2022年高考数学二轮复习名师知识点总结平面向量.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 平面对量从近几年高考来看,平面对量有以下几个考查特点：1.向量的加法,主要考查运算法就、几何意义；平面对量的数量积、坐标运算、两向量平行与垂直的充要条件是命题的重点内容,主要考查运算才能和敏捷运用学问的才能；试题以挑选、填空形式显现,难度中等偏下 .2. 平面对量与三角函数、解析几何相结合,以解答题形式出现,难度中等1 平面对量中的五个基本概念1零向量模的大小为0,方向是任意的,它与任意非零向量都共线,记为0. 2长度等于1 个单位长度的向量叫单位向量,a 的单位向量为a |a|. 3方向相同或相反的向量叫共线向量平行向量 4假如直线l 的斜率为 k,就 a1,k是直线 l 的一个方向向量5向量的投影： |b|cos a,b叫做向量 2 平面对量的两个重要定理b 在向量 a 方向上的投影1向量共线定理：向量aa 0与 b 共线当且仅当存在唯独一个实数,使 b a. 2平面对量基本定理：假如e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数1,2,使 a1e12e2,其中 e1,e2 是一组基底3 平面对量的两个充要条件 如两个非零向量 a x1,y1,bx2,y2,就：1a b. ab. x1y2x2y10. 2a b. a·b0. x1x2y1y2 0. 4 平面对量的三个性质1如 ax,y,就 |a|a·ax 2y 2. 2如 Ax1,y1,Bx2,y2,就|AB|x2x12 y2y12. 3如 ax1, y1,b x2,y2, 为 a 与 b 的夹角,名师归纳总结 就 cos a·b |a|b|x1x2y1y2. 第 1 页,共 15 页x 2 1y 21x 2 2 y 22考点一平面对量的概念及线性运算例 112022 ·江苏 设 D,E 分别是ABC 的边 AB,BC 上的点, AD1 2AB,BE 2 3BC.如DE1AB 2AC1,2为实数 ,就 12的值为 _- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 ABC 的外接圆的圆心为O,半径为 2,OA AB AC 0 且|OA |AB |,就向量 CA 在CB 上的投影为 A.3 B3 C3 D 3 答案11 22A 解析1如图, DE DB BE 1 2AB 2 3BC 1 2AB 2 3AC AB1 6AB 2 3AC ,就 1 1 6, 2 2 3,121 2. 2由OA AB AC 0,得AB AC AO. 又 O 为 ABC 外接圆的圆心,OBOC,四边形 ABOC 为菱形, AOBC. 由|OA|AB |2,知 AOC 为等边三角形故CA 在CB 上的投影为 |CA |cosACB2cos 63. 1在一般向量的线性运算中,只要把其中的向量当作字母,其运算就类似于代数中合并同类项的运算；有的问题采纳坐标化解决更简洁2运用向量加减法解决几何问题时,要善于发觉或构造三角形或平行四边形,使用三角形法就时要特殊留意 合“ 首尾相接 ” 运用平行四边形法就时两个向量的起点必需重1已知 ABC 和点 M 满意 MA MB MC 0.如存在实数 m 使得 AB AC mAM 成立,就 m 的值为 A2 B3 C4 D5 2如图,平面内有三个向量OA ,OB ,OC ,其中 OA 与OB 的夹角为 120° ,OA 与OC 的夹角为 30°,且|OA|OB| 1,|OC|23,如OC OA OB, R,就 的值为 _名师归纳总结 答案1B26 第 2 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解析 1MA MB MC 0,点 M 是 ABC 的重心AB AC 3AM ,m3. 1,|OB1|2,|OA1| |B1C|4,2方法一如图, OC OB1OAOC 4OA 2OB . 6. 方法二 由OC OA OB ,两边同乘 OC ,得 OC 2OA· OC 0,4. OC 4OA OB ,两边同乘 OA ,得OC ·OA 4OA · OB ,即 341 2.2. 6. 