xAxB6 2k 2, xA·xB2,由 OA OB 2 得 xAx B yAyB2,13k 13k又 xAxByAyBxAxBkxA2kxB2k 2 1xAxB2kxAxB2 k 21 ·13k922k·6 2k13k 2 23k3k 2721,于是 3k3k 27212,即3k3k 2 1 290,解不等式得1 3k 23, 由得1 3 k 2 1,所以 k 的取值范畴为1,3 33,1 . 317已知点 M 是圆 B：x2 2y 212 上的动点,点 A2,0,线段 AM 的中垂线交直线 MB 于点 P. 1 求点 P 的轨迹 C 的方程；2 如直线 l：ykxmk 0与曲线 C 交于 R,S 两点, D0, 1,且有 |RD |SD|,求 m 的取值范畴解： 1由题意得 |PM |PA|,结合图形得 |PA|PB|BM |23,点 P 的轨迹是以A,B 为焦点的双曲线,且 2a 2 3,a2 3,c2,于是 b1,故 P 点的轨迹 C 的方程为x 3y2 1. 2当 k 0 时,由2 x 3y21,得13k 2x26kmx3m 230,* ykxm,名师归纳总结 - - - - - - -由直线与双曲线交于R,S两点,明显13k2 0, 6km2413k23m 2312m213k20,设 x1,x2 为方程 * 的两根,就x1x26km 13k2,设 RS的中点为 Mx0,y0,就x0 3km 13k2,y0kx0mm2,故线段 RS 的中垂线方程为y13k m 2 1 kx3km 13k 2 . 13k将 D0, 1代入化简得4m3k2 1,故 m,k 满意m 21 3k20,4m3k 2 1.消去 k 2 即得 m 2 4m0,即得 m0 或 m4,又 4m3k 21 1,且 3k 21 0,m1 4,且 m 0,第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 m 1 4,0 4, 学习必备欢迎下载第 9 页,共 9 页- - - - - - -