2022年最新高考数学总复习教案第十一章计数原理随机变量及分布列第6课时离散型随机变量的均值与方差2 .docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 第十一章计数原理、随机变量及分布列第 6 课时离散型随机变量的均值与方差对应同学用书理 177178 页 考点新知考情分析离散型随机变量的分布列、期望、方差和概率的运算问题结合在一起进行考查,这是当明白取有限值的离散型随机变量的均值、前高考命题的热点,由于概率问题不仅具有方差的意义很强的综合性,而且与实际生产、生活问题会求离散型随机变量的均值、方差和标准亲密联系,能很好地考查分析、解决问题的差,并能解决有关实际问题.才能1.选修 23P67 习题 4 改编 某单位有一台电话交换机,其中有8 个分机设每个分机在1h 内平均占线10min,并且各个分机是否占线是相互独立的,就任一时刻占线的分机数目X的数学期望为 _答案：43解析：每个分机占线的概率为 16,X B 8,6,即 X 听从二项分布, 所以期望 EX 8× 14 3. 2.选修 23P66 例 2 改编 有一批数量很大的商品的次品率为 1%,从中任意地连续取出 200件商品,设其中次品数为 X,就 EX _,VX _. 答案： 21.98解析： X B200, 0.01,所以期望EX 200× 0.012,VX 200× 0.01× 10.01名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1.98. 3.选修 23P71 习题 4 改编 某人进行射击,每次中靶的概率均为0.8,现规定：如中靶就停止射击, 如没中靶, 就连续射击, 假如只有 3 发子弹, 就射击数 X 的均值为 _填数字 答案： 1.24解析： 射击次数X 的分布列为1 2 3X P 0.8 0.16 0.04EX 0.8× 10.16× 20.04× 31.24. 4.选修 23P71 习题 1 改编 随机变量 X 的分布列如下：X 1 0 1 P a b c1 3.率均为 0.5,热线 C 占线的概率为 0.4,各热线是否占线相互之间没有影响,假设该时刻有 条热线占线,就随机变量 的期望为 _答案： 1.4解析： 随机变量 可能取的值为 0、1、2、3.依题意,得 P00.15, P10.4,P20.35, P30.1 的分布列为名师归纳总结 0 1 2 3第 2 页,共 10 页P 0.15 0.4 0.35 0.1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 它的期望为 E 0× 0.151× 0.42× 0.35 3× 0.11.4. 1.均值1 如离散型随机变量 的分布列为：x 2x nx 1P p1p2pn就称 Ex1p1x 2p2 xnpn 为 的均值 或 数学期望 ,简称 期望2 离散型随机变量的期望反映了离散型随机变量取值的 平均 水平3 数学期望的性质Ecc,EabaE ba、b、 c 为常数 2.方差1 如离散型随机变量 全部可能的取值是x 1,x2, , xn且这些值的概率分别是p1,p2, , pn,就称：V x 1E2p1x 2E2p2 x nE2pn 为 的 方差2 V ,叫标准差3 随机变量 的方差反映了 取值的 稳固性4 方差的性质a、b 为常数,就V a b a 2V . 3.如 Bn,p,就 Enp,V np1p4.期望与方差的关系 均值 期望 反映了随机变量取值的平均水平,而方差就表现了随机变量所取的值对于它的均值 期望 的集中与离散的程度,因此二者的关系是非常亲密的,且有关系式VE2E 2. 备课札记 题型 1 离散型随机变量的期望名师归纳总结 例 1 已知离散型随机变量1 的概率分布为4 5 6 7第 3 页,共 10 页11 2 3 P 11111117777777离散型随机变量2 的概率分布为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 23.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3P 11111117777777求这两个随机变量数学期望、方差与标准差解： E11×1 72×1 7 7×1 74；2× 1 74, 1V（ 1） 2.V 1142× 1 7 242× 1 7 74E23.7×1 73.8× 1 7 4.3× 1 74；V 20.04, 2V （20.2. 变式训练甲、乙两射手在同一条件下进行射击,分布列如下：射手甲击中环数 8,9,10 的概率分别为 0.2, 0.6,0.2；射手乙击中环数 8,9,10 的概率分别为 0.4, 0.2,0.4.用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平解： E 1 8× 0.29× 0.610× 0.29,V 1892× 0.2992× 0.6 1092× 0.20.4；同理有 E29, V 20.8.