2022年微分方程习题及答案.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 微分方程习题§ 1 基本概念.1. 验证以下各题所给出的隐函数是微分方程的解. 1x2xyy2C,x2yy2xy2ye-t2dtx,1yyy2202.已知曲线族,求它相应的微分方程其中C, C 1C2均为常数一般方法：对曲线簇方程求导,然后消去常数,方程中常数个数打算求导次数1xC2y21；2yC1sin2xC2cos2x. 3写出以下条件确定的曲线所满意的微分方程；1曲线在x,y处切线的斜率等于该点横坐标的平方；2,0；2曲线在点Px,y处的法线 x 轴的交点为Q,PQ 为 y 轴平分；3曲线上的点Px,y处的切线与y 轴交点为 Q, PQ 长度为 2,且曲线过点§ 2 可别离变量与齐次方程1.求以下微分方程的通解11x2y12y2；tanxdy0；2sec2xtanydxsec 2y3dy0. 3xyxy；dx2y dy4y2xdx2xy2x2求以下微分方程的特解名师归纳总结 1y2 exy,2yx010；第 1 页,共 40 页2x yyy,1yx2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3. 求以下微分方程的通解1x yylny1 ；dy0. x2x3y3dx3xy24. 求以下微分方程的特解1dy2xxy,yx01；yx01. dx2y22y3x2dy2 xydx0 ,5. 用适当的变换替换化简方程,并求解以下方程1yxy2；y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等2x yyylnxlny3yx1y14yxy1 dxx 1xyx2y2 dy06. 求一曲线,使其任意一点的切线与过切点平行于于常数2 a . Px,y B A 7. 设质量为 m 的物体自由下落,所受空气阻力与速度成正比,并设开头下落时t0速度为 0,求物体速度 v 与时间 t 的函数关系 . 8. 40 % 染色,现内科医生给某人注射了 0.3g 染色, 30 分钟后剩下 0.1g,试求注射染色后 t分钟时正常胰脏中染色量 P t 随时间 t 变化的规律,此人胰脏是否正常？9.有一容器内有 100L 的盐水,其中含盐 10kg,现以每分钟 3L 的速度注入清水,同时又以每分钟 2L 的速度将冲淡的盐水排出,问一小时后,容器内尚有多少盐？名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 40 页精选学习资料 - - - - - - - - - § 3 一阶线性方程与贝努利方程1求以下微分方程的通解1yyx2；cosx00；x2x21 y2xy3y dy；ylnydxxln4yy；2lnyx5dy4eysinx1dx2求以下微分方程的特解1yytanxsecx ,yx00；5tV串联组成之电路,2yysinx,y|x01xx3一曲线过原点,在x,y处切线斜率为2xy,求该曲线方程. 4设可导函数x 满意方程x cosx2 x tsintdtx1,求x . 05设有一个由电阻R10,电感L2H,电流电压E20sin合上开关,求电路中电流i 和时间 t 之关系 . 6求以下贝努利方程的通解1 yyx2 y6ytanxx2yy4cosx3ydxxx2lny0dy4yxxy1xy221§ 4 可降阶的高阶方程名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 40 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1.求以下方程通解；1yyx ；2y2x y1；3yy2y2043 y y1x22. 求以下方程的特解1 y y 2 , y x 0 0, y x 0 12y 2 x y e x 2, y x 0 ,0 y x 0 03求 y x 的经过 ,0 1 且在与直线 y x1 相切的积分曲线24证明曲率恒为常数的曲线是圆或直线 . 证明：y2 3 2 K , K ,0 K 0 可推出 y是线性函数；K可取正或负 1 y 5枪弹垂直射穿厚度为 的钢板,入板速度为 a ,出板速度为 b a b ,设枪弹在板内受到阻力与速度成正比,问枪弹穿过钢板的时间是多少？§ 5 高阶线性微分方程1. 已 知y 1x ,y2x 是 二 阶 线 性 微 分 方 程ypxyqx yx ,fx的 解 , 试 证x 的三个特解y 1y2x2,y3e 3x,y 1xy2x是ypxyqx y0的解2.已知二阶线性微分方程ypx yq x yf试求此方程满意y 0 ,0y03的特解 . x1 yx yy1的解,并求其通解. 3验证y 1x,1y 2ex1是微分方程§ 6 二阶常系数齐次线性微分方程1.求以下微分方程的通解名师归纳总结 1y4yy2y0；第 4 页,共 40 页2y6y13y0；3y4y4y0；4y2y0. