学案 平面向量的基本概念及线性运算.pptx
平面向平面向量的实量的实际背景际背景及基本及基本概念概念(1)了解向量的实际背景了解向量的实际背景(2)理解平面向量的概念和两个向量相等的含义理解平面向量的概念和两个向量相等的含义.(3)理解向量的几何表示理解向量的几何表示.向量的向量的线性运线性运算算(1)掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.(2)掌握向量数乘的运算及其几何意义掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向理解两个向量共线的含义量共线的含义.(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义了解向量线性运算的性质及其几何意义.第1页/共28页 主要考查向量的有关概念、运算法则、线线平行的条件和基本定理，以选择题和填空题出现的可能性较大.对用向量解平面几何问题涉及的可能性也较大.第2页/共28页 1.向量的有关概念 (1)向量:既有 ,又有 的量叫做向量,向量的大小叫做向量的 (或模).(2)零向量:的向量叫做零向量,其方向是 的.(3)单位向量:给定一个非零向量a,与a 且长度等于 的向量,叫做向量a的单位向量.大小 方向 长度 长度为0 任意 同方向 1 第3页/共28页 (4)平行向量:方向 或 的 向量.平行向量又叫 ,任一组平行向量都可以移到同一条直线上.规定:0与任一向量 .(5)相等向量:长度 且方向 的向量.(6)相反向量:长度 且方向 的向量.2.向量的加法和减法 (1)加法 法则:服从三角形法则、平行四边形法则.运算性质:相同 相反 非零 共线向量 平行 相等 相同 相等 相反 名师伴你行第4页/共28页a+b=(交换律);(a+b)+c=(结合律);a+0=.(2)减法减法与加法互为逆运算;法则:服从三角形法则.3.实数与向量的积(1)长度与方向规定如下:|a|=;b+a a+(b+c)0+a a|a|第5页/共28页 当 时,a与a的方向相同;当 时,a与a的方向相反;当=0时,a=.(2)运算律:设,R,则 (a)=;(+)a=;(a+b)=.4.平行向量基本定理 向量a与b(b0)平行的充要条件是 .有且只有一个实 0|b|,则ab;（2）若向量|a|=|b|,则a与b的长度相等且方向相同或相反；（3）对于任意向量|a|=|b|,且a与b的方向相同，则a=b;（4）由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；（5）起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量.第10页/共28页 【解析】（1）不正确.因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故（1）不正确.（2）不正确.由|a|=|b|只能判断两向量长度相等，不能判断方向.（3）正确.|a|=|b|,且a与b同向，由两向量相等的条件可得a=b.（4）不正确.由零向量性质可得0与任一向量平行，可知（4）不正确.（5）正确.对于一个向量只要不改变其大小与方向,是可以任意平行移动的.第11页/共28页2010年高考大纲全国卷在ABC中，点D在边AB上，CD平分ACB.若CB=a,CA=b,|a|=1,|b|=2,则CD=()A.a+b B.a+bC.a+b D.a+b 【分析分析】利用角平分线的性质可解出AD与DB的关系，再利用向量的线性运算求解.考点考点2 2 向量的线性表示向量的线性表示 第12页/共28页 【解析】如图所示,1=2,CD=CB+BD=a+(b-a)=a+b.故应选B.第13页/共28页【评析评析】用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧是:观察各向量的位置;寻找相应的三角形或多边形;运用法则找关系;化简结果.第14页/共28页第15页/共28页【解析】第16页/共28页设两个非零向量a与b不共线.(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b).求证:A,B,D三点共线;(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.【分析分析】解决点共线或向量共线问题,就要根据两向量共线的条件a=b(b0).考点考点3 3 向量的共线问题向量的共线问题 第17页/共28页【解析解析】(1)证明:AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB.AB,BD共线,又它们有公共点B,A,B,D三点共线.(2)ka+b与a+kb共线,存在实数,使ka+b=(a+kb),即ka+b=a+kb.(k-)a=(k-1)b.a,b是不共线的两个非零向量,k-=k-1=0,k2-1=0.k=1.第18页/共28页【评析评析】(1)由向量数乘运算的几何意义知非零向量共线是指存在实数使两向量能互相表示.(2)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,要注意待定系数法的运用和方程思想.(3)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.第19页/共28页第20页/共28页【解析解析】第21页/共28页第22页/共28页第23页/共28页第24页/共28页1.1.1.1.向量不同于数量向量不同于数量向量不同于数量向量不同于数量.向量既有大小，又有方向向量既有大小，又有方向向量既有大小，又有方向向量既有大小，又有方向.向向向向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小量的模可以比较大小，但向量不能比较大小量的模可以比较大小，但向量不能比较大小量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.2.2.2.2.向量的加减法实质上是向量的平移，实数乘向向量的加减法实质上是向量的平移，实数乘向向量的加减法实质上是向量的平移，实数乘向向量的加减法实质上是向量的平移，实数乘向量实质上是向量的伸缩量实质上是向量的伸缩量实质上是向量的伸缩量实质上是向量的伸缩.3.3.3.3.数形结合思想是向量加减法的核心，利用向量数形结合思想是向量加减法的核心，利用向量数形结合思想是向量加减法的核心，利用向量数形结合思想是向量加减法的核心，利用向量的相等可以灵活地平移向量的相等可以灵活地平移向量的相等可以灵活地平移向量的相等可以灵活地平移向量.4.4.4.4.向量共线的充要条件常用来解决三点共线和两向量共线的充要条件常用来解决三点共线和两向量共线的充要条件常用来解决三点共线和两向量共线的充要条件常用来解决三点共线和两直线平行问题直线平行问题直线平行问题直线平行问题.第25页/共28页 1.1.通过向量的共线可以证明三点共线及多点共线通过向量的共线可以证明三点共线及多点共线,但要注意到向量的但要注意到向量的平行与直线的平行的区别平行与直线的平行的区别.2.0 2.0与实数与实数0 0有区别有区别,0,0的模为数的模为数0,0,它不是没有方向它不是没有方向,而是方向不定而是方向不定.0.0可以可以看成与任意向量平行看成与任意向量平行.3.3.由由a a b,bb,b c c不能得到不能得到a a c.c.取不共线的向量取不共线的向量a a与与c,c,显然有显然有a a 0,c0,c 0.0.第26页/共28页第27页/共28页感谢您的观看。第28页/共28页
