小学四年级下册奥数题高斯求和.pptx

高斯的故事 德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人。大约10岁时，老师在算术课上出了一道难题：“把1到100的整数写下来，然后把它们加起来！”每当有考试时他们班有如下的习惯：第一个做完的就把石板（当时通常用于写字）面朝下地放在老师的桌子上，第二个做完的就把石板摆在第一张石板上，就这样一个个落起来。这道难题当然难不倒学过算术级数的人，但对于刚学算术不久的孩子来说，难度较大。老师心想：终于可以休息一下了！但他错了，因为还不到几秒钟，高斯已经把石板放在讲桌上了。同时说道：“答案在这儿”。而其他学生还在埋头苦干，把数字一个个加起来，有的额头都出汗了。但高斯却静静地坐着，对老师投来的怀疑眼光毫不在意。考完后，老师一张张地检查着石板，大部分都做错了，当然也免不了吃一顿鞭打。最后，高斯的石板被翻了过来，只见上面只有一个数字：5050。这正是正确的答案。老师吃了一惊！第1页/共21页 1 11001002 299993 398984949525250505151。1 1100100正好可以分成这样的5050对数，每对数的和都相等。于是，高斯把这道题巧算为：（1+1001+100）1002100250505050。高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。第2页/共21页 若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如：（1 1）1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，100100；（2 2）1 1，3 3，5 5，7 7，9 9，9999；（3 3）8 8，1515，2222，2929，3636，7171。其中（1 1）是首项为1 1，末项为100100，公差为1 1的等差数列；（2 2）是首项为1 1，末项为9999，公差为2 2的等差数列；（3 3）是首项为8 8，末项为7171，公差为7 7的等差数列。由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）项数22。根据等差数列的求和公式，可以变形得到如下的数量关系：项数=（末项-首项）公差+1+1 末项=首项+公差（项数-1-1）首项=末项-公差（项数-1-1）第3页/共21页例1 1：1 12 23 34 45 5 19192020？2 24 46 68 8 48485050？分析：观察上面两道题，不难发现它们都是等差数列。第题的首项是1 1，末项是2020，共有2020个数。而第题的首项是2 2，末项是5050，共有2525个数。由等差数列求和公式可得：1 12 23 34 45 5 19192020 （1 12020）202202 2120221202 210210 2 24 46 68 8 48485050 （2 25050）252252 5225252252 650650 注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。第4页/共21页练一练：计算1 12 23 34 45 5 49495050的和 解：原式（1 15050）50502 2 5150251502 12751275 计算1 13 35 57 7 97979999的和 解：原式（1 19999）50502 2 100502100502 25002500 第一行放了1 1颗糖，第二行放了2 2颗糖，第三行放了3 3颗糖，依此类推，第四十行放了4040颗糖，第一四十行一共放了多少颗糖？1 12 23 34 45 5 4040 （1 14040）40402 2 4140241402 820820（颗）第5页/共21页例2 2：求5 58 81111141429293232的和 分析：这是一个公差为3 3、首项为5 5、末项为3232的等差数列。如果按等差数列求和的公式计算，还必须先找出项数。根据项数（末项首项）公差1 1，这个等差数列的项数是（32325 5）331 1 1010。解：（32325 5）331 1 2732731 1 9 91 1 10 10 5 58 81111141429293232 （5 53232）102 102 37102 37102 185 185 第6页/共21页练一练：计算3 37 711 11 43434747的和解：（47473)43)41 1 4444441 1 11111 1 1212 3 37 711 11 43434747 (3(347)12247)122 5012250122 6002 6002 300300第7页/共21页练一练：计算5 5101015 15 90909595100100的和解：（1001005)55)51 1 9559551 1 19191 1 2020 5 5101015 15 90909595100100 (5(5100)202100)202 105202105202 21002 21002 10501050第8页/共21页练一练：美羊羊学做蛋糕，第一天做了5 5个蛋糕，以后每天都比前一天多做2 2个，最后一天做了2525个蛋糕，美羊羊这些天中一共做了多少个蛋糕？（25255)25)21 1 2022021 1 10101 1 1111 (5 (525)11225)112 3011230112 3302 3302 165165第9页/共21页例3 3：有一列数按如下规律排列：1010、1717、2424、31 31 这列数中前8080个数的和是多少？分析：这是一个公差为7 7、首项为1010、项数为8080的等差数列，末项未知。如果按等差数列求和的公式计算，还必须先找出末项。根据末项=首项+公差（项数-1-1），这个等差数列的末项是10107 7（80 801 1）563563。解：10 107 7（80801 1）10107 79 7 79 1010553 553 563 563 （1010563563）802 802 573802 573802 2292022920第10页/共21页练一练：有一列数按如下规律排列：5 5、9 9、1313、1717这列数中前2424个数的和是多少？