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2求以下微分方程的特解1y4y3y,0yx0,6yx0100,然后放开,开头自由摇摆.在不2y25y,0yx0,2yx053y4y13y0,yx02,yx033.设单摆摆长为l ,质量为 m ,开头时偏移一个小角度计空气阻力条件下,求角位移 随时间 t 变化的规律 . lP mg 4. 圆柱形浮筒直径为0.5m ,铅垂放在水中,当稍向下压后突然放开,浮筒周期为2s,求xO xt浮筒质量 .；5.长为 6m 的链条自桌上无摩察地向下滑动,设运动开头时,链条自桌上垂下部分长为1m,问需多少时间链条全部滑过桌面. O ptx§ 7 二阶常系数非齐次线性微分方程1.求以下微分方程的通解名师归纳总结 1y3y2y3xex；第 5 页,共 40 页2y5y4y32x；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3y4yxcosx；4yysin2x；5yy2yxex4. 2求以下微分方程的特解1y3y2yx,5y06,y02；2yysin2,0y ,1y13.设连续函数fx满意fx exx tx ftdt求f x . 比例系数为04.一质量为 m 的质点由静止开头沉入水中,下沉时水的反作用力与速度成正比k ,求此物体之运动规律. O xtP 5.一链条悬挂在一钉子上,起动时一端离开钉子8m,另一端离开钉子12m,假设不计摩擦力,求链条全部滑下所需时间 . x t O P x6.大炮以仰角、初速v 发射炮弹,假设不计空气阻力,求弹道曲线. 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 40 页精选学习资料 - - - - - - - - - yp tx t,y tx§ 8 欧拉方程及常系数线性微分方程组1.求以下微分方程的通解1x3yyx2y2x y2yx3；2yy2 x. xx22求以下微分方程组的通解1dxdyxy3dt dxdt dyxy3dtdt2d2x3x4y0dt2y2xy0ddt2自测题1.求以下微分方程的解；名师归纳总结 1yy2tany；dy0；第 7 页,共 40 页xx2ydxx2yx - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3yy2y2x；2xy4yyxsin2x. ex和 x ,求a,b ,c. 2求连续函数x ,使得x0时有1xtdt2x. 03求以yC1C2xx2 e2x为通解的二阶微分方程. 4某个三阶常系数微分方程yaybycy0有两个解5设ypxyfx 有一个解为1 ,对应齐次方程有一特解 x2 x ,试求： 1p x ,fx 的表达式； 2该微分方程的通解. 6已知可导函数fx满意关系式：名师归纳总结 xf tdt 1fx 1求fx. x2 y10,且yx 满意微分方程第 8 页,共 40 页1f2t7 已知曲线yyx上原点处的切线垂直于直线excos2x,求此曲线方程. y2y5y- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 微分方程习题答案§ 1 基本概念1验证以下各题所给出的隐函数是微分方程的解 . 1x 2 xy y 2 C , x 2 y y 2 x y解 : 求导 : 2 x y x y 2 y y 0移项 : x 2 y y 2 x y故所给出的隐函数是微分方程的解2ye-t2dtx,1yyy2. 20解：隐函数方程两边对x 求导y 2e 2 y 1 0方程两边再对 x 求导y 2e2yyyy0指数函数非零,即有yyy2故所给出的隐函数是微分方程的解2已知曲线族,求它相应的微分方程其中 C , C 1C 2 均为常数一般方法：对曲线簇方程求导,然后消去常数,方程中常数个数打算求导次数 .1 x C 2y 2 1；求导得 : 2 x c 2 y y 0解出 x c y y代入原方程得 y 2y 2y 212y C 1 sin 2 x C 2 cos 2 x . 求导得 : y 2 c 1 cos 2 x 2 c 2 sin 2 x 再求导得 : y 4 c 1 sin 2 x 4 c 2 cos 2 x消去 c 1 , c 2 得 : y 4 y 03写出以下条件确定的曲线所满意的微分方程；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 40 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1曲线在x,y处切线的斜率等于该点横坐标的平方；解：设曲线为y = y x 就曲线上的点x,y处的切线斜率为y ,由题意知所求方程为0,yx22曲线在点Px,y处的法线 x 轴的交点为Q,PQ 为 y 轴平分；解：曲线上的点x,y处法线方程：Yy1Xx；y故法线 x 轴的交点为Q 坐标应为yyx ,0,又 PQ 为 y 轴平分, 故1 