2022年高中数学应用题解题技巧 .docx

精品_精品资料_龙文学校个性化辅导教案提纲老师：同学：时间:年月日段一、 授课目的与考点分析：高中应用题专题复习 数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一,也是考生失分较多的一种题型.解答这类问题的要害是深刻懂得题意,学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化,这就需要建立恰当的数学模型,这当中,函数,数列,不等式,排列组合是较为常见的模型,而三角,立几,解几等模型也应在复习时引起重视.高考应用性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型,另外,估测运算型和信息迁移型也时有显现.当然,数学高考应用性问题关注当前国内外的政治,经济,文化,紧扣时代的主旋律,凸显了学科综合的特色.二、授课内容：一、求解应用题的一般步骤：1、审清题意：仔细分析题目所给的有关材料,弄清题意, 理顺问题中的条件和结论,找到关键量, 进而明确其中的数量关系 等量或大小关系 2、建立文字数量关系式：把问题中所包含的关系可先用文字语言描述关键量之间的数量关系,这是问题解决的一把钥匙.3、转化为数学模型：将文字语言所表达的数量关系转化为数学语言,建立相应的数学模型 一般要列出函数式、三角式、不等式、数列、排列组合式、概率以及利用几何图形等进行分析 ,转化为一个数学问题.4、解决数学问题：利用所学数学学问解决转化后的数学问题,得到相应的数学结论.5、返本复原：把所得到的关于应用问题的数学结论,复原为实际问题本身所具有的意义.二、应用题的常见题型及计策1、与函数、方程 组 、不等式 组 有关的题型常涉及物价、路程、产值、环保、土的等实际问题,也经常涉及角度、长度、面积、造价、利润等最优化问题.解决这类问题一般要利用数量关系,列出有关解析式, 然后运用函数、 方程、不等式等有关学问和方法加以解决, 特殊对函数最值、均值定理用得较多.2、与数列有关的问题常涉及到产量、产值、繁衍、利息、物价、增长率、植树造林、土的沙化等有关的实际问题.解决这类问题常构造等差数列、等比数列 无穷递增等比数列 ,利用其公式解决或通过递推归纳得到结论,再利用数列学问求解.3、与空间图形有关的问题常与空间观测、面积、体积、的球的经纬度等问题有关.解决此类问题常利用立体几何、三角方面的有关学问. 4、与直线、圆锥曲线有关的题型常涉及定位、人造的球卫星、光的折射、反光灯、桥梁、线性规划等实际问题.常通过建立直角坐标系,运用解析几何学问来解决.5、与正、余弦定理及三角变换有关的题型常涉及实的测量、运算山高、河宽、最大视角等.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、与排列、组合有关的问题运用排列、组合等学问解决7、与概率、统计有关的应用问题一代数的应用题1. 求函数表达式：例 1建筑一个容积为48 米 3 ,深为 3 米的长方体蓄水池,池壁每平方米的造价为a 元,池底每平方米的造价为2a元.把总造价 y 表示为底的一边长x 米的函数,并指出函数的定义域.解：容积 =底面积×高 = 48底面积× 3 = 48底面另一边长： m = 16x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_池壁造价 =池壁面积× a = 23x + 3m 池底造价 =底面积× 2a =16 ×2a = 32aa×= 6 x +1616a = 6x +axx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ y = 6x +2. 面积问题：16a + 32a x > 0 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_摸索题：在上面的例1 中,如何设计水池的长宽,使总造价最低？例 2. 有根木料长为6 米,要做一个如图的窗框,已知上框架与下框架的高的比为1 2,问怎样利用木料,才能使光线通过的窗框面积最大中间木档的面积可忽视不计.解：如图设 x, 就竖木料总长 = 3x + 4x = 7x,三根横木料总长 = 67xx67 x 窗框的高为 3x ,宽为32x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6即窗框的面积y = 3x·7 x=7x26+ 6x 0 < x <可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_配方： y =37x3 27379 0 < x < 2 736可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 当 x =米时,即上框架高为7米、下框架为7米、宽为 1 米时,光线通过窗框面积最大.7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 利润问题： 1利润 =收入 成本2利润 =单位利润×销售量例 3某工厂生产的产品每件单价是80 元,直接生产成本是60 元,该工厂每月其他开支是50000 元. 假如该工厂方案每月至少获得 202200 的利润,假定生产的全部产品都能卖出,问每月的产量是多少？解：设每月生产 x 件产品,就总收入为 80x, 直接生产成本为 60x,其他开支 50000 元,即知总成本为60x + 50000 每月利润是：总收入总成本 = 80x 60x + 50000 = 20x50000依题意有： 20x5000 202200x12500答：该工厂每月至少要生产12500 件产品 .例 4. 将进货单价为 8 元的商品按单价 10 元销售,每天可卖出100 个.假设该商品的单价每涨1 元,就每天销售量就削减 10 个.如何确定该商品的销售单价,使利润最大？分析：1每出售一个商品的利润=销售单价 进货单价 = 108 = 22以单价 10 元为基础：单价每次涨1 元,当涨了 x 元即可看成涨了 x 次时,就每出售一个商品的利润= 2+ x 元, 销售量为 10010x 个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 每个商品的利润y = 2 + x 10010x =10x2 + 80x + 200 =10 x4 2 + 360 当每个商品的单价为14 元时,利润最大.4与增长率相关的问题：要点增长率为正：原产量×1 +增长的百分率增长率为负：原产量×1增长的百分率经过即当 x = 4 时, y 有最大值 360经过 x 年x 年例 5. 