5 544（24241 1）5 54 23 4 23 5 592 92 97 97 （5 59797）242 242 102242 102242 12241224第11页/共21页练一练：小明练习写毛笔字，第一天写了8 8个大字，以后每一天都比前一天多写3 3个，小明3030天一共写了多少个毛笔字？8 833（30301 1）8 83 29 3 29 8 887 87 95 95 （8 89595）302 302 103302 103302 15451545第12页/共21页练一练：有一堆粗细均匀的圆木，最上面有3333根，每一层都比上一层多1 1根，一共堆了1515层，这堆圆木一共有多少根？33 3311（15151 1）3333114 114 333314 14 47 47 （33334747）152 152 80152 80152 600600第13页/共21页例4 4：（2 24 46 6 20122012）（1 13 35 5 20112011）分析：这道题可以分别求出括号内两个数列的和，然后相减。仔细观察，不难发现，这两个数列的项数一样多。而且前面括号内第一个数与后面括号内第一个数相减得1 1，前面括号内第二个数与后面括号内第二个数相减也得11以此类推。解法一：（201220122 2）221 1 20102201021 1 100510051 1 1006 1006 （2 24 46 6 20122012）（1 13 35 5 20112011）（2 220122012）10062 10062（1 120112011）10062 10062 201410062201410062201210062 201210062 101304210130421012036 1012036 10061006 解法二：（2 24 46 6 20122012）（1 13 35 5 20112011）（2 21 1）（4 43 3）（2012201220112011）1100611006 10061006第14页/共21页练一练：（7 79 91111 2525）（5 57 79 92323）解法一：（25257 7）221 1 1821821 1 9 91 1 10 10 （7 79 911112525）（5 57 79 92323）（7 72525）102102（5 52323）102 102 321023210228102 28102 160160140 140 2020解法二：（7 79 911112525）（5 57 79 92323）（7 75 5）（9 97 7）（25252323）210210 2020第15页/共21页练一练：1 12 23 34 45 56 67 78 89 9585859596060 分析：计算这道题，可以变减为加，整体推算。其中，减数均为3 3的倍数，共有6036032020（个）1 12 23 34 45 56 67 78 89 9585859596060 （1 16060）602602（3 36060）20222022 6160261602632022 632022 183018301260 1260 570570第16页/共21页例4 4：求所有加6 6以后被1111整除的三位数的和。分析：解决这道题，首先应弄清楚“加6 6以后被1111整除的三位数”是哪些数。“加6 6以后被1111整除的三位数”，换一个说法，也就是“被1111除余5 5的三位数。在这些数中最小的三位数是104104，最大的三位数是995995，而且相邻两数都相差1111。即这些三位数依次是104104、115115、126126、995995。显然，它们成等差数列，所以可以利用等差数列求和的公式来求和。首项是104104，末项是995995，公差是1111。解：项数（995995104104）11111 1 89111891111 1 81811 1 8282 总和（104104995995）822822 10998221099822 4505945059 第17页/共21页练一练：100100以内所有加5 5后是6 6的倍数的数的和是多少？分析：100100以内“加5 5后是6 6的倍数的数”，换一个说法，也就是“被6 6除余1 1的数。在这些数中最小的是1 1，最大的是9191，而且相邻两数都相差6 6。即这些数依次是1 1、7 7、1313、9191。显然，它们成等差数列，所以可以利用等差数列求和的公式来求和。首项是1 1，末项是9191，公差是6 6。解：项数（91911 1）661 1 9069061 1 15151 1 1616 总和（1 19191）162162 9216292162 736736第18页/共21页练一练：在14001400中，所有不是9 9的倍数的数的和是多少？分析：14001400中，所有“不是9 9的倍数的数的和”，可以先求出14001400各数的和，再去掉所有9 9的倍数的数的和，就能得到所要求的结果。而在所有9 9的倍数的数中，最小的是9 9，最大的是396396，相邻两数都相差9 9。即这些数依次是9 9、1818、2727、396396。显然，它们成等差数列。项数是（3963969 9）991 14444 （1 12 23 3400400）（9 918182727396396）（1 1400400）40024002（9 9396396）442442 40140024014002405405442 442 802008020089108910 7129071290第19页/共21页练一练：求所有被7 7除余数是1 1的三位数的和是多少？分析：在被7 7除余数是1 1的三位数中，最小的是106106，最大的是995995，而且相邻两数都相差7 7。即这些数依次是106106、113113、120120、995995。显然，它们成等差数列，所以可以利用等差数列求和的公式来求和。首项是106106，末项是995995，公差是7 7。解：项数（995995106106）771 1 889788971 1 1271271 1 128128 总和（106106955955）12821282 1101128211011282 7046470464第20页/共21页感谢您的观看！第21页/共21页