2022年数列高考知识点归纳 .docx

精品_精品资料_数列高考学问点大扫描数列基本概念数列是一种特殊函数,对于数列这种特殊函数,着重争论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质,依据这些性质将数列分类：依定义域分为 ：有穷数列、无穷数列. 依值域分为：有界数列和无界数列.依增减性分为递增数列、递减数列和摇摆数列.数列的表示方法 ：列表法、图象法、解析法（通项公式法及递推关系法）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列通项： anf n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、等差数列1、定义当 nN ,且 n2 时,总有an 1and , d常 , d 叫公差.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、通项公式ana1n1) d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1） 、从函数角度看andn a1d 是 n 的一次函数,其图象是以点1,a1 为端点 , 斜率为 d 斜线上一些孤立点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2） 、从变形角度看anann1 d , 即可从两个不同方向熟悉同一数列,公差为相反数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 ana1n1d , ama1m1) d ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_相减得 anamnmd ,即 anam nmd .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 n>m,就以am 为第一项,an 是第 n-m+1 项,公差为 d.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 n<m ,就am 以为第一项时,an 是第 m-n+1 项,公差为 -d.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3） 、从进展的角度看如 an是等差数列, 就 apaq2a1 pq2) d, aman2a1mn2d , 因此有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如下命题：在等差数列中,如mnpq2r, 就 amanapaq2ar .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、前 n 项和公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 Sna1a2an, Snanan 1a1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_相加得Sa1ann ,仍可表示为Snann1) d, d0) ,是 n 的二次函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n特殊的,由 a12a2n12an可得S2 nn12n121) an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、等比数列1、 定义当 nN ,且 n2 时,总有anan 1qq0 , q 叫公比.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、通项公式：ana qn 1a qn m , 在等比数列中,如mnpq2r, 就 amanap aqar.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1m23、前 n 项和公式 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 Sna1a2an, qSna2a3anan1 , 两式相减,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 1qn aa q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 q1 时, S11n, q1 .当 q1 时 , sna.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n11q1q关于此公式可以从以下几方面熟悉：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 1qn aa q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不能忽视 S11q1n成立的条件：q1q1 .特殊是公比用字母表示时,要分类争论.公式推导过程中,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所使用的“错位相消法” ,可以用在相减后所得式子能够求和的情形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如,公差为 d 的等差数列 a , Sa xa xa xn,就 xSa x2a x3axna xn 1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2nnn12nn12n 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_相减得Sn 1xa xdx2dxna xn 1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1dx1xn 1 a xa xn 1dx2 1xn 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n当 x1 时, S 1xa xa xn1 , S1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n当 x1 时 , Sn1a1a21xanna1nnn21x1d.1x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3）从函数角度看Sn 是 n 的函数,此时 q 和a1 是常数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、等差与等比数列概念及性质对比表名称等差数列等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义aad , d常aaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 1an 2nan 1an 1an nN *n 1q, q常 ,ann 2an 1n 1 nN * an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aa n1daa qn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n通项公式am1nmdn1ma qn m .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式： a1ann1d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_mnpq2rmnpq2r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质aaaa2a .aaaa a 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_mnpqrmnpqr d0可逆q1可逆 mn2 rmn2r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_中项aman2ar .aaa2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_mnr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_单调性d0 时增d0 时常数列d0 时减a10, qa10, q1 或 a10,01 或 a10,0q1 增.q1 时减.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_q1 经常数列, q0 时摇摆数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_前Snna1an n 2Sa111qn q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_项na1和nn21 d , d0a1an q , q11q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（推导方法：倒加法）（推导方法：错位相消法）2snna1 d0snna1q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_结论 1、 an等差,公差 d , 就 kanb 等差 公差 an等比, 公比 q,就 kan 等比, 公比 q ; an 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_kd.子数列等比 , 公比q; an 等 比, 公 比q .子 数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a ,a, a, a, mN * 等 差 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_kk mk2 mk nma2, a4 , a4,a2n 等比,公比q;如 kn等差,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2公差 md; 如 kn 等差 ,公差d1 ,就 ak 等nn公差 d,就 ak d等比 , 公比为 q.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_差,公差 d1d .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n2、 a 等差,公差 d就 anan 1等差,公差 an1等比 , 公 比 q , 就an1等比,公比;q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2d; an 1anan 1等差, 公差 3d. an 1 anan 13等比 ,公比q.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S , SS , SS等差 , 公差k 2d ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k2kk3k2 k an 1anan1 等比,公比 q;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且 S3k3S2kSk . 即连续相同个数的和成S , SS , SS等比,公比q k ,（当 k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等差数列.k2 kk3k2k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、 an等差.公差 danam .为偶数时, qk0 ）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nm SmSnSm n0. an等比,公比 qn m an .am可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Snm, SmnSmn.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_、4等差 an 共 2n 项,就Q偶 Q奇a1a3a2n1 q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Q偶 Q奇Q偶nd ,Q奇anan 1a1 1=1q2 n q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等差 an ,共 2n+1 项,就Q偶a2a4a2 nq.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_QQa中, Q偶n;Q奇a1a3a2n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_奇偶n 1Q奇n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、 a 等差aad a 等比, 公比 qaa qn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2nnn 1nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nSa1an n1a 1qn aa q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2Sn1q1q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1nSAn2BnanknbnSan1,a0, a1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a.S2n 1n2n1联系 1、各项不为 0 常数列,即是等差,又是等比.