2022年数列知识点总结 .docx
精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 等差数列的定义与性质数列学问点总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义：an 1and d 为常数, ana1n1 d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等差中项： x, A, y 成等差数列2 Axy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_前 n 项和 Sna1an nna1n n1d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22性质： an 是等差数列(1) 如 mnpq ,就 amanapaq.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 数列a2n 1, a2n, a2n 1仍为等差数列,Sn, S2 nSn,S3 nS2 n 仍为等差数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_列,公差为n 2d .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 如三个成等差数列,可设为 ad, a, ad可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(4) 如 an, bn是等差数列,且前 n项和分别为amSn, Tn ,就bmS2 m 1T2 m 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(5) 5an 为等差数列San2bn a, b 为常数,是关于 n 的常数项为 0 的二次函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn数.Sn 的最值可求二次函数San2bn 的最值.或者求出an中的正、负分界项,即：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当a10, d0 ,解不等式组an an 10可得 Sn 达到最大值时的 n 值;当a10, d00 ,由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an an 10可得 Sn 达到最小值时的 n 值. 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(6) 项数为偶数2 n 的等差数列an,有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S2nS偶na1S奇a2n nd ,na2S奇ana2n 1 .nanan 1 an , an1为中间两项 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S偶an 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(7) 项数为奇数 2n1 的等差数列an , 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S2n 12n1anan为中间项 ,S奇 S偶S奇nan ,.S偶n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 等比数列的定义与性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义：an 1q q 为常数, q0 , aa qn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an1.2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等比中项： x、G、y 成等比数列Gxy ,或Gxy .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_na1 q1前 n 项和： Sa1qnn1 q11q性质： an 是等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 如 mnpq ,就am·anap·aq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) S ,SS , SS 仍为等比数列 ,公比为qn .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n2nn3 n2n3. 求数列通项公式的常用方法SnSn 1, n2(1) 由 Sn 求 an .anS1,n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1：数列a, 1 a1 a1 a2n5 ,求 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2nn2 1222nn解 n1 时, 1 a215 , a14211n21 a1 a1 a2n5n时, 2 12222n111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a12 a2n 1 an 12n15可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得： 1 a2 , a2n, a14 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1n2nnn2n1 n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习数列a满意 SS5a, a4 ,求 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnn 1n 11n3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意到aSS ,代入上式整理得Sn 14 ,又 S4 ,S是等比数列,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 1n 1n1Sn3 4nn1 , n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 S4n . n2 时, aSS3·4n 1 故a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnn 1n4, n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 由递推公式求 an(1) 累加法 an 1anf n形式 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2：数列a中, a1,a3n 1an2 ,求 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nanan 113 n 1nn 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： nan2时,a 21an 2a133 n 2累加得 ana13323n 133 n 112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_na1 3 n12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 累乘法 an 1anf n形式 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3：数列an 中,a13,求 an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： a2·a3 anann12n· 11 , an13又a13 , an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1a2an 123na1nn .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 构造新数列 构造的新数列必为等比数列或等差数列 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_取倒构造 an1 等于关于an 的分式表达 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4： a11, an 12an,求 anan2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由已知得：1an 1an22 an11 ,2an111an 1an2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1为等差数列, 11 ,公差为 1, 11n111·n1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ana1n a2n12an22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 同除构造例 5： a11, an 13an3n ,求a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n解：对上式两边同除以3 n 1 ,得an 13n 1an1 ,就 an3 n33n为等差数列, a11 ,33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_公差为1 , an1 n11n , an 3 nn 3 n 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_33 n3nn333可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6： a11, an 12an3n 1 ,求 a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 ： 对 上 式 两 边同 除 以2 n 1 , 得an 12 n 1an3 nn221 , 令 ban, 就 有n2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bn 1bnn 1n13 ,累加法可得 bb2 3 221 3 n 121233 1 n4 29 ,又b18a11 , 就22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_31 nbn5an,即 n3 1 n5, an52 n3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_42824 2884可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7： a11, anan 12an an 10, 求an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：对上式两边同除以anan11 ,得120 ,即 112 ,就 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 1ananan 1an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为等差数列, 1a11 ,公差为 2, 1an12n12n1 , an1.2n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_取对构造 涉及 an 的平方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 8： a13,an 13a2 , 求a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn解：对上式两边取对数, 得lg an 1lg 3a 2 ,由对数运算性质得lg an12 lg anlg 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n两边同时加lg 3 ,整理得lg an 1lg 32lg anlg 3,即lg 3an 12 lg an , 就lg 3an 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_公比为 2 的等比数列,由此推知 an 通项公式.等比型 常用待定系数 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 9： a11, an 13an2, 求an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：待定系数法设上式可化为如下形式：an 1k3ank ,整理可知 2k2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就k1 ,原式可化为an 113an1) ,就 an1 为公比=3 的等比数列,由此可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推知 an 通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 10： a12, an 14an3n1,求an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：待定系数法设上式可化为如下形式：an 1kn1b4anknb,整理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3k可知3bk3,得 k11,b0 ,原式可化为an 1n14ann ,就 ann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为公比=4 的等比数列,由此推知 an 通项公式.提公因式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 11： a11, an1an12an , 求an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：上式变形为an 1ananan1,等号左边提公因式得an an 11an1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 11an1 , 两边取倒数得an1an 11an,1an1 an 1111,an11an1为公差可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为 1 的等差数列,由此推知 an 通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 12： a12, a23,2an 13anan 1 当n2) ,求an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：上式变形为2an 12ananan1 ,2 an 1ananan1 ,令bnan 1an ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnb1 b21, bn为首项 b11, 公比为1 的等比数列, bn2n 1n 111,an 1an.22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由累加法可求得 an 通项公式.4. 求数列前 n 项和的常用方法(1) 分组求和 分组后用公式 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 13：求和 1 122 13 1481n 2n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：原式=1122131481n2 n123n 1111 2482n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=nn121 11 n22n111122n n12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 裂项相消 把数列各项拆成两项或多项之和,使之显现成对互为相反数的项. 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_常用：111.11111 .n1n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn1nn1n n22nn2nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 错位相减 通项可表示为等差乘等比的形式 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 14： Sn12x3x24x3nxn 1求 Sn.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S12 x3x24x3nxn 1x2x23x34x4n1解：n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x· Snxn 1nxn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1x Sn1xx2xn 1nxn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1 时, Sn1xn 2nxn, x1 时, Sn123 nn n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 练习 求数列nn的前 n项和Sn2.答案： Sn2n2 2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(4) 倒序相加 前后项之和为定值.把数列的各项次序倒写,再与原先次序的数列相加. 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Sna1a2an 1an相加 2Saaaaaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Snanan 1a2a1n1n2n 11n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 求数列肯定值的前 n 项和 依据项的正负,分类争论 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 15：已知数列an 的通项 an112n , bnan ,求 bn的前 n 项和 Tn .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：设数列a的前 n项和为S ,a9,公差d2, S9nnn1 210 nn 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn5 时, Taan1aaan2aS10nn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n5 时,n12Tna1a 2a1a 2a 5S5SnS5n12nna5a6an a6a 7an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 S5Sn5010nn 2 n 210n50可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Tn10n22n ,n5.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n10n50, n5可编辑资料 - - - 欢迎下载
