机械振动数值分析.pptx

n n求解域的离散求解域的离散 将连续体求解域离散为若干个将连续体求解域离散为若干个子域，通过子域边界协调条件构造连续体；子域，通过子域边界协调条件构造连续体；n n利用近似函数求解利用近似函数求解 每个子域内用近似函数分每个子域内用近似函数分片表示全域内待定的未知变量；片表示全域内待定的未知变量；n n原问题的等效原问题的等效 利用变分或加权余量法，建立利用变分或加权余量法，建立基本变量代数方程组或常微分方程组。基本变量代数方程组或常微分方程组。概概 述述有限元法要点有限元法要点第1页/共150页n n复杂几何构型的适应性；复杂几何构型的适应性；n n各种物理问题的可应用性；各种物理问题的可应用性；n n建立于严格理论基础上的可靠性；建立于严格理论基础上的可靠性；n n适合计算机实现的高效性。适合计算机实现的高效性。有限元法特性有限元法特性第2页/共150页n n单元类型和形式；单元类型和形式；n n有限元法的理论基础和离散格式；有限元法的理论基础和离散格式；n n有限元方程的求解方法；有限元方程的求解方法；n n有限元分析程序开发。有限元分析程序开发。有限元法的发展和现状有限元法的发展和现状第3页/共150页n n标准化标准化 任意复杂问题任意复杂问题 模块化分解，单元模块化分解，单元建模建模 有限种类模块化单元有限种类模块化单元n n规范化规范化 几何建模几何建模 力学建模力学建模 求解求解 后后处理分析处理分析n n通用化通用化 形成标准模块化程序形成标准模块化程序n n应用规模化、普及性应用规模化、普及性 求解问题规模庞大，易求解问题规模庞大，易于为工程技术人员掌握于为工程技术人员掌握有限元法的优势有限元法的优势第4页/共150页n n连续性假设连续性假设 变形体内部处处连续变形体内部处处连续n n均匀性假设均匀性假设 变形体内部物质分配均匀变形体内部物质分配均匀n n各向同性假设各向同性假设 物质在各方向上特性相同物质在各方向上特性相同n n线弹性假设线弹性假设 变形与外力作用的关系为线性变形与外力作用的关系为线性n n小变形假设小变形假设 变形量远小于物体本身尺寸变形量远小于物体本身尺寸基本假设基本假设第一章第一章 线弹性动力学变分原理线弹性动力学变分原理第5页/共150页第6页/共150页运动微分方程运动微分方程应变方程应变方程本构方程（物理方程）本构方程（物理方程）第7页/共150页边界条件边界条件初始条件初始条件第8页/共150页n n变形体域内任意一点在任意时刻均满足运动微分方程。n n变形体边界上任意一点在任意时刻均满足边界条件。问题的精确解的特点问题的精确解的特点加权余量法的特点加权余量法的特点n n变形体域内和边界上任意一点在任意时刻均近似满足运动微分方程。第9页/共150页残余力方程残余力方程加权余量法允许运动平衡方程和边界条件在若干加权余量法允许运动平衡方程和边界条件在若干局部存在残差，但要求残余力在域内和边界上的局部存在残差，但要求残余力在域内和边界上的加权积分为零，即加权积分为零，即第10页/共150页当上式对任意权函数均满足，则称为式（当上式对任意权函数均满足，则称为式（7）为）为微分方程（微分方程（1）和边界条件（）和边界条件（4）的等效积分形式。）的等效积分形式。一般情况可选择近似解一般情况可选择近似解将式（将式（8）代入式（）代入式（7），通过确定系数强迫残余），通过确定系数强迫残余力在域内和边界上在某种平均意义下为零。下面力在域内和边界上在某种平均意义下为零。下面的讨论中假设近似函数完全满足边界条件，只考的讨论中假设近似函数完全满足边界条件，只考虑域内残差问题。虑域内残差问题。