2022年高中数学排列组合题型总结与易错点提示.docx

精品_精品资料_排列组合复习巩固可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 分类计数原理 加法原理 完成一件事,有 n 类方法,在第 1 类方法中有m1 种不同的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法,在第 2 类方法中有m2 种不同的方法,在第 n 类可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法中有mn 种不同的方法, 那么完成这件事共有 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Nm1m2Lmn 种不同的方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 分步计数原理（乘法原理）完成一件事,需要分成 n 个步骤,做第 1 步有m1 种不同的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法,做第 2 步有m2 种不同的方法, ,做第n 步有mn 种不可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同的方法, 那么完成这件事共有： 法3. 分类计数原理分步计数原理区分Nm1m2Lmn 种不同的方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立的完成这件事.分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成大事的一个阶段,不能完成整个大事一. 特殊元素和特殊位置优先策略例 1. 由 0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解: 由于末位和首位有特殊要求, 应当优先支配 , 以免不合要求的元素占了这两个位置 .131可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_先排末位共有1 C 4A4C3C3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C4然后排首位共有1A4最终排其它位置共有 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由分步计数原理得C C A113434288可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里 , 如两种葵花可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不种在中间, 也不种在两端的花盆里, 问有多少不同的种法？二. 相邻元素捆绑策略例 2. 7 人站成一排 , 其中甲乙相邻且丙丁相邻 ,共有多少种不同的排法 .解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排.由分步计数原理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可得共有522A A A522480 种不同的排法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_甲 乙丙 丁要求某几个元素必需排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列 ,同时要留意合并元素内部也必需排列.练习题: 某人射击 8 枪,命中 4 枪, 4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数为20三. 不相邻问题插空策略5例 3. 一个晚会的节目有 4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱, 舞蹈节目不能连续出场 , 就节目的出场次序有多少种？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解: 分两步进行第一步排 2 个相声和 3 个独唱共有A5 种,第可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二步将 4 舞蹈插入第一步排好的 6 个元素中间包含首尾可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两个空位共有种4 不同的方法 , 由分步计数原理 , 节目可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AA A656的不同次序共有 54种元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端练习题：某班新年联欢会原定的5 个节目已排成节目单, 开演前又增加了两个新节目 . 假如将这两个新节目插入可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_原节目单中, 且两个新节目不相邻, 那么不同插法的种数为 30四. 定序问题倍缩空位插入策略例 4.7人排队, 其中甲乙丙 3 人次序肯定共有多少不同的排法解: 倍缩法 对于某几个元素次序肯定的排列问题, 可先把这几个元素与其他元素一起进行排列, 然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数, 就共有不同排法种数是： A 7/ A373 空位法 设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐7共有 A4 种方法,其余的三个位置甲乙丙共有1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_种坐法,就共有A 4 种方法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7摸索: 可以先让甲乙丙就坐吗 .（插入法 先排甲乙丙三个人 , 共有 1 种排法, 再把其余 4四人依次插入共有方法定序问题可以用倍缩法,仍可转化为占位插空模型处理练习题:10 人身高各不相等 , 排成前后排,每排 5 人, 要求C10从左至右身高逐步增加, 共有多少排法？5五. 重排问题求幂策略例 5. 把 6 名实习生安排到 7 个车间实习 , 共有多少种不同的分法解: 完成此事共分六步 : 把第一名实习生安排到车间有7种分法. 