2022年高考数学一轮汇总训练《数学归纳法》理新人教A版.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第七节 数学归纳法考 什 么 备考方向要明白 怎 么 考1. 与数列等学问相结合,以解答题的形式考查等式、不等式1. 明白数学归纳法的原理2. 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 . 1数学归纳法一般地,证明一个与正整数的证明,如 20XX年安徽 T21 等2. 以解答题的形式考查“ 观看归纳猜想证明” 的问题,如 20XX 年湖北 T22 等. 归纳· 学问整合 n 有关的命题,可按以下步骤进行：1 归纳奠基 证明当 n 取第一个值 n0 n0N * 时命题成立；2 归纳递推 假设 nk kn0,kN * 时命题成立,证明当nk1 时命题也成立只要完成这两个步骤,就可以肯定命题对从 n0 开头的全部正整数 n 都成立 探究 1. 数学归纳法证题的基本原理是什么？提示：数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法,它的表述严格而且 规范,两个步骤缺一不行第一步是递推的基础,其次步是递推的依据,其次步中,归纳假设起着“ 已知条件” 的作用,在其次步的证明中肯定要运用它,否就就不是数学归纳法第二步的关键是“ 一凑假设,二凑结论” 2用数学归纳法证明问题应当留意什么？提示： 1 第一步验证 nn0时命题成立, 这里的 n0 并不肯定是 1,它是使命题成立的最 小正整数 2 其次步证明的关键是合理运用归纳假设,特殊要弄清由 k 到 k1 时命题的变化情形 3 由假设 nk 时命题成立,证明 即要恰当地“ 凑” 出目标2数学归纳法的框图表示nk1 命题也成立时,要充分利用归纳假设,名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 自测· 牛刀小试 n n1在应用数学归纳法证明凸 n边形的对角线为 2 条时,第一步检验 n等于 A1 B 2 C3 D 0 解析：选 C n3,第一步应检验 n3. 2用数学归纳法证明 123 n 2n 4n2,就当 nk1 时左端应在 nk 的基础 2上加上 Ak 21 2B k 1k4k2C.2D k 21 k 22 k 23 k1 2解析：选 D 当 n k 时,左侧 12 3 k 2,当 nk1 时,左侧 12 3 k 2 k 21 k1 2,当 nk 1 时,左端应在 nk 的基础上加上 k 21 k 22 k 23 k1 2. 3利用数学归纳法证明“ n 1 n2 nn 2 n× 1× 3× × 2 n1 ,nN *” 时,从“nk” 变到“nk1” 时,左边应增乘的因式是 A2k 1 B 22k1 C.2k1 k1D.2k3 k1解析：选 B 当 nk kN * 时,左式为 k1 k2 kk ；当 nk1 时,左式为 k11 · k12 · · k1 k1 · k1 k · k1k1 ,名师归纳总结 就左边应增乘的式子是kk1k 22 k1 第 2 页,共 20 页4 教材习题改编 用数学归纳法证明11 21 3 1 2 n1<n nN,且 n>1 ,第一步要证的不等式是_- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解析：当 n2 时,左边 11 22 2111 21 3,右边 2,故填 11 21 3<2. f k1 f k_. 答案： 11 21 3<2 5记凸 k 边形的内角和为f k ,就凸 k1 边形的内角和解析：由凸k 边形变为凸 k1 边形时,增加了一个三角形答案： 用数学归纳法证明等式 例 1 n N *,求证： 11 21 31 4 1 2n 11 2n1 n11 n2 1 2n. 1 2k, 自主解答 1 当 n1 时,左边 11 21 2,右边1 111 2. 左边右边2 假设 n k 时等式成立,即11 21 31 4 1 2k11 2k1 k11 k2 就当 nk 1 时,11 21 31 4 1 2k 11 2k1 2k11 2k21 k1k2 1 2k1 2k112k21 k21 k3 1 2k11 2k2. 即当 nk 1 时,等式也成立综合 1 ,2 可知,对一切 nN *,等式成立用数学归纳法证明等式应留意的问题1 用数学归纳法证明等式问题是常见题型,其关键点在于弄清等式两边的构成规律,名师归纳总结 等式两边各有多少项,以及初始值n0 的值第 3 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2 由 nk 到 n k1 时,除考虑等式两边变化的项外仍要充分利用 nk 时的式子,即充分利用假设,正确写出归纳证明的步骤,从而使问题得以证明1求证： 1 22 2 n2nn6n. 