第11页/共150页权函数可以选权函数可以选N个函数的线性组合，即个函数的线性组合，即将式（将式（9）代入式（）代入式（7），得），得第12页/共150页n n配点法 取Dirac函数为权函数n n子域法 权函数在N个子域内取1，在子域外取零，即 几类常用权函数几类常用权函数第13页/共150页n n最小二乘法 调整近似函数中的参数，使余量均方和最小，即 几类常用权函数几类常用权函数第14页/共150页n n迦辽金法 取试探函数为权函数迦辽金法的特点 几类常用权函数几类常用权函数n n余量方程相当于虚功；n n求解方程系数矩阵有对称性；n n当存在泛函时与变分法有等效结果。第15页/共150页例例1 用各种加权余量法计算图示弹性基础梁的用各种加权余量法计算图示弹性基础梁的挠度挠度第16页/共150页弹性基础梁的基本微分方程和边界条件为弹性基础梁的基本微分方程和边界条件为第17页/共150页取试探解为无弹性基础时的精确解取试探解为无弹性基础时的精确解则近似解可表示为则近似解可表示为容易发现，式（容易发现，式（16）严格满足边界条件）严格满足边界条件第18页/共150页残差方程可写为残差方程可写为精确解配点法子域法伽辽金法最小二乘法1.00000.17880.17240.18380.17900.183210.0000.078360.067570.089290.078910.08304100.000.011340.009540.014530.011970.058181000.00.0010250.0009950.0015510.0012620.006068第19页/共150页 达朗伯达朗伯拉格朗日原理拉格朗日原理在式（在式（7）中取权函数为真实位移的变分，可）中取权函数为真实位移的变分，可得与运动微分方程和边界条件的等效积分形式。得与运动微分方程和边界条件的等效积分形式。对方程中的第一项进行分部积分，得对方程中的第一项进行分部积分，得式（式（19）为运动微分方程和边界条件等效积分）为运动微分方程和边界条件等效积分的的“弱弱”形式形式第20页/共150页 阶连续性函数阶连续性函数n-1导数连续，且第导数连续，且第n阶导数仅有有限个可积间阶导数仅有有限个可积间断点的函数断点的函数第21页/共150页 哈密顿原理哈密顿原理对式（对式（18）在任意时间间隔内积分）在任意时间间隔内积分对给定时刻，方程中的第一项可转化为对给定时刻，方程中的第一项可转化为第22页/共150页将式（将式（21）代入式（）代入式（20），得普遍意义下的哈），得普遍意义下的哈密顿原理密顿原理式（式（22）说明，对真实运动，系统动能变分和）说明，对真实运动，系统动能变分和内、外力虚功在任意时间间隔内对时间的积分内、外力虚功在任意时间间隔内对时间的积分为零。为零。第23页/共150页考虑粘滞力后考虑粘滞力后式（式（23）中考虑了粘滞力的虚功。）中考虑了粘滞力的虚功。第24页/共150页考虑到应力应变关系，外力虚功可改写为考虑到应力应变关系，外力虚功可改写为将式（将式（25）代入式（）代入式（22），可得），可得式（式（2626）说明）说明，完整有势系统在任意时间间隔，完整有势系统在任意时间间隔内满足几何关系和给定位移边界条件的所有可内满足几何关系和给定位移边界条件的所有可能运动中，真实运动使哈密顿作用量取驻值能运动中，真实运动使哈密顿作用量取驻值第25页/共150页例例2 用哈密顿原理推导受均布动载荷的等截面用哈密顿原理推导受均布动载荷的等截面悬臂梁的振动微分方程悬臂梁的振动微分方程梁内任意一点位移可表示为梁内任意一点位移可表示为任意一点的应变可表示为任意一点的应变可表示为第26页/共150页系统总势能可表示为系统总势能可表示为系统总动能可表示为系统总动能可表示为第27页/共150页对系统势能取变分对系统势能取变分对系统动能取变分对系统动能取变分第28页/共150页代入哈密顿方程得代入哈密顿方程得第29页/共150页n n拉格朗日乘子法 约束泛函约束泛函n n罚函数法引入附加泛函后，原泛函的有附加条件的驻值问题引入附加泛函后，原泛函的有附加条件的驻值问题引入附加泛函后，原泛函的有附加条件的驻值问题引入附加泛函后，原泛函的有附加条件的驻值问题转化为修正泛函无附加约束条件的驻值问题。转化为修正泛函无附加约束条件的驻值问题。转化为修正泛函无附加约束条件的驻值问题。