把其次名实习生安排到车间也有7 种分依此类可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推, 由分步计数原理共有76 种不同的排法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答应重复的排列问题的特点是以元素为争论对象,元素不受位置的约束,可以逐一支配各个元素的位置,一般的n 不可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同的元素没有限制的支配在m 个位置上的排列数为mn 种可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习题：1. 某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目 . 假如将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为 422. 某 8 层大楼一楼电梯上来 8 名乘客人 , 他们到各自的一层下电梯 , 下电梯的方法 78六. 环排问题线排策略例 6. 8人围桌而坐 , 共有多少种坐法 .解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_尾之分,所以固定一人4 并从今位置把圆形展成直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A4其余 7 人共有（ 8-1 ）；种排法即 7 ；C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_DBEAA B C D E FFHGG H A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A1m一般的,n 个不同元素作圆形排列 ,共有 n-1. 种排法 .假如从 n 个不同元素中取出 m 个元素作圆形排列共有nn练习题： 6 颗颜色不同的钻石,可穿成几种钻石圈120七. 多排问题直排策略例 7.8 人排成前后两排 , 每排 4 人, 其中甲乙在前排 , 丙在后排, 共有多少排法2解:8 人排前后两排 , 相当于 8 人坐 8 把椅子, 可以把椅子可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_排成一排 . 个特殊元素有A 4 种, 再排后 4 个位置上的特可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A4殊元素丙有1 种, 其余的 5 人在 5 个位置上任意排列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5有A5 种, 就共有A 4 A 4 A5 种215前 排后 排可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般的 , 元素分成多排的排列问题 , 可归结为一排考虑 ,再分段争论 .练习题：有两排座位,前排 11 个座位,后排 12 个座位, 现支配 2 人就座规定前排中间的 3 个座位不能坐, 并且这 2 人不左右相邻,那么不同排法的种数是346八. 排列组合混合问题先选后排策略C2例 8. 有 5 个不同的小球 , 装入 4 个不同的盒内 , 每盒至少装一个球, 共有多少不同的装法 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解: 第一步从 5 个球中选出 2 个组成复合元共有5 种方法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_再把 4 个元素 包含一个复合元素 装入 4 个不同的盒可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A4内有 4C A2454种方法,依据分步计数原理装球的方法共有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解决排列组合混合问题 ,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相像吗.练习题：一个班有 6 名战士, 其中正副班长各 1 人现从中选4 人完成四种不同的任务 , 每人完成一种任务 , 且正副班长有且只有 1 人参与 , 就不同的选法有 192 种九. 小集团问题先整体后局部策略例 9. 用 1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹 1, 在两个奇数之间 , 这样的五位数有多少个？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22解：把 , , , 当作一个小集团与排队共有A 2 种排可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2法,再排小集团内部共有A2 A2 种排法, 由分步计数原可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 2 A 2 A 2理共有练习题：222 种排法.15243可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_254. 方案展出 10 幅不同的画 , 其中 1 幅水彩画 , 幅油画 , 幅国画 , 排成一行陈设 , 要求同一 品种的必需连在一起, 并且水彩画不在两端, 那么共有陈设方式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的种数为A 2A5 A 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 5男生和女生站成一排照像 , 男生相邻 , 女生也相邻的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_255排法有A2 A5 A5 种可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_十. 元素相同问题隔板策略例 10. 有 10 个运动员名额,分给 7 个班,每班至少一个 ,有多少种安排方案？C6解：由于 10 个名额没有差别,把它们排成一排.相邻名额之间形成个间隙. 在个空档中选个位置插个隔板, 可把名额分成份, 对应的分给个班可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_级,每一种插板方法对应一种分法共有9 种分法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一二三四五六七班班班班班班班将 n 个相同的元素分成 m 份（ n, m 为正整数） ,每份至少一个元素 ,可以用 m-1 块隔板,插入n 个元素排成一排的 n-1 个Cn 1间隙中,全部分法数为m 1练习题：1 10 个相同的球装 5 个盒中, 每盒至少一有多少装法？