2yyxx便得曲线所满意的微分方程：3曲线上的点Px,y处的切线与yy2x02,0；y 轴交点为 Q, PQ 长度为 2,且曲线过点解：点 Px,y处切线方程：Yyy Xx 故 Q 坐标为0, yy x,就有02yyy x22PQx就得初值问题为：x21y24yx20§ 2 可别离变量与齐次方程1求以下微分方程的通解11x2y1y2；解:别离变量dy1dx2,两边积分xdy1dydx21y2xy21x得arcsinyarcsinxc0；2sec2xydxsec 2ytantan解:别离变量名师归纳总结 2 secxdxy2 secydydtanxdtanyln tanxln tanyC 1第 10 页,共 40 页tanxtanytanxtanyln tanxtanC 1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ln tan tan eyC 1 etan tanye C 1tanxtanye C 1tanxtanyC 其中Ce C 1dy dxxy y3别离变量C 1得3dy dx3xyxy2；解: dy3xyxy2dxdyxdxdy3xdxxdxlnylny31x2得dyy y3y yy y311dydyxdx3yy332e 3C 13x2lnyy33x 23 C 13Ce3x 22y其中C3C 1 eln eyy3e3x23C 1yy3e 222y42x0. y2xdx2xy2y dy量变x1解：别离d2y1d222y1dy22x1dx22y1dy22x1dxyxyxC 12y1x 211Cln e2y12x1C 1 eln 2y1ln 2x1C 1ln2y12x12y1ln2y12x1e C 12y12xe C 112x其中Ce C 12求以下微分方程的特解名师归纳总结 1y2 exy,yx00；第 11 页,共 40 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：eydy2 exdxeydye 2xdx2 ex1y11dy1dxlnyy1lnxC 1ey1e2xc2由yx00解得c12所以特解为：ey122x yyy2,yx11 2解：别离变量得ydydx2yx1yxln ey1ln exC 1y1e C 1xxyyC e xyyyyy1Cx,其中CC e1,y11,故特解为由yx11得C23求以下微分方程的通解名师归纳总结 1x yylny1 ；u,就dy dxuxdu dx,故原方程变为第 12 页,共 40 页x解：方程变形为齐次方程dyylny1,令ydxxxxuxdyulnu1, 别 离 变 量 得uduudxuduudx, 即, 两 边 积 分dxlnxClnxln ex C 1dlnudx,故ln lnulnxC ,得 1ln ln eulnuxe C 1lnue C 1xlnue x Cln y xCx,其中2x3y3dx3xy2dy0. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：方程变形为齐次方程dy1y23,令uy就dy dxuxdu,故原方程变为xdx3xdxyxuxdu1u3,别离变量得32 u dudx, 即1d12 u3dx,即dx3 u22 3 u dudx, 两 边 积分212u3x12 u3x12 u3xd1 2 u32dx,13 2 ux得ln 12u32lnxC 1C 1 e12ln 12u322lnxC 112ln 132u3x2C 1eln 1 2u3x2e C 1y3xe C 1yx2e C 13x2C e112 uxx3 x23 yCx 其中C4 求以下微分方程的特解名师归纳总结 1dyx2xyy2,yx01；, 令uy就dy dxyuxdu, 故 原 方 程 变 为第 13 页,共 40 页dx解 ： 原 方 程 化 为dy1yx y2dxxdxxuxdu1u2,别离变量得1u2dudxln即11dudx,得dxuu3xdx两边积分1uu2du,3xu3ux1 2uuxC 11u2lnulnxC 12ln21u2lnuxC 1e1u2ln eyC 11u2C e12e22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1x21x2e2yC e ye2yCy 其中CeC 1CeC 1,由yx01 得C1,故1x2y就dy dxuxdu, 故 原 方 程 变 为特解为e2yy2y23x2dy2 xydx0 ,yx01. 