一种产品的年产量原先是a 件,在今后m 年内,方案使年产量每年比上一年增加p%. 写出年产量随经过年数变化的函数关系式.解：设经过 x 年后,年产量为 y, 就 y = a 1 + p% x例 6. 某工厂总产值经过10 年翻一番 2 倍,求每年比上一年平均增长的百分数.解：设原先总产值为a, 平均增长率为x,就经过 10 年的总产值为a 1 + x 10即有： a 1+ x 10 = 2 a1+ x =10 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_取常用对数： lg 1 + x =lg 2 = 0. 03011 + x = 1. 072x = 0.072 = 7.2%10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 每年比上一年平均增长7.2%.例 7. 电视机厂生产的电视机台数, 假如每年平均比上一年增长10.4%,那么约经过多少年可以增长到原先的2 倍保留一位有效数字？普高课本代数上册P. 97. 例 2解：设经过 x 年可以增长到原先的2 倍,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1 + 10.4% x = 2xlg1.104 = lg2lg 2xlg 1.1040.301070.0429可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答：大约经过 7 年.5记数问题：例 8. 一个梯形两底边的长分别是12cm 与 22cm, 将梯形的一条腰 10 等分,过每个分点画平行于梯形底边的直线, 求这些直线夹在梯形两腰间的线段的长度的和.解：由平面几何学问可知：等腰梯形的上下底与夹在两腰之间的线段长度成等差数列a11a1 a1 = 12, a11 = 22 公差 d =1111 a2a10 991321 所求的线段长度的和为a2 + a3 +a10 =15322例 9. 画一个边长 2 厘米的正方形,再以这个正方形的对角线为边画第2 个正方形,以第 2 个正方形的对角线为边画第 3 个正方形,这样一共画了10 个正方形,求：（ 1） 第 10 个正方形的面积（ 2） 这 10 个正方形的面积的和解：1设 an 表示各正方形的面积 a1 = 22 = 4, a2 = 22 2, a3 = 42 = 8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ an 是公比为 2 的等比数列第 10 个正方形的面积 a10 = a1 q9 = 42×9 = 2048 厘米 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2这 10 个正方形的面积和S10a1 11q10 q4112 10 24092厘米 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 10一个球从 100 米高处自由落下,每次着的后又回到原高度的一半再落下. 当它第 10 次着的时,共经过了多少米？解：设球落下的高度依次为a1, a2, , a10 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a1 = 100, a2 = 50, a3 = 25 an 是公比为1的等比数列2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就球第 10 次落下时落下的路程为S1010011 110 21225575128200可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_本球共经过的路程为S = 2S10100 300 米6图表应用题例 11中国人民银行某段时间内规定的整存整取定期储蓄的年利率如下表：存期1 年2 年3 年5 年年利率 %个人存款取得的利息应依法纳税20%. 现某人存入银行 5000 元,存期 3 年,试问 3 年到期后,这个人取得的银行利息是多少？应纳税多少？实际取出多少？解： 三年后连本带利一共有：5000 1 + 2.7% 3元 银行利息一共有：5000 1 + 2.7% 3元应纳税：元,实际取出的金额： 5416.03元例 12光明牛奶加工厂,可将鲜奶加工制成酸奶或奶片,该工厂的生产才能如表1,在市场上销售鲜奶、酸奶、奶片的利润如表 2.表一：表二：品种每天加工吨数品种每吨获利润元酸奶3鲜奶500奶片1酸奶1200奶片2022光明牛奶加工厂现有鲜奶9 吨,受人员限制,两种加工方式不行同时进行,受气温条件限制,这批鲜奶必需4天内全部销售或加工完毕. 为此,该厂设计了两种可行方案： 方案一：尽可能多的制成奶片,其余直接销售鲜牛奶.方案二：将一部分制成奶片,其余制成酸奶销售,并恰好4 天完成 .你认为挑选哪种方案获利最多,为什么？解：方案一：四天制成奶片4 吨用去牛奶 4 吨,其余 5 吨牛奶卖掉利润为： 4× 2022 +5 ×500 = 10500 元可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方案二：设制做奶片所需牛奶x 吨,制做酸奶所需牛奶y 吨,就制做奶片共用题意得：x = x 天,制做酸奶共用1y 天,依3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xy9yx43,即制成奶片吨,酸奶7.5 吨可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 利润为：× 1200 = 12022 元由上可知：其次种方案获得的利润大.二三角的应用题1弧长问题例 13某蒸汽机上的飞轮直径为,每分钟按逆时针方向旋转300 转,求：1飞轮每秒钟转过的弧度数;2轮周上的一点每秒钟经过的弧长.解： 1 飞轮半径 r = 0.6m, 每秒钟逆时针旋转5 转飞轮每秒钟转过的弧度数是5× 2= 10 2 轮周上一点每秒钟经过的弧长l = 10 ×0.6 = 6m 2电学例 14电流 I 随时间 t 变化的函数关系式是I = Asin t. 