2022年高考数学二轮复习名师知识点总结数列求和及数列的综合应用.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 数列求和及数列的综合应用【高考考情解读】高考对本节学问主要以解答题的形式考查以下两个问题：1.以递推公式或图、 表形式给出条件,求通项公式,考查同学用等差、等比数列学问分析问题和探究创新的才能,属中档题 .2.通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题,考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用,属中档题1 数列求和的方法技巧1分组转化法有些数列, 既不是等差数列,也不是等比数列,如将数列通项拆开或变形,可转化为几个等差、等比数列或常见的数列,即先分别求和,然后再合并2错位相减法这是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列 an·bn的前 n 项和,其中 an , bn 分别是等差数列和等比数列3倒序相加法这是在推导等差数列前 n 项和公式时所用的方法, 也就是将一个数列倒过来排列 反序 ,当它与原数列相加时如有公式可提,并且剩余项的和易于求得,就这样的数列可用倒序相加法求和4裂项相消法利用通项变形, 将通项分裂成两项或 n 项的差, 通过相加过程中的相互抵消,最终只剩下有限项的和这种方法,适用于求通项为anan1 1 的数列的前 n 项和,其中 an 如为等差数列,就anan1 11d an1an1. 1常见的拆 项公式：11 n1；1 2n1；n n1n1n nk1 k1 n1 nk；1 2n1 2n11 2 2n1 1n1nk1 knkn2 数列应用题的模型名师归纳总结 1等差模型：假如增加或削减 的量是一个固定量时,该模型是等差模型,增加或减第 1 页,共 19 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 少的量就是公差2等比模型：假如后一个量与前一个量的比是一个固定的数时,该模型是等比模型,这个固定的数就是公比3混合模型：在一个问题中同时涉及等差数列和等比数列的模型4生长模型：假如某一个量,每一期以一个固定的百分数增加或削减 ,同时又以一个固定的详细量增加 或削减 时,我们称该模型为生长模型如分期付款问题,树木的生长与砍伐问题等5递推模型：假如简单找到该数列任意一项 an与它的前一项 an1或前 n 项 间的递推关系式,我们可以用递推数列的学问来解决问题 . 考点一 分组转化求和法例 1 等比数列 an 中, a1,a2,a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 a1, a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列 . 第一列 其次列 第三列第一行 3 2 10 其次行 6 4 14 第三行 9 8 18 1求数列 an 的通项公式；2如数列 bn 满意： bnan 1 解 1当 a13 时,不合题意；nln an,求数列 bn 的前 n 项和 Sn. 当 a12 时,当且仅当 a26,a318 时,符合题意；当 a110 时,不合题意因此 a12,a26,a318.所以公比 q3. 名师归纳总结 故 an2·3n1 n N*n·ln 2ln 3123第 2 页,共 19 页2由于 bn an1nln an2·3 n1 1 nln2 ·3n1 2·3 n 1 1nln 2 n1ln 32·3 n1 1 nln 2ln 31nnln 3,所以 Sn213 3n1 11 111nnln 3. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当 n 为偶数时, Sn2×n 13n 2ln 3 133 nn 2ln 31；n当 n 为奇数时, Sn2×13ln 2 ln 3n1n ln 3 13 2n13 n2 ln 3ln 21. 3 nn 2ln 31,n为偶数,综上所述, Snn13 n2 ln 3ln 2 1,n为奇数 .在处理一般数列求和时,肯定要留意使用转化思想把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和,在求和时要分析清晰哪些项构成等差数列,哪些项构成等比数列, 清晰正确地求解在利用分组求和法求和时,由于数列的各项是正负交替的,所以一般需要对项数n 进行争论,最终再验证是否可以合并为一个公式2022 ·安徽 设数列 an 满意 a12,a2 a4 8,且对任意nN*,函数 fxanan1an2xan 1cos xan 2sin x 满意 f 20. 1求数列 an 的通项公式；2如 bn2 an 1 2an,求数列 bn 的前 n 项和 Sn. 