方法三 以 O 为原点, OA 为 x 轴建立直角坐标系,就 A1,0,C2 3cos 30 °,2 3sin 30 ° ,Bcos 120 °,sin 120 °即 A1,0,C3,3,B1 2,2 31 23,由OC OA OB 得,323.2.6. 4考点二 平面对量的数量积例 2 12022 ·江苏 如图,在矩形 ABCD 中, AB2,BC2,点 E 为BC 的中点,点 F 在边 CD 上,如 AB·AF 2,就 AE·BF 的值是_2如 a,b,c 均为单位向量,且a·b 0,ac ·bc0,就 |ab 名师归纳总结 c|的最大值为B1 第 3 页,共 15 页A.21 C. 2 D2 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 答案122B 解析1方法一坐标法以 A 为坐标原点, AB,AD 所在直线为x 轴, y 轴建立平面直角坐标系,就A0,0, B 2,0,E 2,1,Fx,2故AB 2,0,AF x,2,AE 2, 1,BF x2,2,AB·AF 2,0 ·x,22x. 又AB·AF 2,x1. BF 12,2AE ·BF 2,1 ·12,22 222. 方法二 用AB ,BC 表示 AE ,BF 是关键设DF xAB ,就 CF x1AB . AB ·AF AB ·AD DF AB·AD xAB xAB 22x,又AB·AF 2,2x2,x2 .BF 2 BC CF BC 21 AB 2. AE·BF AB BE · BC 21 AB 2 AB 1 2BCBC 2 1 AB 221 AB 2 21 2BC 221 × 21 2× 42. 2方法一 由题意知 a 2b 2 c 2 1,又 a·b0,ac ·bca·ba·c b·cc 20,名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - a·cb·cc 21,|abc| 2 a 2b 2c 22a·b2a·c2b· c32a·cb·c1,|abc|1. 方法二 设 a1,0,b0,1,cx,y,就 x 2y 21,a c1x, y,bc x,1y,就ac ·bc1xxy1y x 2y 2x y1x y0,即 xy1. 又 abc1x,1y,|abc|1 x 2 1y 2x1 2 y 1 232 xy 1. 1涉及数量积和模的运算问题,通常有两种求解思路：直接利用数量积的定义；建立坐标系,通过坐标运算求解2在利用数量积的定义运算时,要善于将相关向量分解为图形中模和夹角已知的向量进行运算求平面对量的模时,常把模的平方转化为向量的平方名师归纳总结 12022·山东 已知向量 AB 与AC 的夹角为 120°,且 |AB | 3,|AC|2.如 AP AB AC ,第 5 页,共 15 页且AP BC ,就实数 的值为 _22022·重庆 在平面上, AB1 AB 2 ,|OB1 | |OB2 |1,AP AB1 AB 2 .如|OP |<1 2,就 |OA|的取值范畴是 A. 0,5B.5 2,722C.5 2,2D.7 2,2答案1 7 122D 解析1由AP BC 知AP·BC 0,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即AP ·BC AB AC ·AC AB 1AB·AC AB2AC 21× 3× 2×1 2× 9 40,解得 7 12. 2AB 1 AB2 ,AB1· AB2 OB1 OA ·OB2 OA OB1·OB 2 OB 1·OA OA·OB2 OA 20,OB1 ·OB 2 OB 1 ·OA OA ·OB2 OA 2. AP AB1 AB 2 . OP OA OB 1 OA OB2 OA ,OP OB1 OB2 OA . |OB1 |OB 2 |1,OP 21 1OA 22OB 1·OB2 OB1·OA OB2·OA 2OA 2 2OA 22OA 2,|OP|< 12,0|OP| 2< 14,0 2OA 2< 14,7 4<OA 22,即 |OA |2,72 . 