C49可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 . xyzw100 求这个方程组的自然数解的组数C103可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3十一. 正难就反总体剔除策略例 11. 从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数, 使其和为不小于 10 的偶数, 不同的取法有多少种？C3解：这问题中假如直接求不小于10 的偶数很困难 , 可用总体剔除法.这十个数字中有5 个偶数 5 个奇数, 所取可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的三个数含有 3 个偶数的取法有5 , 只含有 1 个偶数的取可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法有 C1C 2C1C 2C3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_55 , 和为偶数的取法共有 555 .再剔除和小于 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的偶数共 9 种,符合条件的取法共有C1C 2C 39可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_555有些排列组合问题 ,正面直接考虑比较复杂 ,而它的反面往往比较简捷 ,可以先求出它的反面,再从整体中剔除 .练习题：我们班里有 43 位同学, 从中任抽 5 人, 正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种 .十二. 平均分组问题除法策略例 12. 6本不同的书平均分成 3 堆, 每堆 2 本共有多少分法？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解:分三步取书得222C C C642种方法 , 但这里显现重复计数的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_现象, 不妨记 6 本书为 ABCDE,F如第一步取 AB,其次步取 CD,第三步取 EF 该分法记为 AB,CD,EF, 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C C C222642中仍有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB,EF,CD,CD,AB,EF,CD,EF,ABEF,CD,AB,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_EF,AB,CD 共 有3种 取 法 , 而 这 些 分 法 仅 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A3AB,CD,EF 一种分法 , 故共有2226423C C C/A 3 种分法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n平均分成的组 ,不管它们的次序如何,都是一种情形 ,所以分组后要肯定要除以An n 为均分的组数 防止重复计数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习题：1将 13 个球队分成 3 组, 一组 5 个队, 其它两组 4 个队,有13842多少分法？（ C5 C 4C 4 / A2 ）2.10 名同学分成 3 组, 其中一组 4 人,另两组 3 人但正副班长不能分在同一组 , 有多少种不同的分组方法（1540）3. 某校高二年级共有六个班级, 现从外的转入 4 名同学, 要支配到该年级的两个班级且每班支配2 名,就不同的支配方案种数为 （ C 2C 2 A 2/ A 2904262）十三. 合理分类与分步策略例 13. 在一次演唱会上共 10 名演员, 其中 8 人能能唱歌 ,5 人会跳舞 , 现要演出一个 2 人唱歌 2 人伴舞的节目 , 有多少选派方法22解： 10 演员中有 5 人只会唱歌, 2 人只会跳舞 3 人为全能演员.选上唱歌人员为标准进行争论只会唱的 5 人可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_中没有人选上唱歌人员共有C3 C3 种, 只会唱的 5 人中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C 1C1C 2C C只有 1 人选上唱歌人员534 种, 只会唱的 5 人中只有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C1C 12222 人选上唱歌人员有22 种,由分类计数原理共有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C 2C 2553353C4C5C5 种.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解含有约束条件的排列组合问题,可按元素的性质进行分类,按大事发生的连续过程分步,做到标准明确.分步层次清晰,不重不漏,分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终.练习题：1. 从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参与某个座谈会, 如这 4 人中必需既有男生又有女生,就不同的选法共有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_342. 3 成人 2 小孩乘船游玩 ,1 号船最多乘 3 人, 2 号船最多乘 2 人,3 号船只能乘 1 人, 他们任选 2 只船或 3 只船, 但小孩不能单独乘一只船 , 这 3 人共有多少乘船方法 .（27）此题仍有如下分类标准：* 以 3 个全能演员是否选上唱歌人员为标准* 以 3 个全能演员是否选上跳舞人员为标准* 以只会跳舞的 2 人是否选上跳舞人员为标准都可经得到正确结果十四. 构造模型策略例 14.公路上有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯 ,现要关掉其中的 3 盏, 但不能关掉相邻的 2 盏或 3 盏, 也不能关掉两端的 2 盏, 求满意条件的关灯方法有多少种？解：把此问题当作一个排队模型在6 盏亮灯的 5 个间隙中C种5插入 3 个不亮的灯有 3一些不易懂得的排列组合题假如能转化为特别熟识的模型,如占位填空模型,排队模型,装盒模型等,可使问题直观解决练习题：某排共有 10 个座位,如 4 人就坐,每人左右两边都有空位,那么不同的坐法有多少种？