2022年高三复习二项式定理-知识点、题型方法归纳.docx

精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师总结优秀学问点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_绵阳市开元中学高2022 级高三复习二项式定理学问点、题型与方法归纳制卷：王小凤同学姓名： 一学问梳理nnnn1二项式定理 ：abn C0anC1an1b Cr an rbr Cnbnn N* 这个公式所表示的定式定理因此二项式定理是排列组合学问的进展和连续两种应用1通项的应用：利用二项绽开式的通项可求指定的项或指定项的系数等2绽开式的应用：利用绽开式可证明与二项式系数有关的等式.可证明不等式.可证明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nr理叫二项式定理,右边的多项式叫a bn 的二项绽开式其中的系数Cr r 0,1, n叫可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二项式系数式中的 Cr an rbr 叫二项绽开式的通项,用T表示,即通项 T Cr an r b .整除问题.可做近似运算等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n2 二项绽开式形式上的特点1项数为 n 1.r 1r 1n三条性质1对称性. 2增减性. 3各项二项式系数的和.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2各项的次数都等于二项式的幂指数n,即 a 与 b 的指数的和为 n.3字母 a 按降幂排列,从第一项开头,次数由n 逐项减 1 直到零.字母 b 按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1 直到 n.二题型示例【题型一】求 xyn 绽开特定项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_01n1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4二项式的系数从Cn, Cn,始终到 Cn,Cn.3 二项式系数的性质例 1：1 3xn其中 nN* 且 n6的绽开式中 x5 与 x6 的系数相等,就n A.6B.7C.8D.9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等即C rC n rC5 56 6n；n；3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn解： 由条件得n3 Cn3 ,5；（ n5）；×6；（ n 6）；可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_时,二项式系数逐步增大由对称性知它的后2增减性与最大值：二项式系数Ck,当 k n13n56,n7.应选 B.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n2xy82 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_半部分是逐步减小的.当n 是偶数时,中间一项nnC 2 取得最大值.当n 是奇数时,中间两项例 2：2022·大纲的绽开式中 x y yx的系数为 .用数字作答 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xy88 rrxyrr8 3r3 r 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 1n 18C 2C 2取得最大值解：yx绽开式的通项公式为Tr1C8yx1 Cr x2 y 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn332 244可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3各二项式系数和： C0C1C2 Cr Cn2n.令 8r 2,解得 r4,此时r 4 2,所以绽开式中x y的系数为 1 C870.故填 70.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnnn22C0 C2C4 C1C3 C5 2n 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnr nr rnn一个防范nnn【题型二】求 abm xyn 绽开特定项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_运用二项式定理肯定要牢记通项Tr1Cnab ,留意a b 与b a虽然相同,但详细到它例 1： 在1x51 x61 x7 1x8 的绽开式中,含 x3 的项的系数是 A 74B 121C 74D 121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_们绽开式的某一项时是不同的,肯定要留意次序问题,另外二项绽开式的二项式系数与该项的n字母系数是两个不同的概念,前者只指Cr ,而后者是字母外的部分前者只与n 和 r 有关,恒为正,后者仍与a,b 有关,可正可负一个定理二项式定理可利用数学归纳法证明,也可依据次数,项数和系数利用排列组合的学问推导二项解析绽开式中含 x3 项的系数为 C313C313C313C313 121.5678【题型三】求 ab m xyn 绽开特定项例 1：2022·全国课标卷已知1 ax1 x5 的绽开式中 x2 的系数为 5,就 a A. 4B.3C.2D.1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_55解： 1ax1x5 的绽开式中 x2 项为 C2x2ax·C1x 10x25ax2105ax2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师总结优秀学问点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2 的系数为 5,10 5a5,a 1.应选 D.解析易知 T Cr x2x5r yr ,令 r 2,就 TC2x2 x3y2,对于二项式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2： 2022 ·浙江卷 在1x61y4 的绽开式中,记xmyn 项的系数为fm,n,就 f3,0r 123t52 3t tt6t355 221可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f2,1f1, 2f0, 3x x,由 Tt 1C3x x C3x ,令 t1,所以 x y的系数为 C5C3 30.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 45B60C 120D 210【题型五】二项式绽开逆向问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析在1x6的绽开式中,xm的系数为 Cm,在1y4的绽开式中,yn的系数为 Cn故 fm,例 1：2022·广州毕业班综合测试 如 C13C232C3 3n 2Cn 1 3n185,就 n 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_64,m n321123为n nnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n C6 ·C4.