由上可知, E1E2,V1<V 2所以,在射击之前,可以猜测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近,均在9 环左右,但甲所得环数较集中,以 9 环居多, 而乙得环数较分散,得 8、10 环的次数多些题型 2 离散型随机变量的方差与标准差例 2 某工艺厂开发一种新工艺品,头两天试制中,该厂要求每位师傅每天制作 10 件,该厂质检部每天从每位师傅制作的 10 件产品中随机抽取 4 件进行检查,如发觉有次品,就当天该师傅的产品不能通过已知李师傅第一天、其次天制作的工艺品中分别有 2 件、 1 件次品1 求两天中李师傅的产品全部通过检查的概率；2 如厂内对师傅们制作的工艺品采纳记分制,两天全不通过检查得 0 分,通过 1 天、2 天分别得 1 分、 2 分,求李师傅在这两天内得分的数学期望名师归纳总结 解： 1 设李师傅产品第一天通过检查为大事A；其次天产品通过检查为大事B.第 4 页,共 10 页4 4就有 PA C C 101 2,PB C 103 5,由大事 A 、B 独立, PAB PAPB 3 10.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 答：李师傅这两天产品全部通过检查的概率为 10. 32 记得分为 ,就 的可能值为0,1,2.8 15；P 25× 1 31 5.P03× 2 54 15；P 15× 2 33× 2 5 E0×4 151×8 152×1 514 15.答：李师傅在这两天内得分的数学期望为14 15. 备选变式（老师专享）一盒中装有零件12 个,其中有9 个正品, 3 个次品,从中任取一个,假如每次取出次品就不再放回去, 再取一个零件, 直到取得正品为止望求在取得正品之前已取出次品数的期解： 设取得正品之前已取出的次品数为 ,明显 全部可能取的值为0,1, 2,39 119 44.当 0 时,即第一次取得正品,试验停止,就P09 123 4.当 1 时,即第一次取出次品,其次次取得正品,试验停止, 就 P 13 12×当 2 时,即第一、二次取出次品,第三次取得正品,试验停止,就 P23 12×2×1110 9 220.当 3 时,即第一、二、三次取出次品,第四次取得正品,试验停止,就 P33 12×2 11×10× 9 91 220.1 2203 10. 所以, E0×3 4 1×9 44 2×9 2203×题型 3 期望、方差的性质及应用 例 3 某电器商经过多年的体会发觉本店每个月售出的电冰箱的台数 是一个随机变量,它的分布列为 Pi1 12i 1,2, ,12；设每售出一台电冰箱,电器商获利 300 元如销售不出,就每台每月需花保管费 收益最大？100 元.问电器商每月初购进多少台电冰箱才能使月平均解： 设 x 为电器商每月初购进的冰箱的台数,依题意,只需考虑 1x12 的情形设电器商每月的收益为 y 元,就 y 是随机变量 的函数, 且 y300 .í. . 300 x-x100 3 x ,x-x x p x 于是电器商每月获益的平均数,即为数学期望Ey300xP xPx1 P12 300100x 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1P1 2× 300 100x 2P2 x 1× 300 100Px 1 300x12 x 1 ·1 12 1 12300×x（x1）2100×（x1）x2253 2x 238x由于 xN *,所以当 x9 或 x10 时,数学期望最大故电器商每月初购进 9 或 10 台电冰箱时,月收益最大,最大收益为 1500 元备选变式（老师专享）列为甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量 和 ,且 、 分布 1 2 3 P a 0.1 0.6 1 2 3 P 0.3 b 0.3 1 求 a、 b 的值；2 运算 、 的期望和方差,并以此分析甲、乙的技术状况解： 1 由离散型随机变量的分布列性质可知 a0.10.61,即 a0.3,同理 0.3b0.31,b0.4.2 E1× 0.32× 0.13× 0.62.3,E1× 0.32× 0.43× 0.32.V 0.81,V 0.6.由运算结果E>E,说明在一次射击中甲的平均得分比乙高,但 V>V ,说明甲得分的稳固性不如乙,因此甲、乙两人技术都不够全面1.2022·广东 已知离散型随机变量X 的分布列为名师归纳总结 X 1 2 3第 6 页,共 10 页P 33151010- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就 X 的数学期望 EX _答案：32解析： EX 1×3 52× 3 103×1015 103 2. 2.2022·湖北理 如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成 125 个同样大小的小正方体经过搅拌后,从中随机取出一个小正方体,记它的涂油漆面数为 X,就 X 的均值为EX _答案：65解析： 用分布列解决这个问题,依据题意易知X 0, 1,2,3.列表如下：X 0 1 2 3 等可2754368125125125125所以 EX 0×1251× 54 1252×36 1253×125150 1256 5. 3.2022·上海理 设非零常数d 是等差数列x 1,x2,x3, , x19的公差,随机变量能地取值 x 1,x 2,x 3, , x19,就方差 V _答案：30|d|解析： E x 10,名师归纳总结 V 2 19（9 d 28 2 120212 9 2）30|d|. 