考点三 平面对量与三角函数的综合应用例 3 已知向量 acos ,sin ,bcos x, sin x,csin x 2sin , cos x2cos ,其中 0<<x< .1如 4,求函数 fxb·c 的最小值及相应x 的值；2如 a 与 b 的夹角为 3,且 ac,求 tan 2 的值名师归纳总结 1应用向量的数量积公式可得fx的三角函数式,然后利用换元法将三角函第 6 页,共 15 页数式转化为二次函数式,由此可解得函数的最小值及对应的x 值- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2由夹角公式及ac 可得关于角 的三角函数式,通过三角恒等变换可得结果解1bcos x,sin x, 4,csin x2sin ,cos x2cos ,fxb·ccos xsin x2cos xsin sin xcos x2sin xcos 2sin xcos x2sin xcos x令 tsin xcos x 4<x< ,就 2sin xcos xt 21,且 1<t< 2. 就 yt 22t1 t2 2 23 2, 1<t< 2,t2时, ymin 3 2,此时 sin x cos x2,2 2即 2sin x42, 4<x<, 2<x 4<5 4,x 47 6, x11 12 . 函数 fx的最小值为2,相应 x 的值为 11 12 . 2a 与 b 的夹角为 3,cos 3 a·b |a| ·|b|cos cos xsin sin xcosx0<<x<,0<x<,x 3. ac,cos sin x2sin sin cos x2cos 0,sinx2sin 20,即 sin 232sin 20. 5 2sin 22 cos 20,tan 235 . 3在平面对量与三角函数的综合问题中,一方面用平面对量的语言表述三角函名师归纳总结 数中的问题, 如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系,利用向量模表第 7 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的学问解决平面对量问题,在解决此类问题的过程中,只要依据题目的详细要求,在向量和三角函数之间建立起联系,就可以依据向量或者三角函数的学问解决问题已知向量 a sin x,3 4,bcos x, 11当 a b 时,求 cos 2xsin 2x 的值；2设函数 fx 2ab ·b,已知在ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,如 a3,b2,sin B3,求 fx4cos2A 6x0, 3的取值范畴解1a b,3 4cos xsin x0,tan x3 4. cos 2xsin 2xcos 2x2sin xcos x1 2tan x 1tan 2x8 5. sin 2xcos2x2fx 2ab ·b2sin 2x43 2,由正弦定理a sin Ab sin B,可得 sin A2 2,A 4. fx4cos 2A 62sin 2x 41 2,x0, 3, 2x4 4,11 12 3 21fx4cos2A 621 2. 1 当向量以几何图形的形式显现时,要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示,就要依据向量加减法的法就进行,特殊是减法法就很简洁出错,向量 AB OB OA其中 O 为任意一个点 ,这个法就就是终点向量减去起点向量2 依据平行四边形法就,对于非零向量a,b,当|ab|ab|时,平行四边形的两条对角线长度相等,此时平行四边形是矩形,条件|ab|ab|等价于向量a,b 相互垂直3 两个向量夹角的范畴是0 , ,在使用平面对量解决问题时要特殊留意两个向量夹角可名师归纳总结 能是 0 或 的情形, 如已知两个向量的夹角为钝角时,不单纯就是其数量积小于零,仍第 8 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 要求不能反向共线4 平面对量的综合运用主要表达在三角函数和平面解析几何中,在三角函数问题中平面对量的学问主要是给出三角函数之间的一些关系,解题的关键仍是三角函数问题；解析几何中向量学问只是给出一些几何量的位置和数量关系,析解析几何中的几何关系 . 在解题中要善于依据向量学问分1 已知两点 A1,0,B1,3,O 为坐标原点,点 C 在其次象限,且AOC120°,设OC 2OA OB R,就 等于 A 1 B2 C 1 D 2 答案 C 解析 依据 AOC120°,可知点 C 在射线 y3xx<0上,设 Ca,3a,就有 a,3a2,0,3 2,3,即得 a 2,3a3,消去 a,得 1. 