解 1由题设可得 fxan an1an2 an1sin xan2cos x,又 f20,就 an an22an 1 0,即 2an1anan 2,名师归纳总结 因此数列 an为等差数列,设等差数列an 的公差为 d,第 3 页,共 19 页由已知条件a12,2a14d8解得a1 2,d1,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ana1n1d n1. 1 2bn2 n12 n1 2n11 2 n,Snb1b2 bnn3n11 2 nn 23n1 1 2 n. 考点二 错位相减求和法 例 2 2022·山东 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn,且 S44 S2,a2n2an1. 1求数列 an 的通项公式；2如数列 bn 满意b1 a1b2 a2 bn an11 2 n,nN*,求 bn的前 n 项和 Tn. 解1设等差数列 an 的首项为 a1,公差为 d,由S4 4S2,得 a11,d2,a2n2an 1所以 an2n 1nN*2由已知a1 b2 a2 bn an1 1 n,n N*,当 n2 时,b1 a1b2 a2 bn 1121 n 1, an1得：bn an 1 n,又当 n1 时,b1 a11 2也符合上式,所以bn an 1 nnN*,所以 bn2n1 2 n nN*所以 Tnb1b2 b3 bn1 2 3 25 2 3 2n1. 2n1 2 n1. 2n2Tn 1 23 2 3 2n3 2 n两式相减得：名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2Tn1 2 2 22 2 3 2 2 n 2n12 n13 22 n11 2n12 n1. 2n3所以 Tn32n . 错位相减法求数列的前n 项和是一类重要方法在应用这种方法时,肯定要抓住数列的特点, 即数列的项可以看作是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和问题设数列 an满意 a12, an1an3·2 2n1. 1求数列 an 的通项公式；2令 bnnan,求数列 bn 的前 n 项和 Sn. 解1由已知,得当n1 时,an1an1ananan1a2a1a1322n 122n3 2222n11. 而 a12,符合上式,所以数列 an的通项公式为 an 2 2n 1. 2由 bnnann·2 2n 1 知Sn1·22·2 33·2 5 n·2 2n1. 从而 2 2·Sn 1·2 32·2 53·2 7 n·2 2n1. 得122Sn223 2 5 22n1 n·2 2n1,2 n14n1,nN*, 即 Sn1 93n122n12 考点三裂项相消求和法例 32022·广东 设各项均为正数的数列 an 的前 n 项和为 Sn,满意 4Sna且 a2,a5,a14构成等比数列1证明： a24a15；2求数列 an 的通项公式；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3证明：对一切正整数n,有a1a2 1 a2a3 1 anan1<1 2. 2 21证明 当 n 1 时, 4a1a 25,a 24a15,又 an>0,a 24a15. 22解 当 n2 时, 4Sn1a n4n11,2 24an4Sn4Sn1a n1a n4,即 a 2n1a 2n4an4an2 2,又 an>0,an 1an2,当 n2 时, an 是公差为 2 的等差数列又 a2,a5,a14成等比数列2a 5a2·a14,即 a26由1知 a1 1. 又 a2a1312,2a2·a2 24,解得 a23. 数列 an 是首项 a11,公差 d2 的等差数列an2n1. 3证明 a1a2 1 a2a3 anan1 11× 313× 515× 7 12n1 2n1 112 113 1 3 1 5 2n1 12n1 111 212n1 <1 2. 数列求和的方法：1一般地,数列求和应从通项入手,如无通项,就先求通名师归纳总结 项,然后通过对通项变形,转化为与特殊数列有关或具备适用某种特殊方法的形式,从第 6 页,共 19 页而挑选合适的方法求和得解2已知数列前n 项和 Sn 或者前 n 项和 Sn 与通项公式an的关系式,求通项通常利用anS1 n1.已知数列递推式求通项,主要把握SnSn1 n2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - “ 先猜后证法 ” “化归法 ” “累加 乘法” 等2022 ·西安模拟 已知 x,f x2,3x0成等差数列又数列 an an>0中, a13,此数列的前 n 项和为 Sn,对于全部大于 1 的正整数 n 都有 SnfSn11求数列 a n 的第 n1 项；2如 bn是 1 an1,1an 的等比中项,且 Tn 为bn 的前 n 项和,求 Tn. 解 1由于 x,f x2,3x0成等差数列,所以 2×f x2x3,整理,得 fx x3 2. 由于 SnfSn 1n 2,所以 Sn Sn 13 2,所以 SnSn13,即 SnSn13,所以 Sn 是以 3为公差的等差数列由于 a13,所以 S1a13,所以SnS1n1333n33n. 