2022年高一数学集合与函数知识点总结3.docx

精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高中课程复习专题 数学集合与函数专题一、集合相关概念1、集合中元素的特性 元素的确定性：组成集合的元素必需是确定的. 元素的互异性：集合中不得有重复的元素. 元素的无序性：集合中元素的排列不遵循某种次序,是随便排列的.2、集合的表示方法 列举法：将集合中元素一一列出. 描述法：将集合中元素的公共属性用语言描述出来. 解析法：用解析式的方式描述出集合元素的公共属性. 图示法：用韦恩图直观的画出集合中的元素.3、集中特别数集的表示方法自然数集：N正整数集： N+整数集： Z有理数集： Q实数集： R空集： 二、集合间的基本关系 子集与真子集1、自反性 任何一个集合都是它本身的子集：A . A .2、假如 A . B 且 AB,就, A 是 B 的真子集.3、传递性：假如A . B, B . C,就 A .C.4、假如 A . B 且 B . A ,就 A=B .5、空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n6、有 n 个元素的集合,有2三、集合间的运算个子集,有2n-1 个真子集.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_运算类型定交集由全部属于集合A 且属于集合 B 的元素组成的集合称为并集由全部属于集合A 或属于集合 B 的元素组成的集合称为补集设 S 是一个集合, A 是 S 的一个子集,由 S 中不属于A 的元素组成的义A 和 B 的交集（ AB）.A 和 B 的并集（ A B）.集合称为S 中 A 的补集（ CSA）.即 AB=x x A 且 x B即 A B=x xA 或 x B即 CSA = x x S 且 xA 图示性质AA=AA A=ACSA CSB= C S（ A B）A =A =ACSA CSB= C S（ AB）A B=BAA B=B AA CSA=SAB . AAB. BA .A BB . A BACSA=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -四、函数的相关概念1、函数：设A 、B 为非空集合,假如依据某个特定的对应关系f ,使对于集合A 中的任 意一个数x ,在集合B 中都有唯独确定的数fx 和它对应,那么就称f ：AB 为从集合A 到集合 B 的一个函数,写作y=fx ,x A ,其中, x 叫做自变量, x 的取值范畴A 叫做函数的定义域,与x 相对应的y 的值叫做函数值,函数值的集合B=fx x A 叫做函数的值域. 2、函数定义域的解题思路： 如 x 处于分母位置,就分母x 不能为 0. 偶次方根的被开方数不小于0. 对数式的真数必需大于0. 指数对数式的底,不得为1,且必需大于0. 指数为 0 时,底数不得为0. 假如函数是由一些基本函数通过四就运算结合而成的,那么,它的定义域是各个部分都有意义的x 值组成的集合. 实际问题中的函数的定义域仍要保证明际问题有意义.3、相同函数 表达式相同：与表示自变量和函数值的字母无关. 定义域一样,对应法就一样.4、函数值域的求法 观看法：适用于初等函数及一些简洁的由初等函数通过四就运算得到的函数. 图像法：适用于易于画出函数图像的函数已经分段函数. 配方法：主要用于二次函数,配方成y=x-a 2 +b 的形式. 代换法：主要用于由已知值域的函数估计未知函数的值域.5、函数图像的变换 平移变换：在x 轴上的变换在x 上就行加减,在y 轴上的变换在y 上进行加减. 伸缩变换：在x 前加上系数. 对称变换：高中阶段不作要求.6、映射：设 A 、B 是两个非空集合,假如按某一个确定的对应法就 f,使对于 A 中的任意仪的元素 x ,在集合 B 中都有唯独的确定的 y 与之对应,那么就称对应 f： AB 为从集合 A 到集合 B 的映射. 集合 A 中的每一个元素,在集合B 中都有象,并且象是唯独的. 集合 A 中的不同元素,在集合B 中对应的象可以是同一个. 不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象.7、分段函数 在定义域的不同部分上有不同的解析式表达式. 各部分自变量和函数值的取值范畴不同. 分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.8、复合函数：假如（u M ）, u=gx（ x A ） ,就, y=fgx=Fx（ xA ）,称为f、g的复合函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -五、函数的性质1、函数的局部性质单调性设函数 y=fx 的定义域为I,假如对应定义域I 内的某个区间D 内的任意两个变量x1、 x2,当 x1< x 2 时, 都有 fx 1<fx 2,那么 y=fx 在区间 D 上是增函数, D 是函数 y=fx 的单调递增区间.当x 1< x2 时,都有fx 1>fx 2,那么那么y=fx 在区间 D 上是减函数, D 是函数y=fx 的单调递减区间. 函数区间单调性的判定思路 在给出区间内任取x 1、x 2,就 x1、x 2 D,且 x 1< x 2. 做差值 fx 1-fx 2 ,并进行变形和配方,变为易于判定正负的形式. 判定变形后的表达式fx 1-fx 2的符号,指出单调性. 复合函数的单调性复合函数y=fgx 的单调性与构成它的函数u=gx ,y=fu 的单调性亲密相关,其规律为“同增异减” .