从而 f3,0C620,f2,1 C6·C460,f1,2C6·C4 36,f0,3C44,A.3B.4C.5D.6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 由 C12n2n1n11n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 f3,0f 2,1 f1,2f0, 3120,应选 C.n3Cn3Cn331 3 1 85,解得 n4.应选 B.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3：已知数列 an 是等差数列, 且 a6a710 ,就在 xa1 xa2 xa12 的绽开式中,x11 的系数为 .【题型六】赋值法求系数（和）问题例 1：已知12x7a0 a1x a2 x2 a7x7 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： x11 的系数为aaa6 aa60 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_121267【题型四】求 xyzn 绽开特定项求： 1a1a2 a7.2a1 a3 a5a7.3a0a2a4 a6 .4 |a0| |a1|a2| |a7|.解： 令 x1,就 a0a1a2a3 a4 a5 a6a7 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1： 求x1 22 x5x>0的绽开式经整理后的常数项.令 x 1,就 a0 a1 a2 a3a4a5 a6a7 37 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x15x1101a0 C01,a1a2 a3 a7 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7解法一：2x2在 x0 时可化为,2x713可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因而 Tr1Cr110r10 2rx,就 r 5 时为常数项,即 C5 · 15632.2 ÷2,得 a1a3 a5a72 1094.7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_102102213可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法二： 所给的式子为三项式,采纳两个计数原理求解.3 ÷2,得 a0a2 a4a621093.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5分三类： 5 个式子均取2,就 C552 42.41 2x7 的绽开式中, a0 ,a2, a4,a6 大于零,而 a1, a3,a5,a7 小于零,|a0|a1|a2| |a7| a0 a2a4a6a1a3a5a7,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x11 113可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x取一个,一个2,三个2,就 C52 C42 202.所求即为 亦即 ,其值为 2187.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x12 1 22152取两个 2,两个 x,一个2,就 C5 2C322.点拨：“赋值法”普遍运用于恒等式,是一种处理二项式相关问题比较常用的方法.对形如axbn,ax2bx cma,b,c R的式子求其绽开式各项系数之和,只需令x1 即可.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对形如 ax byna,bR的式子求其绽开式各项系数之和,只需令xy1 即可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_152所以,常数项为42202632.如 fxa a xa x2 a xn,就 fx绽开式中各项系数之和为f1,奇数项系数之可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22.点拨： 三项式的绽开式问题,通常可用解法一化为二项式问题,或用解法二化为计数问题.012n2和 为a0 a2 a4 f（ 1） f（ 1） , 偶 数 项 系 数 之 和 为a1 a3 a5 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2： 如将 xyz10 绽开为多项式,经过合并同类项后它的项数为（）f（1） f（ 1）2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 11B33C55D 662n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：绽开后,每一项都形如xa yb zc ,其中abc10 ,该方程非负整数解的对数为例 2：设2xa a xa x2 ax2n,就a a a a2a a a 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_20122n0242n135可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C21 0 266 .a2n1 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_255 222n22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3： 2022 ·课标全国卷 x x y 的绽开式中, x y的系数为 解： 设 fx2 x,就a0a2a4 a2n a1a3 a5a2n1a0 a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 10B 20 C30D 60a4 a2n a1a3a5 a2n1a0 a2a4a2na1a3 a5 a2n1f1 ·f1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师总结优秀学问点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22n81·22n1 2n1 n 1 .二项式系数最大的项为T5 C4·2x41 120x4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2224rrr1r1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3：已知x12x22022a0 a1x2a2x 22 a2022x22022,就a1a2a32 3设第 r 1 项系数最大,就有C8·2 C8·2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222CrrCr1r1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8·28·2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.a202222022的值为 解得 5r 6.所以 r 5 或 r 6,所以系数最大的项为T61 792x5 或 T71 792x6.点拨：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_332320223321求二项式系数最大项：假如n 是偶数,就中间一项第n1项 的二项式系数最大.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 依题意令x 2,得 2 122a0 a1 22 a2 222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3a2022 22022,令 x 2 得 a0 0,就a1a2 2a33a202220221 2022.