平面向量数量积的物理背景及其含义必修四数学课件.pptx

已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则AOB=（0 180）叫做向量a与b的夹角。OBA当0时，a与b同向；OAB当180时，a与b反向；OABB当90时，称a与b垂直，记为ab.OAab第1页/共21页 我们学过功的概念，即一个物体在力我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移的作用下产生位移s（如（如图）图）FS力力F所做的功所做的功W可用下式计算可用下式计算 W=|F|S|cos 其中其中是是F与与S的夹角的夹角 从力所做的功出发，我们引入向量从力所做的功出发，我们引入向量“数量积数量积”的概念。的概念。第2页/共21页 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量|a|b|cos叫做a与b的数量积（或内积），记作ab ab=|a|b|cos规定:零向量与任一向量的数量积为0。|a|cos（|b|cos）叫做向量a在b方向上（向量b在a方向上）的投影。注意：向量注意：向量的数量积是的数量积是一个数量。一个数量。第3页/共21页注意注意：数量积数量积:a b=|a|b|cos 第4页/共21页 向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？ab=|a|b|cos当0 90时ab为正；当90 180时ab为负。当=90时ab为零。第5页/共21页投影：思考：2.投影的正负与什么有关？1.投影是一个数量还是一个向量？第6页/共21页投影的几何意义投影的几何意义:AOAOB|b|cos =b|b|cos 0|b|cos 0|b|cos b|b|cos 0OAaBbOAaBbOAaBb 数量积数量积:a b=|a|b|cos B1B1B第7页/共21页设设是非零向量，是非零向量，方向相同的方向相同的单位向量，单位向量，的夹角，则的夹角，则特别地特别地OAB abB1第8页/共21页解：ab=|a|b|cos=54cos120 =54（-1/2）=10例例1 1 已知已知|a|=5|a|=5，|b|=4|b|=4，a a与与b b的夹角的夹角=120=120，求，求a ab b。例2 已知a=(1,1),b=(2,0),求ab。解：|a|=2,|b|=2,=45 ab=|a|b|cos=22cos45 =2第9页/共21页OAB|b|cos abB1等于等于的长度的长度与与的乘积。的乘积。第10页/共21页练习：练习：1 1若若a=0，则对任一向量，则对任一向量b ，有，有a b=02若若a 0，则对任一非零向量，则对任一非零向量b,有有a b03 3若若a 00，a b b=0，则，则b=04 4若若a b=0，则，则a b中至少有一个为中至少有一个为05 5若若a0，a b=b c，则，则a=c6 6若若a b=a c,则则bc,当且仅当当且仅当a=0 时成立时成立7对任意向量对任意向量 a 有有第11页/共21页二、二、平面向量的数量积的运算律：数量积的运算律：数量积的运算律：其中，其中，是任意三个向量，是任意三个向量，注：注：第12页/共21页ONMa+bbac 向量a、b、a+b在c上的投影的数量分别是OM、MN、ON,证明运算律(3)第13页/共21页例例 3：求证：求证：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.证明：证明：（1）(ab)2(ab)(ab)(ab)a(ab)baabaabbba22abb2.第14页/共21页例例 3：求证：求证：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.证明：证明：（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaabbb a2b2.第15页/共21页例例4、的夹角为解:第16页/共21页第17页/共21页第18页/共21页3、用向量方法证明：直径所对的圆周、用向量方法证明：直径所对的圆周角为直角。角为直角。ABCO如图所示，已知如图所示，已知如图所示，已知如图所示，已知 OO，ABAB为直径，为直径，为直径，为直径，C C为为为为 OO上任意一点。求证上任意一点。求证上任意一点。求证上任意一点。求证ACB=90ACB=90分析：要证分析：要证ACB=90，只须证向，只须证向量量 ，即，即 。解：解：设设 则则 ，由此可得：由此可得：即即 ，ACB=90第19页/共21页作业：作业：P108 A组 1,2,3第20页/共21页感谢您的观看。第21页/共21页