多个函数的复合函数,依据原就“减偶就增,减奇就减”. 留意事项函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成并集,假如函数在区间A 和 B 上都递增,就表示为fx 的单调递增区间为A 和 B,不能表示为 A B .2、函数的整体性质奇偶性对于函数fx 定义域内的任意一个x ,都有 fx =f-x ,就 fx 就为偶函数.对于函数fx 定义域内的任意一个x ,都有 fx =-fx ,就 fx 就为奇函数. 奇函数和偶函数的性质 无论函数是奇函数仍是偶函数,只要函数具有奇偶性,该函数的定义域肯定关于原点对称. 奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y 轴对称. 函数奇偶性判定思路 先确定函数的定义域是否关于原点对称,如不关于原点对称,就为非奇非偶函数. 确 定 fx和 f-x 的关系：如 fx -f-x=0 ,或 fx /f-x=1,就函数为偶函数.如 fx+f-x=0 ,或 fx/ f-x=-1,就函数为奇函数.3、函数的最值问题 对于二次函数,利用配方法,将函数化为y=x-a 2 +b 的形式,得出函数的最大值或最小值. 对于易于画出函数图像的函数,画出图像,从图像中观看最值. 关于二次函数在闭区间的最值问题 判定二次函数的顶点是否在所求区间内,如在区间内,就接, 如不在区间内, 就接 .2 如二次函数的顶点在所求区间内, 就在二次函数 y=ax +bx+c 中,a>0 时,顶点为最小值,a<0 时顶点为最大值. 后判定区间的两端点距离顶点的远近, 离顶点远的端点的函数值, 即为 a>0 时的最大值或 a<0 时的最小值. 如二次函数的顶点不在所求区间内,就判定函数在该区间的单调性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -如函数在 a ,b 上递增,就最小值为fa,最大值为fb.如函数在 a , b 上递减,就最小值为fb,最大值为fa.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_六、指数和对数1 、指数的性质 根式：假如xn=a,就 x 叫做 a 的 n 次方根,记作（ n>1, n N+）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 负数没有偶次方根. 0 的任何次方根都是0. 当 n 为奇数时=a ,当 n 是偶数时= a 分数指数幂=（ a>0, m、n N+, n>1）负指数幂=（ a>0, m、nN+, n>1）0 的正分数指数幂为0,0 的负指数幂没有意义. 实数指数幂的运算性质ar . as = ar+sa>0, r、sRars = ar. sa>0, r、sRabr = ar.bra、b>0, r R2、对数的性质 对数：假如ax=N a>0 ,a 1, 那么, x 叫做以 a 为底 N 的对数,记住： log aN=x ,其中a 为底数, N 为真数. 留意底数a 的取值范畴： a>0 且 a1. 常数对数：以10 为底的对数lgN .自然对数：以e=2.71828为底的对数lnN . 对数的运算性质：假如a>0 且 a1, M>0 , N>0 logaM .N=log aM + log aNloga=log aM log aN logaM n = nlog aMN R 对数的换底公式logab = log cb / log caa>0 且 a1, c>0 且 c1, b>0就=log ab = 1/ log ba七、基本初等函数x1、指数函数：函数y=aa>0 且 a 1叫做指数函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -a 的取值a>10<a<1图像定义域x Rx R值域y 0,+ y 0, + 单调性全定义域单调递增全定义域单调递减奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数过定点（0,1）（0,1）留意：由函数的单调性可以看出,在闭区间a,b 上,指数函数的最值为： a>1 时,最小值fa ,最大值fb . 0<a<1 时,最小值fb ,最大值 fa . 对于任意指数函数y=a x a>0 且 a 1,都有 f1=a .2、对数函数：函数y=log axa>0 且 a 1,叫做对数函数a 的取值a>10<a<1图像定义域x 0, + x 0, + 值域y Ry R单调性全定义域单调递全定义域单调递减奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数过定点1,01,03、幂函数：函数y=x a a R,高中阶段,幂函数只讨论第I 象限的情形. 全部幂函数都在0, + 区间内有定义,而且过定点1,1. a>0 时,幂函数图像过原点,且在0,+ 区间为增函数,a 越大,图像坡度越大. a<0 时,幂函数在 0, + 区间为减函数.当 x 从右侧无限接近原点时,图像无限接近y 轴正半轴.当 y 无限接近正无穷时,图像无限接近x 轴正半轴.幂函数总图见下页.4、反函数：将原函数y=fx 的 x 和 y 互换即得其反函数x=f -1 y .反函数图像与原函数图像关于直线y=x 对称.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -幂函数总图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载