2022年高三数学综合题选讲 .docx

精品_精品资料_高三数学综合题选讲综合题是高考中的一个重点内容,也是一个难点内容,它既是学科间内在联系和学问的综合,又侧重才能的综合.既有代数、立体几何、平面解析几何三支分科的综合,又拓展到与自然科学、社会科技的综合,甚至是初等数学与实际应用的信息、数据、图表、情形的综合在有限的复习时间内进行的高效的复习,关键在于科学的综合,把分科内网络化学问综合成学科内的立体化的学问思维网络比方, 函数是高中数学的主线, 它将不等式、 数列、三角函数、 解析几何中的曲线等学问串联起来,而且辐射到中学数学的每一部分内容,它是高中数学的重点学问用代数作为工具,争论几何问题,并扩展到更宽广的代数领域,已成为高考命题方向, 将代数与几何融于一体反映了数学各分科的交叉和整合,表达了数学学问网络化的思想, 以及在学问网络交汇设计试题的高考命题特点这里分不清是用代数方法争论几何问题, 仍是用几何方法处理代数问题,有的只是代数与几何的完善结合这是考查综合运用数学学问才能和数学潜能的更高层次的要求高考是以学问为载体,方法为依靠,才能为目的的考查复习时应留意：1 切实把握基础学问,提高解题操作技能2 留意数学思想和方法的懂得和把握数学思想和方法是数学学问在更高层次上的抽象和概括,它蕴涵在数学学问发生、发展和应用的过程中 高考试题中, 对数学思想和方法的考查也包蕴在其中,很少直接表达 数学思想包括：函数与方程、数形结合、分类争论、化归与转化数学思维方法主要包括分析法、综合法、归纳法、演绎法、观看法、试验法、特别化法等等,数学方法主要指配方法、换元法、待定系数法、比较法、割补法等一些详细方法3 加强数学才能的培育和提高1 学习新的数学学问的才能,这是指通过阅读懂得以前没有学过的新的数学学问包括新的概念、定理、公式、法就等,能运用它们作进一步的运算推理,解决有关问题的才能2 探究数学问题的才能是指运用学过的数学学问通过观看、试验、联想、类比、演绎、归纳、分析、综合、猜想等手段,对数学问题进行探究和争论的才能3 应用数学学问解决实际问题的才能指正确懂得问题的背景,分析实际问题给出的信息,进行提炼加工,建立相应的数学模型,运用所学的数学学问和数学方法解决问题4 数学创新才能指的是运用已知信息开展数学思维活动,并产生某些新奇的有创见的才能一、函数与不等式函数是高中数学的主线,是高考考查的重点内容之一,函数的基础学问有：定义域、对应法就、值域、单调性、奇偶性、周期性、最值、极值等通过函数图象,加深对函数性质的懂得,深化数形结合的思想不等式不仅是高中数学的重要内容,也是连续深造的重要基础,所以不等式始终都是高考命题的重点之一内容主要包括：不等式的性质、不等式的证明、不等式的解法、不等式的应用 不等式和数学其它模块联系紧密,是重要的数学工具,将基本不等式和实际应用问题相结合的数学综合题在高考中有加强的趋势可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 假设 0x1时,不等式 1mx1 1nx恒成立,求 m 、 n 的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x分析：别离参数转化为求函数最值问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 1mx11xmx11,x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x0 时,不等式成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 0x1 时, m1 x1,记xx1f x11xxx, 0x11,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 mf x max ,又令1xt ,就 xt 21, 1t2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 f xg t 1t 211t 21t1,t t1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_t1 时,f xmax1 , m1 ,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同理求得： n12 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明：利用求导求f x 最值运算较繁,应先考虑换元可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 假如不等式ax 2bxc0 的解集为 ,其中0 ,求不等式cx2bxa0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的解集分析：不等式问题与方程问题联系非常紧密,可考虑用韦达定懂得题 解：方法一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由已知,是 ax 2bbxc0 的根,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a,就caba,ca可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不等式cx 2bxa0 即为 ax 2a xa0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_明显 a0 ,x2 x10 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x1x10 ,1x1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法二cx 2bxa0 即为 cbaxx 20 原不等式中 x0 明显不成立,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 a 1 2b 1 xx1c0 ,11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由已知,xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明：方法一通过韦达定理消去了不等式中的参数a ,b ,c ,转化为与,有关的问题 方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法二将不等式变形用1代原不等式中的 x ,求出 x 的范畴x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 已知函数f x| ax22x1| , 0x4 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 求f x 的最大值. 2 a0 时,f x1的解集为2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：1 a0 时,f x| ax22x1 | ,记11gxax22x1, 0x4 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g x 图象对称轴 x,0 , aagx 在0 , 4 上单调减,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f maxmax f 0,f 4max1,|16a7 |716a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a0 时,f x|2x1 |,f max7 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a0 时,假如 0f14 ,即 a1 时,a411可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_maxmaxf 0,f ,af 4max 1, |a1 |,| 16a7 | ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1a4716即16714 时,afmaxmax1, 1a1,716 amax 1a1,716a ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 1a71 716a 116 a8a10 ,f max11 , a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1 时, 16fmaxmax1,a1,16a7 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1a1 时, 12a1112a12 a