平面向量的数量积及运算律课时.pptx
平面向量的数量积及运算律课时平面向量的数量积及运算律课时 一般地，实数一般地，实数与向量与向量a a的积是一个向量，的积是一个向量，记作记作aa，它的长度和方向规定如下：，它的长度和方向规定如下：(1)|a|=|a|(1)|a|=|a|(2)(2)当当00时时,a,a的方向与的方向与a a方向相同；方向相同；当当00时时,a,a的方向与的方向与a a方向相反；方向相反；特别地，当特别地，当=0=0或或a=0a=0时时,a=0,a=0复习:1.数乘的定义第1页/共28页 设设a,ba,b为任意向量为任意向量,为为任意实数，则有：任意实数，则有：(a a)=()=()a a (+)a=a=a+a+a a (a+ba+b)=)=a+a+b b2.数乘的运算律第2页/共28页 引入:我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）FS力F所做的功W可用下式计算 W=|F|S|cos 其中是F与S的夹角从力所做的功出发，我们引入向量数量积的概念。第3页/共28页 两个非零向量a 和b，作 ，,则 叫做向量a 和b 的夹角OABabOABba若 ，a 与b 同向OABba若 a 与b 反向OABab若 ，a 与b 垂直，记作1.向量的夹角第4页/共28页练习1、如图，等边三角形中，求 （1）AB与AC的夹角；（2）AB与BC的夹角。ABC 通过平移变成共起点！第5页/共28页2.平面向量的数量积的定义规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 0 已知两个非零向量a 和b，它们的夹角为，我们把数量 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a b，即第6页/共28页注意：(1)两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定(2)a b不能写成ab(3)向量的数量积与实数积的区别:2）对于实数a、b、c（b0），若a b=b c，则a=c ,对于向量a，b，c,此式是否仍成立呢？1)对实数a0,若a b=0，则b=0，但对向量a0时，若a b=0,能不能推出b是零向量？3）对于实数a、b、c，有（a b）c=a （b c）但对于向量a，b，c来说，此式是否一定成立？第7页/共28页第8页/共28页解：ab=|a|b|cos=54cos120 =54（-1/2）=10。1.已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角=120，求ab。2.已知a=(1,1),b=(2,0),求ab。解：|a|=2,|b|=2,=45 ab=|a|b|cos=22cos45=2练习2:第9页/共28页 物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方向上的力做功sF过点B作垂直于直线OA，垂足为 ，则|b|cosOABabOABab|b|cos叫向量b 在a 方向上的投影为锐角时，|b|cos0为钝角时，|b|cos0为直角时，|b|cos=0BOAab第10页/共28页我们得到ab的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积。第11页/共28页3.平面向量的数量积的重要性质:ab|a|b|（4）cos=（5）|ab|a|b|（3）当a与b同向时，ab=|a|b|当a与b反向时，ab=|a|b|特别地，aa=|a|2或|a|=aa。（2）ab ab=0 设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角，则（1）ea=ae=|a|cos第12页/共28页1若a=0，则对任一向量b，有a b=02若a0，则对任一非零向量b,有a b03.若a0，a b=0,则b=04.若a b=0,则a b中至少有一个为05.若a0，a b=b c,则a=c6.若a b=a c,则bc,当且仅当a=0时成立7.对任意向量a,b,c,有(a b)ca(b c)8.对任一向量a,有a2=|a|2 练习3：判断正误(）(）(）(）(）(）(）(）第13页/共28页4、平面向量数量积的运算律 已知向量 和实数 ,则向量的数量积满足：（1）（交换律）（2）（数乘结合律）（3）（分配律）注意：数量积运算不满足结合律消去律第14页/共28页（1）交换律：证明：设 夹角为 ，则所以第15页/共28页（2）若证明：若第16页/共28页（3）分析：12A1B1AOBC第17页/共28页（3）12ABOA1B1C证明：在平面内取一点 ，作（即 ）在 方向上的投影等于在 方向上的投影的和，即即第18页/共28页5、平面向量数量积的常用公式第19页/共28页 求证：（1）（2）证明：（1）（2）第20页/共28页例2、已知与 的夹角为60，求：（1）在 方向上的投影；（2）在 方向上的投影；（3）=2=3解：（3）第21页/共28页第22页/共28页第23页/共28页第24页/共28页练习：练习：（）A 锐角三角形C 钝角三角形D 不能确定B 直角三角形D（）CA 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 不能确定第25页/共28页课堂小结：课堂小结：本节课我们主要学习了平面向量数量积的性质及其应用，常见的题型主要有：1、直接计算数量积（定义式以及夹角的定义）2、由数量积求向量的模4、运用数量积的性质判定两向量是否垂直3、由数量积确定两向量的夹角5、判断三角形的形状第26页/共28页第27页/共28页
