高中数学：专题三角函数的图象与性质导学案.pdf

专题 三角函数的图象与性质 最新考纲 考情考向分析 1.能画出ysin x，ycos x，ytan x的图象，了解三角函数的周期性 2.理解正弦函数、余弦函数在0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值，图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间2，2内的单调性.以考查三角函数的图象和性质为主，题目涉及三角函数的图象及应用、图象的对称性、单调性、周期性、最值、零点考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识 题型既有选择题和填空题，又有解答题，中档难度.1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数 ysin x，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,0)，2，1，(，0)，32，1，(2，0)(2)在余弦函数 ycos x，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,1)，2，0，(，1)，32，0，(2，1)2正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中 kZ)函数 ysin x ycos x ytan x 图象 定义域 R R x|xR，且 xk2 值域 1,1 1,1 R 周期性 2 2 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 2k2，2k2 2k，2k k2，k2 递减区间 2k2，2k32 2k，2k 无 对称中心(k，0)k2，0 k2，0 对称轴方程 xk2 xk 无 知识拓展 1对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期 2奇偶性 若 f(x)Asin(x)(A，0)，则：(1)f(x)为偶函数的等价于是 2k(kZ)；(2)f(x)为奇函数的等价于是 k(kZ)题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)ysin x 在第一、第四象限是增函数()(2)由 sin623sin 6知，23是正弦函数 ysin x(xR)的一个周期()(3)正切函数 ytan x 在定义域内是增函数()(4)已知 yksin x1，xR，则 y 的最大值为 k1.()(5)ysin|x|是偶函数()题组二 教材改编 2P35 例 2函数 f(x)cos2x4的最小正周期是_ 3P46A 组 T2y3sin2x6在区间0，2上的值域是_ 4P45T3ytan 2x 的定义域是_.题组三 易错自纠 5下列函数中最小正周期为 且图象关于直线 x3对称的是()Ay2sin2x3 By2sin2x6 Cy2sinx23 Dy2sin2x3 6函数 f(x)4sin32x 的单调递减区间是_ 7cos 23，sin 68，cos 97的大小关系是_ 题型一 三角函数的定义域和值域 1函数 f(x)2tan2x6的定义域是()A.x x6 B.x x12 C.x xk6kZ D.x xk26kZ 2函数 y sin xcos x的定义域为_ 3已知函数 f(x)sinx6，其中 x3，a，若 f(x)的值域是12，1，则实数 a 的取值范围是_ 4函数 ysin xcos xsin xcos x 的值域为_ 思维升华(1)三角函数定义域的求法 求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解(2)三角函数值域的不同求法 利用 sin x 和 cos x 的值域直接求；把所给的三角函数式变换成 yAsin(x)(A，0)的形式求值域；通过换元，转换成二次函数求值域 题型二 三角函数的单调性 命题点 1 求三角函数的单调性 典例(1)函数 f(x)tan2x3的单调递增区间是()A.k212，k2512(kZ)B.k212，k2512(kZ)C.k6，k23(kZ)D.k12，k512(kZ)(2)(哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)函数 y12sin x32cos xx0，2的单调递增区间是_ 命题点 2 根据单调性求参数 典例 已知 0，函数 f(x)sinx4在2，上单调递减，则 的取值范围是_ 引申探究 本例中，若已知 0，函数 f(x)cosx4在2，上单调递增，则 的取值范围是_ 思维升华(1)已知三角函数解析式求单调区间 求形如 yAsin(x)或 yAcos(x)(其中 0)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如果 0，可借助诱导公式将 化为正数，防止把单调性弄错(2)已知三角函数的单调区间求参数 先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解 跟踪训练 若函数 f(x)sin x(0)在区间0，3上单调递增，在区间3，2上单调递减，则 等于()A.23 B.32 C2 D3 题型三 