a0 , 16a7 116a882a10 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f max16a7 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7a11621时, 1a111212 aaa0 ,16a7116a882a10 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f max aa 1 时,1 ,f maxmax1,11 ,16a7a16a7 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 0a1 时, 14a4 , fmax f 0,f 41, |16a7 |716a 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_716a , a14111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上所述f max1,aa42可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_16a7,a12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 a0 时,f x草图如下,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 f 01, f 42716a1 ,11 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可令 ax2x1x022 得 x142a,2a2O24x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ax2x1212又令2 得 x2x046a,2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由图可知：f x1的解集为：20, 242a 22a46a2 a,4 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明： 函数问题中显现参数和肯定值符号要较多层次的进行分类争论,此题中引起争论的缘由有：对称轴位置、去除肯定值符号、两数大小关系等第2 小题主要借助于数形结合的思想解决问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 设实数 a 、 b 使方程 x4ax3bx 2ax10 有实根,求a 2b 2 的最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：原方程可化为x1 2xax1 b2x0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_简单证明 | x1 |2 , x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将 a, b 看作动点,方程表示一条直线l ,设原点到 l 距离为 d ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ xd 2 x1 2x1 2x2 21t2 2t1,记 t x1 24 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ d 24,取“ = ”时, t54 , a 2b 24 ,5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12ab202ab20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此时 xx2或 2 ,即a2b24或5a2b 24,5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 4a4此时5 或5,b 2b255224综上 ab 的最小值为5说明： 此题也可用二次方程根的分布来解,在上述解法中变换主元使问题中参数a 、b 消去, 简化明白题过程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5 假如函数f x1 x241 x124,求最大的 m m1,使得存在 tR 只要 x1, m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_时就有f xt x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： x1, m 时,f xt x 恒成立,即1 x4t1 2x ,即 xt1 24x,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即2xxt12 x ,即2 xxt1x2x ,对 1xm 恒成立,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ t1 2xxmax3 , t1x2x minm2m ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3t1m2m ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_要使 t 存在m2m3 即 m2m30 , m3m10 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ m 的最大值为 9说明：此题也可由数形结合求解,但不易说理,这里用别离变量法得出不等式,再由t 的存在性求出 m 的最大值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 假设xyk2xy 对 x0 , y0 恒成立,就 k 的最小值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：问题即为 x0 , y0 时, kxxy2 xy2x恒成立1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xy 2而 2xyx2xyy2xyyy,2x1 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x令t ,上式 2 ty0 , 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又令 2t12上式1u , u8u1 ,就 t212u1,48183 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_24u 24u924u49u22642可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_u3 , t 2 k621x,即2yax 2bx1 时, x2 2 xcy 2 maxy3 , x22 xy6 max,y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明： 形如：ex2dx的最值问题假如 xfR 可用判别式法, 假如在闭区间上求最值可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_用基本不等式或导数学问解之x2xy此题也可用基本不等式求2xyy的最值, 2xy2x 1yx1y ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而 1k 2 , k0 从而可求出 k6 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_27 已知函数1f x0ax20bxc a0 ,且02f xx 没有实根,那么f f xx 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_否有实根？