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、通项公式anS1, n 1SS, n2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、 an等差,公差 d, c0, c1 , 就 ca1 , ca2can , 即 can d等比,公比 c .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、 a 等比,公比 q, a0 a0, a1 ,loga1 ,loga2 ,logan , 即logan 等差,公差 log q .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnaaaaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、 an等差, bn等比, 就 anbn前 n 项和求法,利用错位相消法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、求和方法：公式法,倒加法,错位相消法,裂项法,累加法,累积法,等价转化法等.5、递推数列表示数列中相邻的如干项之间关系的式子叫数列递推公式.作为特殊的函数,数列可用递推式表示.求递推数列通项公可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_式常用方法：公式法、归纳法、累加法、累乘法.特殊的,累加法是求形如an 1anf n 递推数列的基本方法,其中数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f n可求前 n 项和,即 ana1a2a1anan 1 .累乘法是求形如an 1g n an递推数列通项公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的基本方法,其中数列 gn 可求前 n 项积,即 ana2a3a1a1a2anan 1, a0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第一节等差数列的概念、性质及前n 项和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题根一等差数列 an 中, a6a9a12a1520,求 S20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 思路 等差数列前 n 项和公式 Sna1an nnann 221 d ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11、 由已知直接求a1 ,公差 d.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、 利用性质 mnpqamana paq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解题 由 a6a9a12a1520, a6a15a9a12a1a20,得2 a1a 2 02 ,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1a2010 ,Sna1a20 20100 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 收成 敏捷应用通项性质可使运算过程简化. 请你试试1 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、 等差数列 a n满意 a1a2a1010,就有（ ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A、 a1a1010B、a2a 1 0 00C、a3a 9 90D、a5151可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、 等差数列中 , a3+a7- a10 =8, a11- a4 =4, 求S13 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第 1 变求和方法倒序相加法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 变题 1 等差数列 an 共 10 项, a1a2a3a420, anan 1an 2an 360, 求 Sn.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 思路已知数列前四项和与后四项和,结合通项性质,联想Sn 公式推导方法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解题已知 a1a2a3a420 , anan 1an 2an 360 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 4aa80 ,得aa20 ,S a1an n2010100 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1n1nn22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 收成 1 、重视倒加法的应用,恰当运用通项性质：mnpqamana paq ,快捷精确.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、 求出 a1an 后运用“整体代换”手段奇妙解决问题. 请你试试1 21、 等差数列 an 共 2k+1 项,全部奇数项和为S奇,全部偶数项和为 S偶 ,求S奇 ： S偶 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、 等差数列 an 前 n 项和为 18 ,如 S31,anan 1an 23 , 求项数 n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、 求由 1,2,3,4 四个数字组成的无重复数字的全部三位数的和.12n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、 求和SnCn2C nnCn .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第 2 变 已知前 n 项和及前 m 项和,如何求前 n+m 项和 变题 2 在等差数列 an 中, Sn=a,Sm=b,m>n ,求 Sn+m 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 思路Sn , Sm , Sm n 下标存在关系： m+n=m+n, 这与通项性质mnpqamana paq 是否有关？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解题由 Sn=a,Sm=Sn+a n+1+an+2+ +am=b得 a n+1+an+2+ +am=b-a,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即an 12am mnba ,得an 1amba2mn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由n+1+m=1+n+m,得 an+1+am=a1+am+n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 Sm na1am 2n mnan 12am mnba mm nn.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 请你试试1 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、在等差数列 an 中, S615 , S955 ,求 S15.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、在等差数列 an 中, S31, S93 ,求 S12.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第 3 变 已知已知前 n 项和及前 2n 项和,如何求前 3n 项和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 变题 3在等差数列 a n 中,S1020 , S2040 ,求S30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 思路由 S10, S20 , S30 查找S10 , S20S10 , S30S20 之间的关系.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解题设数列 a n 公差为 d ,S10a1a2a10 , S20S10a11a12a20 ,S30S20a21a22a30 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S20S10 S101010d , S30S20 S20S10 1010 d ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所 以S10 , S20S10, S30S20成 等 差 数 列 , 公 差100d,于 是2S20S10 S10 S30S20 , 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S303S20S10 32060 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 收 获 1 、 在 等 差 数 列 a n 中 ,S1 0, S 2 0S10 , S3 0 S20 成 等 差 数 列 , 即a1a2a10, a11a12a20 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a21a22a30 ,成等差数列,且S303S20S10 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、 可推广为S5n5S3nS2n , S7 n7 S4nS3n ,S2 k1 n2 k1 SknSk-1n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 请你试试1 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、在等差数列 an 中, a1a23 , a3a46 , 求 a7a8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、在等差数列 an 中, a1a2a1010 , a11a12a2020 , 求a31a32a40可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、在等差数列 an 中,S1020 ,S2030 ,求 S50 及 S100 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、数列 a n 中, Sna , S2nb,求 S3n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、等差数列 a n 共有 3k 项,前 2k 项和S2k25,后 2k 项和S2k75 ,求中间 k 项和 S中 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第 4 变 迁移变换重视 Sx=Ax2+Bx 的应用1 变题 4在等差数列 a n 中, Sn=m, ,Sm=n,m>n ,求 Sn+m 的值. 思路 等差数列前 n 项和公式是关于 n 的二次函数,如所求问题与 解题 由已知可设Sn=An 2+Bn=mSm=Am 2+Bm=n ,a , d无关时,常设为 S=An2+Bn 形式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两式相减,得An+mn-m+Bn-m=m-n ,又 m>n ,所以AnmB1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m n得SAmn 2B mn mnA m nB mn .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 收成 “整体代换”设而不求,可以使解题过程优化. 请你试试1 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、 在等差数列 a n 中,S1284 , S20460 ,求 S32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、 在等差数列 a n 中, SmSn, mn,求 Sm+n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、 在等差数列 a n 中, a10 , S10S15 ,求 当 n 为何值时, Sn 有最大值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第 5 变 归纳总结,进展提高 题目 在等差数列 a n 中, Sn=