解 ： 原 方 程 可 化 为dy22y3,令uxyxdxdxxdx,两 边 积 分33u2dudx, 即uxduu22u,别 离 变 量 得33u2dudx3uuxuuxu11u113dudx得lnu231lnu1lnu1ln3 ulnxlnC即uxulnu231lnCx得u231Cx,即yy231Cx,又yx01得特解为3 yy22 x.xuux5 用适当的变换替换化简方程,并求解以下方程名师归纳总结 1yxy2；第 14 页,共 40 页解：令 uxy就dydu1,原方程变为du1u2,别离变量并积分udu1dxdxdxdx2得 arctanuxC故方程通解为arctanxyxc2x yyylnxlny解 ：令x yu,就xdyydu, 原 方 程 变 为duulnu, 别 离 变 量 并 积 分dxdxdxxuduudx,即dlnudxlnxlnux得ln lnulnxC ,得 ln u 1Cx ,即 ln xyCx ,其中Ce C 1故方程通解为xyc x eln ln euln exC 1lnue C 1xlnuCx ,其中CC 1 e3yx1y1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解 ：令xyu, 就 1dydu, 原 方 程 变 为1du11, 别 离 变 量 并 积 分dxdxdxu名师归纳总结 ududx 得第 15 页,共 40 页u2xC 故方程通解为x2y2xC24yxy1 dxx 1xyx2y2 dy0解：令x yu ,就xdyydu,原方程变为xduu1uuu22,别离变量并积分dxdxdxu1u3u2dudx,ux得1u2u1lnulnxC ,即22 x y3C12 xy 其中Ce C 12分析原方程可变形为x xdyyxy1xyxy22,故令令x yu ,xyxydx111dudx,u3u2ux1u2u1lnulnxC 1lnuC 11u2u1,ln euC 1e1u2u1x22x2ye C 121212 32 x yC1 2xy 其中Ce C 1xyxy解:x1xyx2y2dyxy1 ydx令xyu,1x,yx1u1u代入上式yu2x2 x 1uu2x1u1uu1u2x1u3u2dudx解得:lnu112lnxcuxu2 u得通解:2x2y2lny2xy12 cxy26 求一曲线,使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等于常数a . 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Px,y B A 解：曲线点 Px, y的切线方程为：YyyXx0速度该曲线与 x 轴交点记为B,就 B 坐标为xy,0,y过点 Px, y平行于 y 轴的直线和x 轴交点记为A ,就 A 坐标为x ,0故三角形面积为1AB APxyx y2 a2y即有微分方程y22 a2dydx当y22a2dy时用别离变量法解得y Cx 2 a2dx当y22a2dy时用别离变量法解得y Cx2 a2dx7 设质量为 m 的物体自由下落,所受空气阻力与速度成正比,并设开头下落时t为 0,求物体速度v 与时间 t 的函数关系 . 解：依据Fmamdv,而Fmgkv k 为比例常数. 便得v 满意微分方程：dtm gkvmdv.dt及初始条件：v| t00求解方程：名师归纳总结 dtmdvlnmgkv c第 16 页,共 40 页mgkv积分得：tmk由v | t00 解得cm klnmg 所以得：vmg1ekt.mk- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 840%染色,现内科医生给某人注射了0.3g 染色, 30 分钟后剩下0.1g,试求注射染色后t分钟时正常胰脏中染色量 P t 随时间 t 变化的规律,此人胰脏是否正常？解: t 以分为单位 ,因此 ,每分钟正常胰脏吸取 40%染色可得dp0 4. pdt5ln p t c通解为 : 2加以初始 p0=0.3, .0 t4 12便可求出 e 及 e然后与实测比较知 ,此人胰脏不正常 . 9.有一容器内有 100L 的盐水,其中含盐 10kg,现以每分钟 3L 的速度注入清水,同时又以每分钟 2L 的速度将冲淡的盐水排出,问一小时后,容器内尚有多少盐？解：设 t 时刻容器内含盐Pt,P0 10,由于 t 时刻容器内液体为：100+ t ,因此 t 时刻t容器内浓度为：QtPt.于是在 t 时刻盐的流失速度为：2Qt,从而有Pt满意的方100程为：dP tP tt2 t100初始化条件为 : 名师归纳总结 Pt010ct2第 17 页,共 40 页dp2tdtp100lnP2ln 100tlncln 100Pct2 100由Pt010 ,求得c100000于是P100000. 100t2当t60 分钟时,pt601000003 9. kg25600- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - § 3 一阶线性方程与贝努利方程1求以下微分方程的通解1yyx2；y0,别离变量得dydx,x解：法一：常系数变易法：解齐次方程yxyx积分得lnylnxC ,即 yCx ,其中CC e1注：在常系数变易法时求解齐次方程通解时写成显式解；lnylnxC 1ln eyln exC 1ye C 1xyCx 其中Ce C 1；x , 即 2设 非 齐 次 方 程