假如 n 是奇数,就中间两项 第n1项与第2n 121 项的二项式系数相等并最大.2求绽开式系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222222数最大项：如求 abxn,b R的绽开式系数最大的项,一般是采纳待定系数法,列出不等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【题型七】平移后系数问题aArAr 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1： 如将函数 fx x5 表示为 f xa0 a1 1xa21x2 a51 x5, 其中 a0,a1,式组A A从而解出 r,即得绽开式系数最大的项.,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2 , a5 为实数,就 a3 .5解法一： 令 x1y,y15a0a1ya2y2 a5y5,故 a3 C21210.a5 1,4rr 1【题型九】两边求导法求特定数列和例 1：如2x 35a0a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5,就 a12a23a34a45a5 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法二： 由等式两边对应项系数相等.即：C5a5 a40,解得 a310.解析原等式两边求导得52x34 2x234可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_· 3 a12a2x 3a3x 4a4x 5a5x ,令上式中 x33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C5a5 C4a4 a30,解法三： 对等式： fx x5a0a11xa21 x2a51 x5 两边连续对 x 求导三次得： 60x2 6a324a41x60a5 1x2,再运用赋值法,令x 1 得： 606a3,即 a3 10.故填 10.【题型八】二项式系数、系数最大值问题n1,得 a12a2 3a3 4a4 5a5 10.【题型十】整除问题例 1：设 a Z ,且 0a<13,如 512 012 a 能被 13 整除,就 a A 0B1C 11D12解析512 012a5212 012a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1例 1：x2x的绽开式中第五项和第六项的二项式系数最大,就第四项为 02 01212 0112 0112 0112 0122 012可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ C2 012·52 C2 012·52C2 012×52· 1 C2 012· 1a,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 902 01212 0112 0112 011可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析由已知条件第五项和第六项二项式系数最大,得n9,x 2x绽开式的第四项C2 012·52C2 012·52C2 012× 52·1能被 13 整除可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3且 512 0122 0122 012可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_36121 a 能被 13 整除,C2 012·1a1a 也能被 13 整除可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为 T4 C9·x· 2x 2 .因此 a 可取值 12.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2： 把1x9 的绽开式按 x 的升幂排列,系数最大的项是第 项A 4B 5C6D 7例 2：已知 m 是一个给定的正整数,假如两个整数a, b 除以 m 所得的余数相同,就称a与 b 对模 m 同余,记作 a bmod m,例如：5 13mod 4.如 22022 rmod 7,就 r 可能等于 A.2022B.2022C.2022D.2022可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析1 x9 绽开式中第 r 1 项的系数为 Cr 1r ,易知当 r 4 时,系数最大,即第5解：2202222× 23×67167167167116706702022可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_94×847147C6717 C6717 1.因此 2除以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_项系数最大,选B.例 3：12xn 的绽开式中第6 项与第 7 项的系数相等, 求绽开式中二项式系数最大的项和系数最大的项 .7 的余数为 4.体会证,只有 2022 除以 7 所得的余数为 4.应选 A.三自我检测2x 1n*可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：T5566556681、2022·青岛一检“n5”是“3nN 的绽开式中含有常数项”的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6Cn2x,T7Cn2x,依题意有 Cn·2 Cn·2 ,解得 n 8.所以1 2x的绽开式中,x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师总结优秀学问点A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件nnnnnnnnn2、已知 C02C122C223C3 2nCn729,就 C1 C2C3 Cn等于A 63B64C31D323、组合式 C02C1 4C28C3 2nCn的值等于nnnnnnnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 1B 1C3D3 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、如1xx26a0 a1 x a2 x2 a12x12,就 a2a4 a12 5、已知 1 x10a0a11 xa21 x2 a101x10,就 a8 A 180B 180C45D 456、12x31x4 绽开式中 x 项的系数为A 10B 10C2D 27、1x81y4 的绽开式中 x2y2 的系数是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4448、在 1x31x41x50 的绽开式中,x3 的系数为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C3A. 51B. 50C. 51D. 47可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_CCC9、在x12x1nx 1nN* 的绽开式中一次项系数为22n113A CnB Cn 1CCnD.2Cn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21010、2022 ·安徽合肥二检 x x 1绽开式中 x3项的系数为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 4 页 - - - 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