第 7 页,共 10 页4.2022·浙江 设袋子中装有a 个红球, b 个黄球, c 个蓝球,且规定：取出一个红球得1分,取出一个黄球得2 分,取出一个蓝球得3 分1 当 a 3,b2,c1 时,从该袋子中任取有放回,且每球取到的机会均等2 个球,记随机变量 为取出此两球所得分数之和,求 分布列；2 从该袋子中任取且每球取到的机会均等1 个球,记随机变量 为取出此球所得分数如 E5 3,V5 9,求 abc. 解： 1 由已知得到：当两次摸到的球分别是红红时 2,此时 P 23× 3 6× 61 4；当两次摸到的球分别是黄黄、红蓝、蓝红时 4 时,P 42× 2 6× 63× 1 6× 61× 3 6× 65 18；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当两次摸到的球分别是红黄,黄红时3 时, P33× 2 6× 62× 3 6× 61 3；当两次摸到的球分别是黄蓝,蓝黄时5 时, P51× 2 6× 66× 61 9；当两次摸到的球分别是蓝蓝时6 时, P61× 1 6× 61 36.所以 的分布列为2 3 4 5 6P 1151143189362 由已知得到： 有三种取值即1,2,3,所以 的分布列为1 2 3P abca bcabcabc所以,E5aa2caa2bcca3c2ca2 bc352a3 cc3bbbD515a25 393bb3b所以 b2c,a3c,所以 abc 321. 1.袋中有 5 只红球, 3 只黑球,现从袋中随机取出4 只球,设取到一只红球得2 分,取到一只黑球得1 分,就得分 的数学期望E _答案：132解析： 可取 5、6、7、 8,P55 703 黑 1 红; P630 702 黑 2 红 ；P730 703 红 1 黑；P85 704 红 E 455 706.5. 2.为防止山体滑坡,某地打算建设既美化又防护的绿化带,种植松树、柳树等植物某人一次种植了 n 株柳树,各株柳树成活与否是相互独立的,成活率为 p,设 为成活柳树的株数,数学期望 E3,标准差 为 2 . 61 求 n、p 的值并写出 的分布列；2 如有 3 株或 3 株以上的柳树未成活,就需要补种,求需要补种柳树的概率名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解： 1 由 Enp 3, 的分布列为2 np1p3 2,得 1p1 2,从而 n 6,p1 2,0 1 2 3 4 5 6 P 1615201561646464646464642 记 “ 需要补种柳树 ” 为大事 A, 就 PAP3,得 PA 161520 6421 32. 的概率分布列,并求出 的期望3.将一枚硬币抛掷6 次,求正面次数与反面次数之差E .解： 设正面的次数是,就 听从二项分布B6 ,0.5,概率分布为PkCk 60.56,k0,1, ,6,且 E3.而反面次数为于是 的概率分布为6 , 626.P2k6Pk Ck 60.56,k0,1, ,6.故 EE262E62× 3 60. 4.2022 新课标 理一批产品需要进行质量检验,检验方案是：先从这批产品中任取 4件作检验,这 4 件产品中优质品的件数记为 n.假如 n3,再从这批产品中任取 4 件作检验,如都为优质品,就这批产品通过检验；假如 n4,再从这批产品中任取 1 件作检验,如为优质品,就这批产品通过检验；其他情形下,这批产品都不能通过检验假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为1,且各件产品是2否为优质品相互独立1 求这批产品通过检验的概率；2 已知每件产品检验费用为100 元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质名师归纳总结 量检验所需的费用记为X 单位：元 ,求 X 的分布列及数学期望A,第 9 页,共 10 页解： 1 设第一次取出的4 件产品中恰有3 件优质品为大事第一次取出的4 件产品中全为优质品为大事B,其次次取出的4 件产品都是优质品为大事C,其次次取出的1 件产品是优质品为大事D,这批产品通过检验为大事E,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - PE PAPB|A PCPD|C C3 412×1 2×141 24×1 2 3 64.222 X 的可能取值为400,500,800,并且13×1 2 1 4,PX4001C3 413×1 21411 6,PX 500 1 16,PX800 C 34222X 的分布列为EX400×11 16500×X 400 500 800 P 11 161116416 800× 1 4506.25. 数学期望中的留意问题：平1 数学期望是离散型随机变量的一个特点数,它反映了离散型随机变量取值的平均水2 EX 是一个常数,由随机变量 X 的概率分布唯独确定,即随机变量 X 是可变的,而EX 是不变的,它描述 X 取值的平均状态3 随机变量的方差和标准差既反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度,方差或标准差越小,就随机变量偏离于均值的平均程度越小,也反映了随机变量取值的稳固与波动、集中与离散的程度4 标准差与随机变量本身有相同的单位,所以在实际问题中应用更广泛请使用课时训练（B）第 6课时（见活页）.备课札记 名师归纳总结 - 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