所以 Sn3n 2nN*所以 an1Sn 1Sn3n123n 26n3. 2由于bn是an1 1 与1 an的等比中项,所以 bn 21·an11 an,所以 bn1·an 11 an13 2n1 × 3 2n11 18×12n11 2n1,Tnb1b2 bn名师归纳总结 1 1811 3 1 31 5 11第 7 页,共 19 页2n12n11 1811 2n1n . 18n 9考点四数列的实际应用- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 42022·湖南 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产该企业第一年年初有资金2 000 万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%,估计以后每年资金年增长率与第一年的相同公司要求企业从第一年开头,每年年底上缴资金 d 万元, 并将剩余资金全部投入下一年生产设第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 an 万元1用 d 表示 a1,a2,并写出 an1与 an的关系式；2如公司期望经过mm3年使企业的剩余资金为4 000 万元,试确定企业每年上缴资金 d 的值 用 m 表示 1由第 n 年和第 n1年的资金变化情形得出an 与 an1 的递推关系；2由 an 1 与 an 之间的关系,可求通项公式,问题便可求解解 1由题意得 a12 000150% d3 000d,a2a1150%d3 2a1d 4 5005 2d. an1an150% d3 2and. 2由1得 an3 2an 1d3 3 2an 2d d3 2 2an23 2dd3 2 n1a1d 13 2 3 2 3 2 n2 . 整理得 an3 2 n 13 000d2d 3 2 n1 13 2 n13 0003d 2d. 由题意,知 am4 000,3 即 2 m 13 0003d2d4 000,3 2 m2 × 1 000 1 000 3 m2 m 1解得 d3 2 m 13 m2 m . 1 000 3 m2 m 1故该企业每年上缴资金 d 的值为 3 m2 m 时,经过 mm3年企业的剩余资金为4 000 万元名师归纳总结 用数列学问解相关的实际问题,关键是合理建立数学模型 数列模型,弄第 8 页,共 19 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 清所构造的数列的首项是什么,项数是多少, 然后转化为解数列问题求解时,要明确目标,即搞清是求和,仍是求通项,仍是解递推关系问题,所求结论对应的 是解方程问题,仍是解不等式问题,仍是最值问题,然后进行合理推算,得出实际问题的结果某产品在不做广告宣扬且每千克获利a 元的前提下, 可卖出 b 千克 如做广告宣扬,广告费为 nnN *千元时比广告费为 n1千元时多卖出 2 bn千克1当广告费分别为 1 千元和 2 千元时,用 b 表示销售量 S；2试写出销售量 S 与 n 的函数关系式；3当 a50,b200 时,要使厂家获利最大,销售量S 和广告费 n 分别应为多少？解 1当广告费为 1 千元时,销售量 Sbb 2 3b 2 . 当广告费为 2 千元时,销售量 S bb 2 b 27b 4 . 2设 SnnN表示广告费为 n 千元时的销售量,由题意得 S1 S0b 2,S2S1b 2 2, 名师归纳总结 SnSn1b 2 n. b 2 n,第 9 页,共 19 页以上 n 个等式相加得,SnS0b 2 b 2b 2 3 即 SSnbb 2 b 2b 2 3 b 2 nb11 2n 111 2b21 2 n3当 a50,b200 时,设获利为Tn,就有TnSa1 000n10 000× 21 2 n1 000n1 000× 2010 2 nn,设 bn2010 2 n n,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就 bn1bn2010 2 n1n 120 10 2 n n2 5 n1,当 n2 时, bn1bn>0；当 n3 时, bn1bn<0. 所以当 n3 时, bn 取得最大值,即Tn 取得最大值,此时S375,即该厂家获利最大时,销售量和广告费分别为375 千克和 3 千元1 数列综合问题一般先求数列的通项公式,这是做好该类题的关键如是等差数列或等比数列,就直接运用公式求解,否就常用以下方法求解：S1 n11an. SnSn1 n22递推关系形如 an 1anfn,常用累加法求通项an 1 3递推关系形如 anfn,常用累乘法求通项4递推关系形如 “ an1panqp、q 是常数, 且 p 1,q 0” 的数列求通项, 此类通项问题,常用待定系数法可设an1pan,经过比较,求得,就数列 an是一个等比数列5递推关系形如 “ an1panq nq,p 为常数,且p 1, q 0” 的数列求通项,此类型可以将关系式两边同除以q