（120）十五. 实际操作穷举策略2例 15. 设有编号 1,2,3,4,5的五个球和编号 1,2,3,4,5的五个盒子 , 现将 5 个球投入这五个盒子内 , 要求每个盒子放一个球, 并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同, 有多少投法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有C5 种仍剩下 3 球 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_盒序号不能对应, 利用实际操作法, 假如剩下 3,4,5 号球, 3,4,5 号盒 3 号球装 4 号盒时,就 4,5 号球有只有 1 种装法,同理 3 号球装 5 号盒时,4,5 号球有5也只有 1 种装法, 由分步计数原理有 2C2 种5343号盒4号盒5号盒对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用公式进行运算,往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果练习题：1. 同一寝室 4 人, 每人写一张贺年卡集中起来 , 然后每人各拿一张别人的贺年卡,就四张贺年卡不同的安排方式有 多少种？ 92. 给图中区域涂色 , 要求相邻区 域不同色 , 现有 4 种可选颜色, 就不同的着色方法有 72 种14325十六.分解与合成策略例 16. 30030 能被多少个不同的偶数整除分析： 先把 30030 分解成质因数的乘积形式30030=2× 3× 5 × 7× 11×13,依题意可知偶因数必先取2, 再从其余 5 个因数中任取如干个组成乘积,全部的偶因12345数为： CCCCC55555练习: 正方体的 8 个顶点可连成多少对异面直线解：我们先从 8 个顶点中任取 4 个顶点构成四体共有体共C841258 , 每个四周体有 3 对异面直线 , 正方体中的 8 个顶点可连成 358174对异面直线分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构 ,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_十七. 化归策略例 17. 25人排成 5×5 方阵, 现从中选 3 人, 要求 3 人不在同一行也不在同一列 , 不同的选法有多少种？解：将这个问题退化成 9 人排成 3×3 方阵, 现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一列 , 有多少选法 . 这样每行必有 1 人从其中的一行中选取 1 人后, 把这人所在的行列都可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_划掉,如此连续下去 . 从 3× 3 方队中选 3 人的方法有C C C111321可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_种.再从 5×5 方阵选出 3×3 方阵便可解决问题 . 从 5× 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C3C 3方队中选取 3 行 3 列有55 选法所以从 5×5 方阵选不在同可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一行也不在同一列的 3 人有C 3C 3 C1C1C 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_55321 选法.处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题,通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法,从而进下一步解决原先的问题练习题: 某城市的街区由 12 个全等的矩形区组成其中实线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_表示公路,从 A 走到 B 的最短路径有多少种？ 335 C7B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A十八. 数字排序问题查字典策略例 18由 0, 1, 2,3,4, 5 六个数字可以组成多少个没有重复的比 324105 大的数？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解: N2 A52 A 4AAA321321297可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_54数字排序问题可用查字典法, 查字典的法应从高位向低位查, 依次求出其符合要求的个数, 依据分类计数原理求出其总数.练习: 用 0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数, 将这些数字从小到大排列起来, 第 71 个数是3140可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_十九. 树图策略例 19 3 人相互传球 , 由甲开头发球 , 并作为第一次传球 , 经过5 次传求后 , 球仍回到甲的手中 , 就不同的传球方式有N10对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用练习:分别编有 1,2,3,4,5 号码的人与椅,其中 i 号人可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不坐 i 号椅（ i1,2,3,4,5 ）的不同坐法有多少种？N44可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二十. 复杂分类问题表格策略例 20有红、黄、兰色的球各 5 只, 分别标有 A、B、C、D、E 五个字母 , 现从中取 5 只, 要求各字母均有且三色 齐备, 就共有多少种不同的取法解: 红111223黄123121兰321211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_取法C1C1C 1C 2C 1C 3C 2C1C 2 C 2C 3C 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_545454535352一些复杂的分类选取题,要满意的条件比较多 , 无从入手 ,常常显现重复遗漏的情形, 用表格法 ,就分类明确 ,能保证题中须满意的条件 ,能达到好的成效 .