2020年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题.docx
2020 年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上x ® 0+时，下列无穷小量中最高阶的是（1.当）òòòò1-cosx(e 2 -1)dtln(1+ t )dtsin sin t dtsin tdtxxxA.B.3C.2D.3t00001e ln(1+ x)x-1(x) =2.函数 f的第二类间断点的个数为（）(e -1)(x - 2)xA.1B.2C. 3D.4arcsin xx(1- x)1dx= ()ò3.A.0pppC.p22B.D.4848(x) = x ln(1- x),³ 3f ( )(0) = ( )时，4.已知 f当 nn2( )n - 2 !( )n - 2 !n!n!-A.B.C.D.n - 2n - 2nn, xy ¹ 0,ìxy¶f¶ fï2=1=1f(x, y) = x, y = 0,í5.关于给出下列结论：（1）¶x（2）¶x¶y（3）ïy, x = 0,(0,0)î(0,0)lim f (x, y) = 0limlim ( , ) = 0f x y（4）C. 2。其中正确的个数为（）( ) ( )x,y ® 0,0y®0 x®0A.4B. 3D. 1 f (x) -2,2在¢( ) > ( ) > 0f x f x6.设上可导，且，则（）f (2)f (-2)f (0)f (1)>1> e< e2< e3A.B.C.D.f (-1)f (-1)f (-1)f (-1)A ¹ 012a ,a ,a ,a* = 0 通解为7.四阶方阵 A 不可逆，为矩阵 A 的列向量组，则 A X的1234（）aaaaaax = k + k+ k+ kx = k + kB.+ k+ kA.C.112233112234aaaa ax = k + kax = k + kD.112334122334a ,aa8.A 为 3 阶方阵，为属于特征值 1 的线性无关的特征向量， 为 A 的属于-1 的特征向123é1ùêêëúP AP =-1量，满足 -1的可逆矩阵 P 为（）úê1úû第 1 页 共 3 页 ()()A. a a a a+ , ,-B. a a a a+ , ,-13231223(B. a a a aD. a a a a+ ,- ,+ ,- ,13321232二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分请将答案写在答题纸指定位置上ìï( )x=t 1+d y22=9.设 í，则.ï =îy+t 1dx2ln t2t=1ò ò110.求 dy1x 1dx =+.30y( )= arctan xy + sin x + y , dz则=11.设 z.( )p0,12.斜边长为2a 的等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中, 且斜边与水面相齐，记重力加速度为 ，水密度为 r ，则三角形平板的一侧收到的压力为.g( )( )( )( )ò +¥= y x¢¢+ ¢+ =满足 y 2y y 0, 且y 0 = 0 y¢ 0 =1，y x dx=13.设 y，则.0a 0 -1 10 a 1 -1-1 1 a 01 -1 0 a=14.求.三、解答题：1523 小题，共 94 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将答案写在答题纸指定位置上15.（本题满分 10分）.x ( )1+x=x > 0的斜渐近线。求曲线 y( )1+ xx16.（本题满分 10分）( )设 f x 连续, 且lim( )f x( ) ( )( )( )=1,=ò 1 f xt dt， g¢ x求g¢ x x = 0且证明 在 处连续.g xxx®0017.（本题满分 10分）( )= x + 8y - xy求 f x的极值。33第 2 页 共 3 页 18.（本题满分 10 分）æ 1 ö x + 2x( ) ( )( )+上有定义，且满足2 f x x f2+¥=设 f x 在 0,ç ÷2è x ø1+ x2( )（1）求 f x ；( )13= f x , y = , y =（2）求曲线 y及 y 围成的图形绕 x 轴旋转一周的体积。2219.（本题满分 10 分）x + y22òòdsD x =1,x = 2, y = x，其中区域 由 及 x 轴围成.计算二重积分xD20. (本题满分 11 分)( )=ò e 2dtx已知 f xt1( ) ( ) ( )xxx= 2 - ex$ Î 1,2 , f（1）证明：（2）证明：；。2( ) ( )hh$ Î 1,2 , f 2 = ln 2× ×eh221.（本题满分 11 分）( )( ) ( )( )已知 f x 可导, 且 f x 0 x 0 . 曲线 y f x 过原点, 点 为曲线 y f x( )¢ >³=M上任意一点, 过点 M 的切线与 x 轴相交于点T , 过点 M 做 MP 垂直于 x 轴于点 P , 且曲( )= f x线 y与直线 MP 以及 x 轴所围成图形的面积与三角形 MTP的面积比恒为 3: 2 , 求曲线满足的方程.22.（本题满分 11 分）(二次型 f x , x , x)= x + x + x + 2ax x + 2ax x + 2ax xx = Py经可逆线性变换22221变换为 g y , y , y23131 21 32 3()= y + y + 4y + 2y y22221（I）求a 的值；23131 2（II）求可逆矩阵 .P23.（本题满分 11 分）设 A 为 2 阶矩阵， P= (, A) ， 是非零向量且不是 A 的特征向量。（I）证明矩阵 P 可逆；（II）若 A2 + A - 6 = 0，求 P AP 并判断 A 是否相似于对角矩阵。-1第 3 页 共 3 页