设 = 100rad /秒, A = 5 安培 .1求电流强度I 变化的周期与频率 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2当 t = 0,1,2001,1003,2001秒时,求电流强度 I50可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 1 周期 T = 2=11, 频率 f =5050T可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2 I = 5sin100t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ I 0 = 0, I 31 = 5sin2003= 5,I 211 = 5sin= 0,100可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_I 200 = 5sin=5, I 250 = 5sin2= 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3利用三角函数解决有关面积问题例 15把一段半径为 R 的圆木锯成横截面为矩形的木料,怎样锯才能使横截面的面积最大？ 解：如图,设矩形对角线与一边的夹角为就矩形的长为2Rcos , 宽为 2Rsin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 矩形面积 S = 4R2sin cos= 2R 2sin2当 = 45 时, Smax = 2R 2, 即横截面为正方形时面积最大.2R2Rcos2Rsin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三解析几何中的应用题例 16抛物线拱桥顶部距水面2 米时,水面宽 4 米. 当水面下降 1 米时,水面的宽是多少？解：如图建立直角坐标系,就抛物线方程为x 2 =2pyy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依题意知： x = 2 时, y =2 代入方程得 p = 1即抛物线方程为x 2 =y, 当水面下降 1 米时, y =3x =3 水面宽为 2x = 23 3.5 米可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 17我国发射的第一颗人造的球卫星的运行轨道是以的球的中心 F2 为一个焦点的椭圆,近的点A 距的面 439 千米, 远的点距的面 2384 千米,的球半径大约为6371 千米,求卫星的轨道方程 .解：如图建立坐标系ac = |OA| OF2| = |F2A| = 6371 + 439 = 6810 a + c = |OB| + |OF 2| = |F2B| = 6371 + 2384 = 8755 a = 7782.5, c = 972.5b22x 2y2yBF1F2A·O· x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即卫星的轨道方程是：7783 2177222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 18在相距 1400 米的 A 、B 两哨所,听到炮弹爆炸声的时间相差3 秒,已知声速是 340 米/秒,炮弹爆炸点在怎样的曲线上？并求出轨迹方程.解：设爆炸 t 秒后 A 哨所先听到爆炸声,就B 哨所 t + 3 秒后听到爆炸声,爆炸点设为M就 |MA| = 340t, |MB| = 340 t + 3 = 340t + 1020两式相减： |MA|MB| = 1020|AB| = 1400> 1020可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 炮弹爆炸点的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线以 AB 为 x 轴、 AB 中点为原点建立直角坐标系如图 A700, 0 , B 700, 0 c = 700且 2a = 1020a = 510b2 =229900x 2y 2yMAOBx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_炮弹爆炸的轨迹方程是：1 x > 0 260100229900例 19如图,某灾区的灾民分布在一个矩形的区,现要将救灾物资从P 处紧急运往灾区 . P 往灾区有两条道路PA、PB,且 PA=110 公里, PB=150 公里, AB= 50 公里 . 为了使救灾物资尽快送到灾民手里,需要在灾区划分一条界线,使从 PA 和 PB 两条路线到灾民所在的都比较近. 求出该界线的方程.解：要使沿 PA、PB 两条线路到救灾的点都比较近,有三种情形：1沿 PA 线路 2沿 PB 线路 3沿 PA、PB 线路都相同故分界线以第 3种情形划分：即M|PA| + |MA| = |PB| + |MB|110 + |MA| = 150 + |MB| |MA|MB| = 40,即知分界线是以 A 、B 为焦点的双曲线ABAB = 502c = 50c = 25, 2a = 40a = 20b2 = 225假设以 AB 为 x 轴、 AB 的中点为原点建立直角坐标系x2y 2P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就分界线方程是：1在矩形内的一段可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_400225留意：确定分界线的原就是：从P 沿 PA、PB 到分界线上点的距离 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、本次课后作业：四、同学对于本次课的评判： 特殊中意 中意 一般 差同学签字：老师签字：主任签字：龙文学校教务处五、老师评定：1、同学上次作业评判：好 较好一般差2、同学本次上课情形评判：好 较好一般差可编辑资料 - - - 欢迎下载