二十一：住店法策略解决“答应重复排列问题”要留意区分两类元素：一类元素可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作 “客”,能重复的元素看作“店”,再利用乘法原理直接求解.例 21. 七名同学争夺五项冠军,每项冠军只能由一人获得,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_获得冠军的可能的种数有.分析：因同一同学可以同时夺得n 项冠军,故同学可重复排列,将七名同学看作7 家“店”,五项冠军看作5 名“客”,每个“客”有 7 种住宿法,由乘法原理得 75 种.排列组合易错题正误会析1 没有懂得两个基本原理出错排列组合问题基于两个基本计数原理,即加法原理和乘法原理,故懂得“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提 .例 1 从 6 台原装运算机和 5 台组装运算机中任意选取 5 台,其中至少有原装与组装运算机各两台 , 就不同的取法有种.误会：由于可以取 2 台原装与 3 台组装运算机或是 3台原装与 2 台组装运算机,所以只有 2 种取法.错因分析：误会的缘由在于没有意识到“选取2 台原装与 3 台组装运算机或是 3 台原装与 2 台组装运算机”是完成任务的两“类”方法,每类方法中都仍有不同的取法.正解： 由分析,完成第一类方法仍可以分成两步：第可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C 2一步在原装运算机中任意选取 2 台,有6 种方法.其次步可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C 3CC是在组装运算机任意选取 3 台,有5 种方法,据乘法原理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C2共有 65 种方法. 同理,完成其次类方法中有32 种方法. 据可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C 3加法原理完成 全部的选取过程共有CCC652336562350 种方法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_CC54例 2在一次运动会上有四项竞赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生,那么不同的夺冠情形共有（）种.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A4（ A） 3（B） 43（C） 34（D） 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_误会：把四个冠军,排在甲、乙、丙三个位置上,选A.正解： 四项竞赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_每项冠军都有 3 种选取方法,由乘法原理共有333334 种.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明：此题仍有同学这样误会,甲乙丙夺冠均有四种可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_情形,由乘法原理得43 .这是由于没有考虑到某项冠军一旦可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_被一人夺得后,其他人就不再有4 种夺冠可能 . 2 判定不出是排列仍是组合出错在判定一个问题是排列仍是组合问题时,主要看元素A 8的组成有没有次序性,有次序的是排列,无次序的是组合. 例 3 有大小外形相同的 3 个红色小球和 5 个白色小球,排成一排,共有多少种不同的排列方法？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_误会：由于是 8 个小球的全排列,所以共有8 种方法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_错因分析：误会中没有考虑3 个红色小球是完全相同的, 5 个白色小球也是完全相同的,同色球之间互换位置是同一种排法 .正解： 8 个小球排好后对应着 8 个位置,题中的排法相当于在 8 个位置中选出 3 个位置给红球,剩下的位置给白球,由于这 3 个红球完全相同,所以没有次序,是组合可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C8问题.这样共有： 3 重复运算出错356排法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在排列组合中常会遇到元素安排问题、平均分组问题等,这些问题要留意防止重复计数,产生错误.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 45 本不同的书全部分给 4 个同学,每个同学至少一本,不同的分法种数为（）（A）480 种（B）240 种96 种（C）120 种（D）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_误会：先从 5 本书中取 4 本分给 4 个人,有5 种方法,剩可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 4A5下的 1 本书可以给任意一个人有 4 种分法,共有 4不同的分法,选 A.4480 种可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_错因分析：设 5 本书为 a 、b 、c 、d 、e ,四个人为甲、乙、丙、丁.依据上述分法可能如下的表 1 和表 2：甲ae乙b丙c丁d甲ea乙b丙c丁d表表12表 1 是甲第一分得 a 、乙分得 b 、丙分得 c 、丁分得 d ,最终一本书 e 给甲的情形.表 2 是甲第一分得 e 、乙分得 b 、丙分得c 、丁分得 d ,最终一本书 a 给甲的情形 .这两种情形是完全相同的,而在误会中运算成了不同的情形.正好重复了 一次.正解： 第一把 5 本书转化成 4 本书,然后分给 4 个人.5 种第一步：从 5 本书中任意取出 2 本捆绑成一本书,有 C 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法.其次步：再把 4 本书分给 4 个同学,有4 种方法.由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 4乘法原理,共有24240 种方法,应选 B.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资