数值计算方法.pptx

设 是 的三次样条插值函数，因 ，两边从 到 积分，则由式（3-23）得这类公式可用来近似计算积积分值，统称数值积分公式。常用数值积分公式是从拉格朗日插值公式推来的。由拉格朗日插值法两边同乘 然后积分，则得插值型求积公式其中 称求积节点，称求积系数，求积公式（4-2）的截断误差第1页/共12页其中 与 有关。当 在 上不变号时，由广义积分中值定理（参见本章末附注）知，存在 ，最常用的数值积分公式，是节点等距时的求积公式（4-2）。此时节 公式（4-2）称牛顿-柯特斯（New-ton-cotes)求积公式。时各有专门名称：（1）梯形求积公式：（2）辛浦生(Simpson)或抛物线求积公式：第2页/共12页 （3）牛顿求积公式：（4）柯特斯求积公式：第3页/共12页复化求积公式 第3章已指出，提高插值多项式的次数，不一定能减小误差。因此，为减少求积公式的误差，利用高次插值多项式是不可取的。通常的办法，是把积分区间 分成若干小区间，在每个小区间上应用上述简单求积公式，将所得结果相加。如此得到的求积公式称复化求积公式。例如，把区间 分为 个相等的小区间，令。在每个小区间上应用梯形求积公式(4-5),得第4页/共12页将右边和式记为 ，则得复化梯形求积公式其截断误差第5页/共12页利用连续函数的介值定理可以证明，当 连续时存在 ，使再注意 ，则得 类似地，把区间 等分为 个小区间，令 ，在两个小区间连成的区间上应用辛浦生求积公式（4-6），则得复化辛浦生求积公式。第6页/共12页 例4-1 利用复化梯形求积公式计算积分使截断误差不超过 。取同样步长 改用复化辛浦求积公式计算，问截断误差界是多少？解 由于根据式（4-8），为满足误差要求，只需 满足第7页/共12页即 。取 ，按求积公式（4-7）得对于同样步长 ，利用复化辛浦生求积公式（4-9）计算时第8页/共12页截断误差解毕像例4-1这样取定步长 算积分的方法，称为定步长积分法法。变步长积分法 实际的积分计算问题，很难根据误差要求 ，由截断误差表示式确定步长 。不过由这种表示式可见，只要公式中涉及的高阶导数有界，当 时总有 。这说明，只需 充分小，必可满足误差要求。因此为计算积分，通常采取逐步缩小步长 的办法。即先任取步长 进行计算，然后取较小步长 进行计算，如果两次计算结果相差较大，则取更小步长进行计算，如此下去，直到相邻两次计算结果相差不大为止，取最小步长算出的结果作为积分值。这种方法称为变步长积分法。利用两种步长计算积分时，为了减少计算出数 的次数，通常取 。例如应用复化求积公式（4-7）时，注意第9页/共12页可见这表明算出 后，为算 ，只需计算新增节点 处的函数值 ，将它们的和乘新步长 ，再加上 的一半，对于复化辛浦生求积公式（4-9），注意第10页/共12页可见说明算出 后,为算 ,也只需计算新增节点 处的函数值。第11页/共12页感谢您的观看！第12页/共12页