证明你的结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： f f xx 没有实根可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f fxxaf 2 xbf xcx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aax2bxc 2b ax2bxccx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a ax2b1xcxb ax 2b1 xcxcx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ax2b1xc a 2 x2ab1xacb1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由已知1b1 24ac0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2而a2 b1 24a2 acb1a2 b124ac40,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f fxx 无实根可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明：在f f xx 中必有因式f xx 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_也 可 以 这 样 证 明 ： 假 设 a0 , f xx 无 解 , 就f xx0 恒 成 立 , 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f fxf xx 从而f fxx 无实根, a0时,同理可证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8 设f xax 2bx ,求满意以下条件的实数a 的值：至少有一正数b ,使f x 的定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_义域和值域相同可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： x 满意ax 2bx0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设 a0 ,就 xb 或 x a0 而 f x0 ,定义域与值域不一样.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设 a0 , f x）bx , b 为正数时f x 定义域和值域均为0, ,满意题意.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设 a0 ,定义域为0,b , af xa xbb 2 2,2a4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bb 2bx时, fmax,2a4aa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b 24a ab 2a 2 ,即 a4 , 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上所述 a0 或 a4 ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9 设函数f x| lgx |,有 0ab 且f af b2 f 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 求 a、 b 满意的关系. 2 证明：存在这样的b ,使 3b4 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由已知lg alg b , ab1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 f b2 | lgab | ,由于 ab 22ab1 可得：f bab2 lg,42可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1abab 24,消去 a 即 b4b32b 210 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_记 gbb 44b32b 21 ,就g3g40 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 g x 在 3 , 4 连续,存在 x03,4 使 gx0 0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即存在这样的 b 使 3b10 已 知 二 次 函 数4 f xax 2bxa满 足 条 件f x7 4f 74x , 且 方 程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x7 xa 有两个相等的实数根1 求 f x 的解析式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2 是否存在实数m , n 0mn ,使得f x的定义域和值域分别是 m, n 和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 3 ,n3 ？假设存在,求出m, n的值.假设不存在,请说明m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_理由解：1 由条件有f xax 27 ax2a 又f xY7 xa ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2即 ax 7 a27x0 有两个相等的实数根,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得 a2 故f x2x 27x2 O1 73X可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2 存 在 如 图 1 , 设g x3 x x0 , 就 当4图 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x1 x3 2x10 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得： x11, x23, x31舍去2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4acb233738可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 f xmax,此时 x1,3 ,所以1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4a84f x max11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故取 m8 , n 113 时,f x2x27x2 在 811,3 上值域为1, 33 符合条件8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习：对一切 x R, f x = ax 2+ bx + c a < b 的值恒为非负实数,就 .abc 的最小值为ba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、等差数列和等比数列等差数列和等比数列是高考中的热点问题,要娴熟把握其通项公式和求和公式,把握等差数列和等比数列的性质,并会利用等差数列、等比数列定义解题对于等差数列,假设公差不2为 0 ,其和可以表示为 Snnn .对于等比数列,假设公比q1 ,其和可以表示为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Sna111qn qA1qn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 设数列 an 是等差数列,其前n项和为Sn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 求证：数列 Sn n为等差数列. 2 设 an 各项为正, a11, a115a2 ,假设存在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_互异正整数 m ,n,p 满意 mp2n . SmSp2Sn ,求集合 x, y| SxSy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=1 , xN * , yN * 的元素个数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点拨：设数列 an 公差 d , Snna1n n 2Sn1 d ,nn1ad1,简单证明2 Sn 为n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2等差数列从而可设Snnn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于 2 m2mn