证明： 1 当 n1 时,左边 1,右边61,左边右边,等式成立；2 假设 n k kN *,且 k1 时,等式成立,即 1 22 2 k 2k k6 k,就当 nk 1 时, 1 22 2 k 2 k1 2k k6 k k 1 2kkk1,6所以当 nk1 时,等式仍旧成立由1 、 2 可知,对于 . nN *等式恒成立用数学归纳法证明不等式 例 2 2 2已知数列 an ,an0,a10,a n1an11a n . 求证：当 nN *时, an<an1. 自主解答 1 当 n1 时,由于2 a2 是方程 a 2 a210 的正根,所以a1<a2. 2 假设当 nk k N *,k1 时,0 ak<ak1,2 2就由 a k1a k2 2 a k2ak21 a k 1ak11 ak2ak1 ak2ak11>0 ,得 ak1<ak2,即当 nk 1 时, an<an1也成立依据 1 和2 ,可知 an<an1 对任何 nN *都成立名师归纳总结 把题设条件中的“an0” 改为“ 当n2 时, an<1” ,其余条件不变,求证：当n第 4 页,共 20 页N *时, an1<an. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 证明： 1 当 n1 时, a2 是 a学习必备欢迎下载2 2a210 的负根,a1>a2. 2 假设当 nk k N *,k1 时, ak1<ak,2 2a k1 a k ak2ak1 ak2ak11 ,ak1<ak0,2a k1 a k>0,又 ak2ak11<1 1 1 1,ak2 ak1<0, ak2<ak1,即当 nk 1 时,命题成立由12 可知,当 nN *时, an1<an. 应用数学归纳法证明不等式应留意的问题1 当遇到与正整数 n 有关的不等式证明时,应用其他方法不简单证,就可考虑应用数学归纳法2 用数学归纳法证明不等式的关键是由 上归纳假设后,可采纳分析法、综合法、求差nk 成立,推证 nk1 时也成立, 证明时用 求商 比较法、放缩法等证明2等比数列 an 的前 n 项和为 Sn,已知对任意的 nN *,点n,Sn 均在函数 yb xr b>0且 b 1, b,r 均为常数 的图象上1 求 r 的值；2 当b 2 时,记bn 2log2an 1 n N * ,证明：对任意的n N * ,不等式b11·b21· ·bn1 bn >n1成立b1b2解： 1 由题意, Snbnr ,当 n2 时, Sn1b n1r . 所以 anSnSn1b n 1 b1 由于 b>0 且 b 1,所以 n2 时, an 是以 b为公比的等比数列又 a1br , a2 b b1 ,故a2 a1b,即 b br bb,解得 r 1. 2 证明：由 1 知 an2 n1,因此 bn2n nN * ,名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所证不等式为21 2·41 4· ·学习必备欢迎下载2n1 2n>n1. 当 n1 时,左式3 2,右式2,左式 >右式,所以结论成立假设 nk k1, kN * 时结论成立,即21·41· ·42k1 > 2kk1,就当 nk 1 时,2k3,221·41· ·42k1 2k·2k3>k1·2k32kk2k1要证当 nk1 时结论成立,只需证2k32 k1k2,kkk成立,即证2k3kk2由均值不等式2k32k2故2k 3k2成立,2 k1所以,当 nk1 时,结论成立由可知, nN *时,不等式 b11 b1·b21 b2· ·bn 1 bn >n1成立 . “ 归纳猜想证明” 问题 例 3 已知 f n 11 321 331 3 41 n 3,g n 3 212,nN *. f n 与 g n 的大小关系；2n1 当 n1,2,3时,试比较2 猜想 f n 与 g n 的大小关系,并给出证明 自主解答 1 当 n1 时, f 1 1,g1 1,所以 f 1 g1 ；9 11 当 n2 时, f 2 8,g2 8,所以 f 2< g2 ；251 312 当 n3 时, f 3 216,g3 216,所以 f 3< g3 2 由1 ,猜想 f n g n ,下面用数学归纳法给出证明名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当 n1,2,3学习必备欢迎下载时,不等式明显成立,1 1 1 1 3 1假设当 nkk3 时不等式成立,即 12 33 34 3 k 3< 22k 2. 