n 转化为类型 4,或同除以p n1 转为用迭加法求解2 数列求和中应用转化与化归思想的常见类型：1错位相减法求和时将问题转化为等比数 列的求和问题求解2并项求和时,将问题转化为等差数列求和3分组求和时,将问题转化为能用公式法或错位相减法或裂项相消法或并项法求和的几个数列的和求解提示：运用错位相减法求和时,相减后,要留意右边的n1 项中的前 n 项,哪些项构成等比数列,以及两边需除以代数式时留意要争论代数式是否为零3 数列应用题主要考查应用所学学问分析和解析问题的才能其中, 建立数列模型是解决名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 这类问题的核心,在试题中主要有：一是,构造等差数列或等比数列模型,然后用相应名师归纳总结 的通项公式与求和公式求解；二是,通过归纳得到结论,再用数列学问求解. 第 11 页,共 19 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1 在一个数列中,假如. nN*,都有 anan 1an2kk 为常数 ,那么称这个数列为等积数列,称 k 为这个数列的公积已知数列 an是等积数列,且a1 1,a22,公积为 8,就 a1a2a3 a12_. 答案28 an 是周期为 3 的数列,且a11, a2 2,a3 4,解析依题意得数列因此 a1a2a3 a124a1a2a34× 124 28. 2 秋末冬初,流感盛行,特殊是甲型 H1N1 流感某医院近 30 天每天入院治疗甲流的人数依次构成数列 an ,已知 a11,a22,且 an2an1 1 nnN *,就该医院 30天入院治疗甲流的人数共有 _答案 255 解析 由于 an2an11 n,所以 a1a3 a291,a2,a4, ,a30 构成公差为 2 的等差数列,所以 a1a2 a29a301515× 215× 14 2× 2255. 3 已知公差大于零的等差数列 an 的前 n 项和 Sn,且满意： a2· a465,a1a518. 1如 1<i<21,a1,ai,a21是某等比数列的连续三项,求 i 的值；2设 bnn,是否存在一个最小的常数 m 使得 b1b2 bn<m 对于任意的正2n1 Sn整数 n 均成立,如存在,求出常数m；如不存在,请说明理由解 1 an为等差数列, a1a5a2 a418,又 a2·a465,a2,a4 是方程 x 218x 650 的两个根,又公差 d>0,a2<a4,a25,a413. a1 d5,a1 3d13,a11,d4.an4n3. 由于 1<i <21, a1,ai,a21 是某等比数列的连续三项,名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2a1·a21a i ,即 1·814i3 2,解得 i3. n n12由1知, Snn·12·42n 2n,1所以 bn2n1 2n 11 112 2n12n1,b1b2 bn1 2 11 31 31 5 2n1 12n112n1 n,由于2n1 n1 22 2n1 1< 12,所以存在 m1 2使 b1 b2 bn<m 对于任意的正整数 n 均成立举荐时间： 60 分钟 一、挑选题名师归纳总结 1 已知数列 11 2,31 4,51 8,7 1 16, ,就其前n 项和 Sn 为 第 13 页,共 19 页An 2 11 2nBn 221 2nCn2 1 1 n12Dn22 1 n12答案A 解析由于 an2n11 2 n,就 Sn12n1n11 2 n ·1n21 1 2 n. 2211 22在等差数列 an 中, a1 2 013,其前 n 项和为 Sn,如 S12 12S10 102,就 S2 013 的值等于- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A 2 011 B 2 012 C 2 010 D 2 013 答案 D 解析 依据等差数列的性质,得数列 Sn n 也是等差数列,S1依据已知可得这个数列的首项 1 a1 2 013,公差 d1,故S2 013 2 013 2 0132 0131× 1 1,所以 S2 013 2 013. 3 对于数列 an,a14,an1fan,n1,2, ,就 a2 013等于 x 1 2 3 4 5 fx 5 4 3 1 2 A.2 B3 C4 D5 答案 C 解析 由表格可得 a14,a2fa1f41,a3fa2 f15,a4fa32,a5f24,可知其周期为 4,a2 013a14. 4 在等差数列 an中,其前 n 项和是 Sn,如 S15>0,S16<0,就在a1,S2 a2, , S15 a15中最大的是B.S8S9 C. a9D.S15 A.S1 a1a8a15答案B 解析由于 S1515 a1a15 15a8>0,2S1616 a1a16 2 8a8a9<0,可得 a8>0,a9<0. 这样S1 a1>0,S2 a2>0, ,S8 a8>0,S9 a9<0,S10 a10<0, ,S15 a15<0,而 S1<S2< <S8,a1>a2> >a8,名师归纳总结 所以在S1 a1,S2 a2, , S15 a15中最大的是 S8 a8. 