2 函数 ytan 4x20< x<4的图象如下列图,A 为图象与 x 轴的交点,过点 A 的直线 l 与函数的图象交于 _. 答案 8 B、C 两点,就 OB OC ·OA 解析 A 点坐标为 2,0,即 OA 2,0, 由 ytan 4x2的图象的对称性知 A 是 BC 的中点OB OC 2OA ,OB OC ·OA 2OA·OA 2× |OA | 28. 3 在 ABC 中,向量 m2cos B,1 ,向量 n1sin B,1 sin 2B,且满意 |m n| |mn|. 1求角 B 的大小；2求 sin Asin C 的取值范畴名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解 1由|m n|mn|,可知 m n. m·n0. 然而 m2cos B,1,n1sin B, 1sin 2B,所以有 m·n2cos B sin 2B 1sin 2B2cos B10,得 cos B1 2,从而 B60°. A3 2sin A3 2 cos A3sinA30°2sin A sin Csin A sin120又 0°<A<120°,就 30°<A30°<150°,1 2<sin A30° 1. 所以3 2 <sin Asin C3,3 2,3即 sin A sin C 的取值范畴是 一、挑选题1 以下命题中正确选项 A如 ab 0,就 0 B如 a·b 0,就 a b C如 a b,就 a 在 b 上的投影为 |a| D如 ab,就 a·b a·b2a,b 不共线的情形下,如ab0,就 答案D 解析依据平面对量基本定理,必需在0；选项 B 明显错误；如a b,就 a 在 b 上的投影为 |a|或 |a|,平行时分两向量所成名师归纳总结 的角为 0°和 180°两种； ab. a·b0,a·b20. 第 10 页,共 15 页2 2022 ·四川 设 a、b 都是非零向量,以下四个条件中,使|a| b |b|成立的充分条件是 Aa bBa bCa2bDa b 且|a|b| 答案C 解析利用向量的相等与共线学问解决a |a|表示与 a 同向的单位向量,b |b|表示与 b 同向的单位向量,只要a 与 b 同向,就有a |a|b |b|,观看挑选项易知C 满意题意- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3 2022 ·湖北 已知点 A1,1、B1,2、C2,1、D3,4,就向量 AB 在CD 方向上的投影为 A.3 2 2B.3 15 2C. 322D3152答案A 解析 2,1,CD 5,5,AB 在CD 方向上的投影为AB· CD2× 51× 5|CD |525215 5 23 2 2 . 4 2022 ·福建 在四边形ABCD 中, AC 1,2,BD 4,2,就该四边形的面积为A.5 B25 C 5 D10 答案C 解析AC·BD 0,ACBD. 四边形 ABCD 的面积 S1 2|AC|BD|1 2×5× 2 55. 5 2022 ·湖南 已知 a, b 是单位向量, a·b0,如向量 c 满意 |cab|1,就 |c|的取值范围是 A 2 1,21 B 21,22 C1,21 D 1,22 答案 A 解析a·b0,且 a,b 是单位向量, |a|b|1. 又|cab| 2c 22c·ab 2a·ba 2b 21,2c·abc 21. 名师归纳总结 |a|b|1 且 a·b0,|ab|2,第 11 页,共 15 页c 21 2 2|c|cos 是 c 与 ab 的夹角 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又 1 cos 1,0<c 212 2|c|,c 22 2|c|1 0,21|c|21. 6 如点 M 是 ABC 所在平面内的一点,且满意 面积比为 5AM AB 3AC ,就 ABM 与 ABC 的1 2 3 9A. 5 B. 5 C. 5 D. 25答案 C 解析 设 AB 的中点为 D,由 5AM AB 3AC ,得 3AM 3AC 2AD 2AM ,即 3CM 2MD . 如下列图,故 C,M,D 三点共线,且MD 3 5CD ,也就是 ABM 与 ABC 对于边 AB 的两高之比为 35,就 ABM 与 ABC 的面积比为3 5. 