那么,当 nk1 时, f k1 f k k1 3<3 2 1 2k 2k13. 1 1 1 k3 1 3k1由于 k22k 2k3 k32k 2k3k 2<0,3 1所以 f k1< 2k2g k1 由可知,对一切 nN *,都 有 f n g n 成立归纳猜想证明类问题的解题步骤1 利用数学归纳法可以探究与正整数n 有关的未知问题、存在性问题,其基本模式是“ 归纳猜想证明” ,即先由合情推理发觉结论,然后经规律推理即演绎推理论证结论的正确性2 “ 归纳猜想证明” 的基本步骤是“ 试验归纳猜想证明” 高中阶段与数 列结合的问题是最常见的问题3设数列 an 满意 an 1a2 nnan1,n1,2,3 , .1 当 a12 时,求 a2,a3,a4,并由此猜想出 an的一个通项公式；2 当 a13 时,证明对全部的 n1,有 ann2. 2解： 1 由 a12,得 a2a 1a113,2由 a23,得 a3a 22a21 4,2由 a34,得 a4a 33a31 5,由此猜想 an的一个通项公式：ann1 n1 2 证明：用数学归纳法证明：当 n1 时, a13 12,不等式成立假设当 nk 时不等式成立,即 akk2,那么, ak 1akakk 1 k2 k2k 1 k3,也就是说,当 nk1 时, ak 1 k 1 2. 依据和,对于全部 n1,都有 ann2. 1 种方法查找递推关系的方法1 在第一步验证时,不妨多运算几项,并争取正确写出来,这样对发觉递推关系是有名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载帮忙的2 探求数列通项公式要善于观看式子或命题的变化规律,观看n 处在哪个位置3 在书写 f k1 时,肯定要把包含f k 的式子写出来,特殊是f k 中的最终一项,除此之外,多了哪些项,少了哪些项都要分析清晰4 个留意点应用数学归纳法应留意的问题1 数学归纳法是证明与正整数有关的命题的常用方法,特殊是数列中等式、不等式的证明,在高考试题中常常显现2 数学归纳法证题的关键是其次步,证题时应留意：必须利用归纳假设作基础；证明中可利用综合法、分析法、反证法等方法；解题时要搞清从 nk 到 nk1 增加了哪些项或削减了哪些项3 数学归纳法证题时, 第一个值 n0不肯定为 1,如证明多边形内角和定理 n2 时,初始值 n03. 4 解题中要留意步骤的完整性和规范性,过程中要表达数学归纳法证题的形式 . 易误警示应用数学归纳法解决证明问题的易误点 典例 2022· 九江模拟 设数列 an 的前 n 项和为 Sn,并且满意2 2Sna nn,an>0 nN * 1 猜想 an 的通项公式,并用数学归纳法加以证明2 设 x>0, y>0,且 xy1,证明：anx1any1n. 22a1a 1 1, 解 1 分别令 n1,2,3 ,得a1a22a 22,a1a2a3a2 33.an>0, a11,a22, a3 3. 猜想： ann. 2由 2Sna n n,2可知,当 n2 时, 2Sn1a n1 n1 2 2,得 2ana na n11,2 2即 a n2ana n1 1. 当 n2 时, a 22a21 21,2a2>0, a22. 假设当 nk k2 时, akk,那么当 nk 1 时,名师归纳总结 2 a k12ak1a2 k12ak1k21 第 8 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载. ak1 k1 ak1 k1 0,ak1>0,k2, ak1 k 1>0 ,ak1 k1. 即当 nk 1 时也成立ann n2 明显 n1 时,也成立,故对于一切 nN *,均有 ann. 2 要证 nx1ny1n,只要证 nx 12 nxnyny12 n2 即 n xy 22 n 2xy n xy12 n2 ,将 xy1 代入,得 2 n 2xyn1n2,即只要证 4 n 2xyn1 n2 2,即 4xy1.x>0, y>0,且 x y1,xyxy 212,1即 xy4,故 4xy1 成立,所以原不等式成立 易误辨析 1在解答此题时有以下易误点1 在代入 n1,2,3 时,不能精确求得 a1,a2,a3,从而猜想不出 an. 2 证明不等式时,不会应用 xy 1 这一条件代换,导致无法证明不等 式成立2解决数学归纳法中“ 归纳猜想证明” 及不等式证明问题时,仍有以下几点简单造成失分1 归纳整理不到位得不出正确结果,从而给猜想造成困难2 证明 n k 到 n k1 这一步时, 忽视了利用假设条件去证明,造成不是纯正的数学归纳法3 不等式证明的过程中,不能正确合理地运用分析法、综合法来求证另外需要娴熟把握数学归纳法中几种常见的推证技巧,问题 变式训练 只有这样, 才能快速正确地解决如不等式1 n11 n 2 3n1> a 24对一切正整数n 都成立,求正整数a 的最大值,并证明结论名师归纳总结 解：当 n1 时,1 111 1231> a 24,第 9 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即26 24> a 24,所以 a<26. 