数学建模培训规划理论及模型.pptx

一、引言 我们从2005年“高教社杯”全国大学生数模竞谈起.其中第二个问题是一个如何来分配有限资源，从而达到人们期望目标的优化分配数学模型.它在运筹学中处于中心的地位.这类问题一般可以归结为数学规划模型.赛的B题“DVD在线租赁”问题的第二问和第三问 第1页/共47页 规划模型的应用极其广泛，其作用已为越来来越急速地渗透于工农业生产、商业活动、军事行为核科学研究的各个方面，为社会节省的财富、创造的价值无法估量.特别是在数模竞赛过程中，规划模型是最常见的一类数学模型.从92-06年全国大学生数模竞越多的人所重视.随着计算机的逐渐普及，它越赛试题的解题方法统计结果来看，规划模型共出现了15次，占到了50%，也就是说每两道竞赛题中就有一道涉及到利用规划理论来分析、求解.第2页/共47页二、线性规划模型 线性规划模型是所有规划模型中最基本、最例1.（食谱问题）设有 n 种食物，各含 m 种营养素，第 j 种食物中第 i 中营养素的含量为 aij,n 种食物价格分别为c1,c2,cn，请确定食谱中n 种食物的数量x1,x2,xn，要求在食谱中 m 种营养素简单的一种.2.1 线性规划模型的标准形式 的含量分别不低于b1,b2,bm 的情况下，使得总总的费用最低.第3页/共47页 首先根据食物数量及价格可写出食谱费用为 其次食谱中第 i 种营养素的含量为 因此上述问题可表述为：解第4页/共47页 上述食谱问题就是一个典型的线性规划问题，寻求以线性函数的最大（小）值为目标的数学模型.它是指在一组线性的等式或不等式的约束条件下，第5页/共47页线性规划模型的三种形式 一般形式 目标函数 价值向量 价值系数 决策变量右端向量系数矩阵非负约束自由变量第6页/共47页 规范形式 标准形式 三种形式的LP问题全都是等价的，即一种形式的LP可以简单的变换为另一种形式的LP，且它们有相同的解.以下我们仅将一般形式化成规范形式和标准形式.第7页/共47页目标函数的转化 xoz-z第8页/共47页约束条件和变量的转化 为了把一般形式的LP问题变换为规范形式，我们必须消除等式约束和符号无限制变量.在一般形式的LP中，一个等式约束可用下述两个不等式约束去替代 第9页/共47页这样就把一般形式的LP变换为规范形式.对于一个无符号限制变量 ，引进两个非负变量 和 ，并设第10页/共47页为了把一般形式的为了把一般形式的LPLP问题变换为标准形问题变换为标准形式，必须消除其不等式约束和符号无限制变式，必须消除其不等式约束和符号无限制变量量.对于一个不等式约束代替上述的不等式约束.对符号无限制变量的处理可按上述方法进行.可引入一个剩余变量 ，用第11页/共47页 对于不等式约束 代替上述的不等式约束 这样就把一般形式的LP变换为标准形式.可引入一个松弛变量，用第12页/共47页 针对标准形式的线性规划问题，其解的理论分析已经很完备，在此基础上也提出了很好的算 单纯形方法是线性规划问题的最为基础、也法单纯形方法及其相应的变化形式（两阶段2.2 线性规划模型的求解 法，对偶单纯形法等）.是最核心的算法。它是一个迭代算法，先从一个特殊的可行解（极点）出发，通过判别条件去判断该可行解是否为最优解（或问题无界），若不第13页/共47页是最优解，则根据相应规则，迭代到下一个更好的可行解（极点），直到最优解（或问题无界）.关于线性规划问题解的理论和单纯形法具体的求解过程可参见文献1.然后在实际应用中，特别是数学建模过程中，遇到线性规划问题的求解，我们一般都是利用现有的软件进行求解，此时通常并不要求线性规划问题是标准形式.比较常用的求解线性规划模型的软件包有LINGO和LINDO.第14页/共47页运输问题例2.设要从甲地调出物资2000吨，从乙地调出物 资1100吨，分别供给A地1700吨、B地1100吨、C假定运费与运量成正比.在这种情况下，采用不地200吨、D地100吨.已知每吨运费如表1.1所示.同的调拨计划，运费就可能不一样.现在问：怎样才能找出一个运费最省的调拨计划？第15页/共47页1572521甲15375151乙DCBA表 1.1销地运费产地第16页/共47页乙甲DCBA解第17页/共47页第18页/共47页一般的运输问题可以表述如下：第19页/共47页数学模型：第20页/共47页 若其中各产地的总产量等于各销地的总销量，即 类似与将一般的线性规划问题转化为其标准否则，称为不平衡的运输问题，包括：，则称该问题为平衡的运输问题.总产量总销量和总产量总销量.形式，我们总可以通过引入假想的销地或产地，将不平衡的运输问题转化为平衡的运输问题.从而，我们的重点就是解决平衡运输问题的求解.第21页/共47页 显然，运输问题是一个标准的线性规划问题，因而当然可以运用单纯形方法求解.但由于平衡的运输问题的特殊性质，它还可以用其它的一些特殊方法求解，其中最常用的就是表上作业法，该方法将单纯形法与平衡的运输问题的特殊性质结合起来，很方便地实行了运输问题的求解.关于运输问题及其解法的进一步介绍参加文献2.第22页/共47页 对于线性规划问题，如果要求其决策变量取整数值，则称该问题为整数线性规划问题.平面法和分支定界法是两种常用的求解整数线性 对于整数线性规划问题的求解，其难度和运三、整数线性规划模型算量远大于同规模的线性规划问题.Gomory割规划问题的方法（见文献1）.此外，同线性规划模型一样，我们也可以运用LINGO和LINDO软件包来求解整数线性规划模型.