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 命题点 1 三角函数的周期性 典例(1)在函数ycos|2x|，y|cos x|，ycos2x6，ytan2x4中，最小正周期为 的所有函数为()A B C D (2)若函数 f(x)2tankx3的最小正周期 T 满足 1T0，|0，0)若 f(x)在区间6，2上具有单调性，且 f2f23f6，则 f(x)的最小正周期为_ 1(2018广州质检)下列函数中，是周期函数的为()Aysin|x|Bycos|x|Cytan|x|Dy(x1)0 2函数 f(x)sin2x4在区间0，2上的最小值为()A1 B22 C.22 D0 3函数 ysin x2的图象是()4函数 ycos2x2sin x 的最大值与最小值分别为()A3，1 B3，2 C2，1 D2，2 5 已知函数 f(x)2sin(2x)|0，函数 f(x)2asin2x62ab，当 x0，2时，5f(x)1.(1)求常数 a，b 的值；(2)设 g(x)fx2且 lg g(x)0，求 g(x)的单调区间 函数 yAsin(x)的图象及应用 最新考纲 考情考向分析 1.了解函数yAsin(x)的物理意义；能画出yAsin(x)的图象 2.了解参数A，对函数图象变化的影响 3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.以考查函数 yAsin(x)的图象的五点法画图、图象之间的平移伸缩变换、由图象求函数解析式以及利用正弦型函数解决实际问题为主，常与三角函数的性质、三角恒等变换结合起来进行综合考查，加强数形结合思想的应用意识 题型为选择题和填空题，中档难度.1yAsin(x)的有关概念 yAsin(x)(A0，0)，xR 振幅 周期 频率 相位 初相 A T2 f1T2 x 2.用五点法画 yAsin(x)(A0，0，xR)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示：x 0 2 32 2 x 0 2 32 2 yAsin(x)0 A 0 A 0 3.函数 ysin x 的图象经变换得到 yAsin(x)(A0，0)的图象的两种途径 知识拓展 1函数 yAsin(x)k 图象平移的规律：“左加右减，上加下减”2由 ysin x 到 ysin(x)(0，0)的变换：向左平移个单位长度而非 个单位长度 3 函数 yAsin(x)的对称轴由 xk2，kZ 确定；对称中心由 xk，kZ确定其横坐标 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)ysinx4的图象是由 ysinx4的图象向右平移2个单位长度得到的()(2)将函数 ysin x 的图象向右平移(0)个单位长度，得到函数 ysin(x)的图象()(3)函数 yAcos(x)的最小正周期为 T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.()(4)由图象求函数解析式时，振幅 A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的()题组二 教材改编 2为了得到函数 y2sin2x3的图象，可以将函数 y2sin 2x 的图象()A向右平移6个单位长度 B向右平移3个单位长度 C向左平移6个单位长度 D向左平移3个单位长度 3函数 y2sin12x3的振幅、频率和初相分别为()A2,4，3 B2，14，3 C2，14，3 D2,4，3 4如图，某地一天从 614 时的温度变化曲线近似满足函数 yAsin(x)b，则这段曲线的函数解析式为_ 题组三 易错自纠 5要得到函数 ysin4x3的图象，只需将函数 ysin 4x 的图象()A向左平移12个单位长度 B向右平移12个单位长度 C向左平移3个单位长度 D向右平移3个单位长度 6将函数 y2sin2x6的图象向右平移14个周期后，所得图象的函数为()Ay2sin2x4 By2sin2x3 Cy2sin2x4 Dy2sin2x3 7函数 f(x)Asin(x)(A0，0，|)的部分图象如图所示，则函数 f(x)的解析式为_ .题型一 函数 yAsin(x)的图象及变换 典例 已知函数 y2sin2x3.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明 y2sin2x3的图象可由 ysin x 的图象经过怎样的变换而得到 思维升华(1)yAsin(x)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换 zx计算五点坐标(2)由函数 ysin x 的图象通过变换得到 yAsin(x)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”跟踪训练(1)(2018石家庄调研)若把函数 ysinx6的图象向左平移3个单位长度，所得到的图象与函数 ycos x 的图象重合，则 的一个可能取值是()A2 B.32 C.23 D.12 (2)把函数 ysin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移4个单位长度，得到的函数图象的解析式是_ 题型二 由图象确定 yAsin(x)的解析式 典例(1)函数 yAsin(x)的部分图象如图所示，则 y_.