学习必备欢迎下载而 a 是正整数,所以取a25,下面用数学归纳法证明1 n11 n2 3n1>25 24. 1 当 n1 时,已证得不等式成立2 假设当 nk k N * 时,不等式成立,1 1 1 25即 k1k2 3k1> 24. 就当 nk 1 时,有k11k12 111 k11 k 2 1 3k11k3k21 3k31 3k41 25k1> 241 3k21 3k42 k. 2因为1 3k21 3k42kkkkkk2kk 218kkkk2k>0,k所以当 nk1 时不等式也成立由12知,对一切正整数n,都有1 n11 n2 1 253n1> 24,所以 a 的最大值等于25. 一、挑选题 本大题共 6 小题,每道题5 分,共 30 分 1假如命题 P n对 n k 成立, 就它对 nk2 也成立, 如 P n 对 n2 也成立,就下列结论正确选项 AP n 对全部正整数 n 都成立BP n 对全部正偶数 n 都成立CP n 对全部正奇数 n 都成立DP n 对全部自然数 n 都成立解析： 选 B 由题意 n k 时成立,就 nk2 时也成立, 又 n2 时成立,就 P n对所有正偶数都成立名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2用数学归纳法证明“1 aa学习必备欢迎下载n1 时,左端2 an2 n11a 1 a a 1 ” ,在验证运算所得的项为 A1 B 1aC1a a D 1aa 2a 2 3解析：选 C 等式的左端为 1aa 2 a n1,当 n1 时,左端 1aa 2. 3利用数学归纳法证明不等式 11 21 3 2 n1<f n n2, nN 1 * 的过程,由 nk 到 nk1 时,左边增加了 A1 项 B k 项C2 k1项 D 2 k 项1 1 1 1 1 1 1 1 1解析：选 D 123 2 k11 123 2 k1 2 k2 k 1 2 k 1 1,共增加了 2 k项4用数学归纳法证明“ 当 n 为正奇数时, x ny n 能被 xy 整除” 的其次步是 A假设 n 2k1 时正确,再推 B假设 n 2k1 时正确,再推n2k3 时正确 其中 kN * n2k1 时正确 其中 kN * C假设 n k 时正确,再推 nk1 时正确 其中 kN * D假设 n k k1 时正确,再推n k2 时正确 其中 kN * 解析：选 B n 为正奇数, n2k1 kN * 5在数列 an 中, a11 3,且 Snn2 n1 an,通过求 a2, a3,a4,猜想 an的表达式为 11 351 5× 7 ,a41 631 7× 9. A.n1nB.2nnC.n1nD.1nn解析：选 C 由 a11 3,Sn n2 n1 an求得 a21 151 3× 5 ,a3猜想 ann1n. 6设函数 f n2 n9 · 3 大值为 n19,当 nN *时,f n 能被 m mN * 整除,猜想 m的最名师归纳总结 A9 B 18 第 11 页,共 20 页C27 D 36 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载n1 4 n6 · 3n1,解析：选 D f n1 f n 2 n11 · 3n22 n9 · 3当 n1 时, f 2 f 1 4× 7× 9 为最小值,据此可猜想 D正确二、填空题 本大题共 3 小题,每道题 5 分,共 15 分 7用数学归纳法证明“ 2 始值 n0 应取 _n>n 21 对于 nn0的正整数 n 都成立” 时, 第一步证明中的起解析：当 n1 时, 2 12,1 2 12；当 n2 时, 2 24,2 2 15；当 n3 时, 2 38,3 2 110；当 n4 时, 2 416,4 2 117；当 n5 时,2 532,5 2126,满意 2 n>n 21. 故 n0应取 5. 答案： 5 8对大于或等于 2 的自然数 m的 n 次方幂有如下分解方式：2 2 13,3 2 135,4 213 57；2 335,3 37 911,4 313151719. 