第23页/共47页 以1988年美国大学生数学建模竞赛B题为例，说明整数线性规划模型的建立及用LINGO软件包如何求解整数线性规划模型。例3.有七种规格的包装箱要装到两节铁路平板车上去。包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以cm 计）及重量（w，以kg计）是不同的.表1给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。每节平板车有10.2m 长的地方可用来装包装箱（像面包片那样），载重为40t.由于当地货运的限制，对于第24页/共47页C5,C6,C7 类包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm.试把包装箱装到平板车上，使得浪费的空间最小.种类种类C1C2C3C4C5C6 C7t/cm48.753.061.372.048.752.064.0w/kg2000 3000 10005004000 2000 1000n/件件8796648第25页/共47页 为在第 节车上装载第 件包装箱的解 令 下面我们建立该问题的整数线性规划模型。第26页/共47页1)约束条件两节车的装箱数不能超过需要装的件数，即：每节车可装的长度不能超过车能提供的长度：每节车可装的重量不超过车能够承受的重量：第27页/共47页对于C5,C6,C7类包装箱的总数的特别限制：2)目标函数浪费的空间最小，即包装箱的总厚度最大：第28页/共47页3)整数线性规划模型第29页/共47页由上一步中的求解结果可以看出，4)模型求解运用LINGO软件求解得到：5)最优解的分析说明的装车方案，此时装箱的总长度为1019.7cm，两节车共装箱的总长度为2039.4cm.即为最优 但是，上述求解结果只是其中一种最优的装车方案，即此答案并不唯一.第30页/共47页 0-1整数规划是整数规划的特殊情形，它要求线性规划模型中的决策变量xij只能取值为0或1.单隐枚举法，该方法是一种基于判断条件（过滤 0-1整数规划模型的求解目前并没有非常好的四、0-1整数规划模型 算法，对于变量比较少的情形，我们可以采取简条件）的穷举法.我们也可以利用LINGO和LINDO软件包来求解0-1整数规划模型.第31页/共47页背包问题例4.有 n 个物品，编号为1,2,n，第 i 件物品重 ai 千克，价值为 ci 元，现有一个载重量不超过大，应如何装载这些物品？a 千克的背包，为了使装入背包的物品总价值最用变量 xi 表示物品 i 是否装包，i=1,2,n，并令：解第32页/共47页可得到背包问题的规划模型为：第33页/共47页指派问题例5.有n 项任务，由 n 个人来完成，每个人只能做一件，第 i 个人完成第 j 项任务要 cij 小时，如何合理安排时间才能使总用时最小？引入状态变量 xij，并令：解则总用时表达式为：第34页/共47页可得到指派问题的规划模型为：第35页/共47页 上面介绍的指派问题称为指派问题的标准形式，还有许多其它的诸如人数与任务数不等、及但一般可以通过一些转化，将其变为标准形式.某人可以完成多个任务，某人不可以完成任务，某任务必须由某人完成等特殊要求的指派问题.对于标准形式的指派问题，我们可以利用匈牙利算法实现求解.它将指派问题中的系数构成一个矩阵，利用矩阵上简单的行和列变换，结合解的判定条件，实现求解（见文献2）.第36页/共47页DVDDVD在线租赁第二个问题的求解问题二的分析 经营成本和会员的满意度是被考虑的两个相互制约的重要因素.在忽略邮寄成本的前提下，经营成本主要体现为DVD的数量.我们主要考虑在会员向网站提供需求信息，且满足一定要求的前提下，对给定数量DVD进行分配决策，使得DVD的数量尽量小，会员满意度最大.第37页/共47页 假设按照公历月份进行的租赁业务，即会员无论两次租赁还是一次租赁，必须在当月内完成DVD的租与还.同时假设网站对其会员进行一次租赁业务时，只能向其提供3张该会员已经预定的DVD，否则不进行租赁.经观察，可以认为在线订单中每个会员的预定DVD的表示偏好程度的数字反映了会员对所预定不同DVD的满意程度，且当会员租到其预定排序为1，2，3的三张DVD时，满意度达到100%.会员没有预定的DVD对其满意度的贡献为0.第38页/共47页 利用层次分析法，对此满意指数的合理性进行了简单分析.该问题要求根据现有的100种DVD的数量和当前需要处理的1000位会员的在线订单，制定分配策略，使得会员达到最大的满意度.因而我们认为只需对这些DVD进行一次性分配，使得会员的总体满意度达到最大.为此考虑建立优化模型，进行求解.第39页/共47页问题二的模型及求解 经营成本和会员的满意度是被考虑的两个相互制约的重要因素.在忽略邮寄成本的前提下，经营成本主要体现为DVD的数量.我们主要考虑在会员向网站提供需求信息，且满足一定要求的前提下，对给定数量DVD进行分配决策，使得DVD的数量尽量小，会员满意度最大.第40页/共47页第41页/共47页第42页/共47页第43页/共47页由此，可得问题二的0-1整数线性规划模型如下：第44页/共47页 根据所得的0-1整数线性规划模型，利用LINGO软件进行求解，我们得到了一组最优分配方案（见表3）.该组最优解其目标函数会员总体最大满意度为91.56%，只有6人未成功租赁（如：前30名会员中C0008被分配到DVD），其余994个会员全都得到了3张预定的DVD.第45页/共47页再见第46页/共47页谢谢您的观看！第47页/共47页