(2)已知函数 f(x)sin(x)0，|0，0，|0)个单位长度后，得到函数 g(x)的图象关于点3，32对称，则 m的值可能为()A.6 B.2 C.76 D.712 题型三 三角函数图象性质的应用 命题点 1 三角函数模型 典例 如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y3sin6x k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A5 B6 C8 D10 命题点 2 函数零点(方程根)问题 典例 已知关于 x 的方程 2sin2x 3sin 2xm10 在2，上有两个不同的实数根，则 m的取值范围是_ 引申探究 本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则 m 的取值范围是_ 命题点 3 三角函数图象性质的综合 典例 已知函数 f(x)3sin2x3(0)的图象与 x 轴相邻两个交点的距离为2.(1)求函数 f(x)的解析式；(2)若将 f(x)的图象向左平移 m(m0)个单位长度得到函数 g(x)的图象恰好经过点3，0，求当 m 取得最小值时，g(x)在6，712上的单调递增区间 思维升华(1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数(3)研究 yAsin(x)的性质时可将 x 视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题 跟踪训练(1)已知函数 f(x)sin(x)0，22的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为 2 2，且过点2，12，则函数 f(x)的解析式为_ (2)若函数 f(x)sinx6(0)满足 f(0)f3，且函数在0，2上有且只有一个零点，则f(x)的最小正周期为_ 三角函数图象与性质的综合问题 典例(12分)已知函数f(x)2 3sinx24cosx24sin(x)（稍微滞后来处理）f(x)2 3sinx24cosx24sin(x)3cos xsin x2sinx3(1)求 f(x)的最小正周期；(2)若将 f(x)的图象向右平移6个单位长度，得到函数 g(x)的图象，求函数 g(x)在区间0，上的最大值和最小值 思维点拨(1)先将 f(x)化成 yAsin(x)的形式再求周期；(2)将 f(x)解析式中的 x 换成 x6，得 g(x)，然后利用整体思想求最值 解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤 第一步：(化简)将 f(x)化为 asin xbcos x 的形式；第二步：(用辅助角公式)构造 f(x)a2b2sin xaa2b2cos xba2b2；第三步：(求性质)利用 f(x)a2b2sin(x)研究三角函数的性质；第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.1已知曲线 C1：ycos x，C2：ysin2x23，则下面结论正确的是()A把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线 C2 B把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线 C2 C把 C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线 C2 D把 C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线 C2 2若将函数 f(x)sin 2xcos 2x 的图象向右平移 个单位长度，所得图象关于 y 轴对称，则 的最小正值是()A.8 B.4 C.38 D.54 3若函数 ysin(x)0，|0)个单位长度，所得函数图象关于 y 轴对称，则 a 的最小值是()A.6 B.3 C.2 D.23 6函数 f(x)sin(2x)|2的图象向左平移6个单位长度后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数 f(x)在0，2上的最小值为()A32 B12 C.12 D.32 7将函数 ysin x 的图象上所有的点向右平移10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是_ 8函数 f(x)2sin(x)0，00，0，|0)图象上最高点的纵坐标为 2，且图象上相邻两个最高点的距离为.(1)求 a 和 的值；(2)求函数 f(x)在0，上的单调递减区间 13 将函数 f(x)sin(2x)22的图象向右平移(00)，xR.在曲线 yf(x)与直线 y1 的交点中，若相邻交点距离的最小值为3，则 f(x)的最小正周期为_ 15.设偶函数 f(x)Asin(x)(A0，0,0)的部分图象如图所示，KLM 为等腰直角三角形，KML90，KL1，则 f16的值为_ 16设函数 f(x)sinx6sinx2，其中 03.已知 f60.(1)求；(2)将函数 yf(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移4个单位长度，得到函数 yg(x)的图象，求 g(x)在4，34上的最小值