依据上述分解规律,如 n 2135 19, m 3 mN * 的分解中最小的数是 21,就 mn 的值为 _解析：依题意得n 22100, n10. 易知 m 321mm m2× 2, 整理得 m5 m 4 0, 又 mN *, 所以 m5, 所以 mn15. 答案： 15 名师归纳总结 9如数列 an 的通项公式an12,记 cn21 a11 a2 1 an ,试通过计第 12 页,共 20 页n算 c1,c2,c3 的值,估计cn_. 解析： c121 a12×11 43 2,c2 21 a11 a2 2×11 4×11 94 3,c3 21 a11 a21 a3 2×11 4×11 9×11 165 4,故由归纳推理得cnn2 n1. 答案：n2 n1三、解答题 本大题共 3 小题,每道题12 分,共 36 分 10用数学归纳法证明：123252 2 n121 3n4 n 21 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载证明： 1 当 n1 时,左边 1 2 1,右边 1 3× 1× 4 1 1,等式成立12 假设当 nk k N * 时等式成立,即 1 23 25 2 2 k1 23k4 k 2 1 1 1 2就当 nk1 时,1 23 25 2 2 k1 22 k1 23k4 k 21 2 k1 23k4 k1 4k 24k 1 1 13k4 k1 21 3k· 42 k1 4k 24k1 1 13k4 k1 21 312 k 212k38k 24k 1 13k4 k1 21 34 k1 21 1 3 k14 k1 21 即当 nk 1 时等式也成立由1 , 2 可知,对一切nN *,等式都成立nN * ,有 1<an<1 1a. 11设 0<a<1,定义 a11 a,an11 ana,求证：对任意1证明： 1 当 n1 时, a11a>1,又 a11a< 1a,明显命题成立2 假设 n k kN * 时,命题成立,即 1<ak< 1a. 11即当 nk 1 时,由递推公式,知 ak 1aka,1 1由假设可得 1 a a< aka<1a< 1a. 1于是当 nk1 时,命题也成立,即 1<ak1< 1a. 1由12 可知,对任意 nN *,有 1<an< 1a. 12已知数列 an,其中 a26 且an1an1 an1an1n. 1 求 a1,a3,a4；2 求数列 an 的通项公式；名师归纳总结 3 设数列 bn 为等差数列, 其中 bnan nc且 c 为不等于零的常数,如 Snb1b2 第 13 页,共 20 页bn,求1 S11 S2 1 Sn. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解： 1 a26,a2 a1 1 a2 a1 11,a3a21 a3a212,a4 a3 1 a4 a3 13,解得 a11,a315,a428. 2 由上面的 a1,a2,a3,a4的值可以猜想 ann2 n1 下面用数学归纳法加以证明：当 n1 时, a11× 2 1 1,结论成立假设当 nk 时,结论正确,即 akk2 k1 ,就当 nk 1 时,有ak1ak1 ak1ak1 k, k1 ak1 k1 ak k1 k1 ·k2 k1 k1 k12 k2k1 k12 k1 k 1 k1 0 ak1 k12 k1 1 即当 nk 1 时,结论也成立由可知, an的通项公式 an n2 n1 3 bn 是等差数列,2b2b1b3,即 2c2a2 1c a3 3c. a11,a2 6,a315 且 c 0,由上式解得c1 2,2n. bnan1nnn1n22故 Snb1b2 bnn n1 1 S11 S2 1 Sn1 1× 21 2× 3 n1n 11 21 21 3 1 n1n111 n1n n1. 1已知ABC的三边长都是有理数1 求证： cos A 是有理数；名师归纳总结 2 求证：对任意正整数n, cos nA是有理数第 14 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载证明： 1 由 AB、BC、AC为有理数及余弦定理知cos AAB 2 AC2AB·2BCAC是有理数2 用数学归纳法证明 cos nA 和 sin A· sin nA 都是有理数当 n1 时,由 1 知 cos A是有理数,从而有 sin A· sin A1cos 2A 也是有理数假设当 nkkN * 时, cos kA 和 sin A· sin kA 都是有理数当 nk1 时,由 cos k 1 A cos A· cos kAsin A· sin kA,sin A· sin k1 A sin A· sin A· cos kAcos A·