二、填空题7 2022 ·安徽 如非零向量a,b 满意 |a|3|b| |a 2b|,就 a 与 b 夹角的余弦值为_答案1 3解析由已知条件得a2a2b2,即 a· b |b| 2,cosa,b|a|b| 1 3. 8 2022 ·北京 向量 a,b,c 在正方形网格中的位置如下列图,如cab, R,就 _. a1,1,b6,2,c1,答案4 解析以向量 a 和 b 的交点为原点建直角坐标系,就3,依据 cab. 1, 31,16,2有 6 1,2 3,解名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 之得 2 且 1 2,故 4. 9 给定两个长度为1 的平面对量 OA 和OB ,它们的夹角为90°.如下列图,点 C 在以 O 为圆心的圆弧AB 上运动如OC xOA yOB ,其中 x、yR,就 xy 的最大值是 _答案 2 解析 设AOC,就 COB90°,xcos OC cos ·OA sin ·OB ,即 . ysin xycos sin 2sin 42. 10在ABC 中, AB2,AC3,AB·BC 1,就 BC_. 答案 3 解析AB·BC 1,且 AB2,1|AB |BC |cosB,|AB |BC |cos B 1. 在 ABC 中, AC 2 AB 2 BC 2 2AB× BC·cos B,即 94BC 22× 1BC3. 三、解答题11 2022 ·江苏 已知向量acos ,sin , bcos ,sin ,0<<< .1如|ab|2,求证： ab；2设 c0,1,如 abc,求 , 的值1证明由 |ab|2,即cos cos 2sin sin 22,整理得 cos cos sin sin 0,即 a·b0,因此 ab. 2解由已知条件cos cos 0,sin sin 1又 0<<<,名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - cos cos cos ,就 ,sin sin 1,sin 1 2, 6或 5 6,3cos x,当 6时, 5 6 舍去 当 5 6时, 6. 12 2022 ·湖北 已知向量acos x sin x, sin x,bcos x sin x,2设函数 fxa·bxR的图象关于直线 1求函数 fx的最小正周期；x 对称,其中 , 为常数, 且 1 2,1 . 2如 yfx的图象经过点 4,0 ,求函数 fx在区间0,3 5上的取值范畴解1由于 fx sin2 xcos 2 x23sin x·cos x cos 2 x3sin 2 x2sin 2 x 6. 由直线 x是 yfx图象的一条对称轴,名师归纳总结 可得 sin 2 6±1,第 14 页,共 15 页所以 2 6k 2kZ,即 k 21 3kZ 又 2,1 ,kZ,所以 k1,故 5 6. 故 T2 26 5 .所以 fx的最小正周期是6 5 . 2由 yfx的图象过点 4,0 ,得 f 40,即 2sin 5 6× 2 6 2sin 42. 故 fx2sin 5 3x 62. 由 0x3 5,有 65 3x6 5 6,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以1 2sin 5 3x 61,得 122sin 5 3x 62 22,2m 4, 1,n故函数 fx在 0,3 5上的取值范畴为12,213已知ABC 的三个内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,向量2A cos 2,cos 2A ,且 m· n7 2. 1求角 A 的大小；名师归纳总结 2如 a3,试判定 bc 取得最大值时ABC 的外形第 15 页,共 15 页解2A 1由 m4, 1,n cos 2,cos 2A ,得 m· n4cos 2A2cos 2A4·1cos A2cos2A1 2 2cos 2A2cos A37 2,解得 cos A1 2,0<A<,A 3. 2在 ABC 中,由余弦定理得a2b 2c22bccos A,且 a3,32b2c22bc·1 2b 2c2bc,b 2c 22bc,3 2bcbc,即 bc3. 当且仅当 bc3时, bc 取得最大值,此时 ab c3, ABC 为等边三角形- - - - - - -