第 14 页,共 19 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 应选 B. 5 数列 an 满意 a11,且对任意的 m,nN *都有 am namanmn,就1 a1 1 a2 1 a3a2 012等于 1 A.4 024 2 013 B.4 018 2 012 C.2 010 2 011 D.2 009 2 010答案 A 解析 令 m1 得 an1ann1,即 an 1ann1,于是 a2a12,a3a23, ,anan1n,上述 n1 个式子相加得ana123 n, 所以 an123 nn n1,2因此1 an221 n1 n1,n n1所以1 a1 1 a2 1 a3 1 a2 0122 121 21 3 1 2 01212 0132 12 0134 024 2 013. 6 已知函数 fnn 2 n为奇数 ,且 anfnfn1,就 a1a2a3 a 2 012 等于n 2 n为偶数 ,A 2 012 B 2 011 C2 012 D2 011 答案C 解析当 n 为奇数时,anfn fn1n2n12 2n 1；当 n 为偶数时,anfn fn1 n 2n1 22n1. 所以 a1a2a3 a2 01221234 2 0112 0122 012. 二、填空题名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 7 数列 an 中,已知对任意nN*,a1a2a3 an3 n1,就 a 21a 22a 23 a 2n_. 答案 129 n1 解析a1a2a3 an3 n1,a1a2a3 an 1 3 n11n 2就 n2 时,两式相减得,an2·3 n 1. 当 n1 时, a1312,适合上式,an2·3 n 1nN*a 2n4·9n 1,*的虚部,就S2 0132 就数列 a n是首项为4,公比为 9 的等比数列2 2 2a 1a 2a 3 a2 n4 19n191 29n18 设数列 an 的前 n 项和为 Sn,且 an为复数isin n 2cos n 2 nN_. 答案1 *,解析由已知得： ansin n 2 nNa11,a20,a3 1,a40,故an 是以 4 为周期的周期数列,S2 013S503× 4 1S1a11. 名师归纳总结 9 已知数列 an满意 3an1 an4n1且 a19,其前 n 项之和为Sn,就满意不等式|Sn第 16 页,共 19 页n6|< 1 125的最小整数n 是_答案7 解析由递推式变形得3an1 1 an1,an1 是公比为1 3的等比数列就 an18· 1 3n1,即 an8·1 3n11. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 于是 Sn81 1 3nn1 1 3611 3 nn 66·13 nn因此 |Snn6|6× 1 3 n| 6× 1 3 n< 125,3 1 n1>250,满意条件的最小 n7. 10气象学院用 3.2 万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第 n 天的修理保养费为 n4910 n N *元,使用它直至报废最合算 所谓报废最合算是指使用这台仪器的平均耗资最 答案 800 少,一共使用了 _天解析由题意得, 每天的修理保养费是以5 为首项,1 10为公差的等差数列设一共使用了 n 天,就使用n 天的平均耗资为3.2× 1045n49n10n243.2× 10 nn 2099 2023.2× 1042099 20,×n4 当且仅当3.2× 10 nn 20时取得最小值,此时n 800. 三、解答题 11已知等差数列 an满意 ：a59,a2a614. 1求数列 an 的通项公式；2 如 bn anqanq>0,求数列 bn的前 n 项和 Sn. 名师归纳总结 解1设数列 an 的公差为 d,就由 a59,a2a614,3 q 5 q2n 1 n2第 17 页,共 19 页得a1 4d9,解得a11. 2a16d14d2所以数列 an的通项公式为an 2n1. 2由 an2n1 得 bn2n1q2n1. 当 q>0 且 q 1 时, Sn 1 3 5 2n 1 q1q- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - q 1q2n；1q2当 q1 时, bn2n,就 Snnn1n n1 ,q1所以数列 bn的前 n 项和 Snn2q 1q2n,q>0且q 1. 1q212将函数 fxsin 1 4x·sin 1 4x2 ·大的次序排成数列 an nN *1求数列 an 的通项公式；1 2x3 在区间 0, 内的全部极值点按从小到2设 bn2 nan,数列 bn 的前 n 项和为 Tn,求 Tn 的表达式解 1化简 fx sin 1 4x·sin 14x2 ·12x3 14sin x,其极值点为 xk 2k