转化为修正泛函无附加约束条件的驻值问题。第30页/共150页p 拉格朗日乘子法修正泛函的变分拉格朗日乘子法修正泛函的变分以离散结构为例，需要满足位移边界条件以离散结构为例，需要满足位移边界条件以离散结构为例，需要满足位移边界条件以离散结构为例，需要满足位移边界条件修正泛函为修正泛函为修正泛函为修正泛函为驻值条件驻值条件驻值条件驻值条件第31页/共150页由此得由此得由此得由此得p 拉格朗日乘子法修正泛函的变分拉格朗日乘子法修正泛函的变分拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法的特点的特点n n方程组的阶数增加；方程组的阶数增加；n n拉格朗日乘子有明确物理意义，相当于力；拉格朗日乘子有明确物理意义，相当于力；n n导出的系数矩阵存在零对角元。导出的系数矩阵存在零对角元。第32页/共150页p 罚函数法修正泛函的变分罚函数法修正泛函的变分仍以离散结构为例，修正泛函为仍以离散结构为例，修正泛函为仍以离散结构为例，修正泛函为仍以离散结构为例，修正泛函为驻值条件驻值条件驻值条件驻值条件由此得由此得由此得由此得第33页/共150页罚函数法罚函数法罚函数法罚函数法的特点的特点n n附加条件近似满足；附加条件近似满足；n n不增加方程阶数；不增加方程阶数；n n罚参数相当于刚度系数；罚参数相当于刚度系数；n n解的精度与罚参数有关。解的精度与罚参数有关。p 罚函数法修正泛函的变分罚函数法修正泛函的变分第34页/共150页例例例例3 3 如图所示弹簧系统，在第一个自由度上施加外力，如图所示弹簧系统，在第一个自由度上施加外力，如图所示弹簧系统，在第一个自由度上施加外力，如图所示弹簧系统，在第一个自由度上施加外力，在第二个自由度上施加强制位移。用拉格朗日乘子法和在第二个自由度上施加强制位移。用拉格朗日乘子法和在第二个自由度上施加强制位移。用拉格朗日乘子法和在第二个自由度上施加强制位移。用拉格朗日乘子法和罚函数法计算第一个自由度的位移罚函数法计算第一个自由度的位移罚函数法计算第一个自由度的位移罚函数法计算第一个自由度的位移未施加强制位移时可写出系统平衡方程未施加强制位移时可写出系统平衡方程未施加强制位移时可写出系统平衡方程未施加强制位移时可写出系统平衡方程第35页/共150页将强制位移边界代入，可解得精确解将强制位移边界代入，可解得精确解将强制位移边界代入，可解得精确解将强制位移边界代入，可解得精确解 为满足强制约束条件施加在第二个自由度上的载荷为满足强制约束条件施加在第二个自由度上的载荷拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法第36页/共150页可解得可解得可解得可解得 为约束反力的负值为约束反力的负值罚函数法罚函数法罚函数法罚函数法第37页/共150页 广义变分原理广义变分原理将场函数应满足的附加条件引入泛函，将的变分原将场函数应满足的附加条件引入泛函，将的变分原将场函数应满足的附加条件引入泛函，将的变分原将场函数应满足的附加条件引入泛函，将的变分原理转化为无附加约束条件的变分原理。理转化为无附加约束条件的变分原理。理转化为无附加约束条件的变分原理。理转化为无附加约束条件的变分原理。利用拉格朗日乘子法将哈密顿原理附加条件引入泛利用拉格朗日乘子法将哈密顿原理附加条件引入泛利用拉格朗日乘子法将哈密顿原理附加条件引入泛利用拉格朗日乘子法将哈密顿原理附加条件引入泛函，得函，得函，得函，得H-WH-W变分原理泛函为变分原理泛函为变分原理泛函为变分原理泛函为其中其中其中其中第38页/共150页 广义变分原理广义变分原理由于所有变分项均独立，可推导出泛函取驻值条件由于所有变分项均独立，可推导出泛函取驻值条件由于所有变分项均独立，可推导出泛函取驻值条件由于所有变分项均独立，可推导出泛函取驻值条件第39页/共150页 广义变分原理广义变分原理拉格朗日乘子的物理意义为拉格朗日乘子的物理意义为拉格朗日乘子的物理意义为拉格朗日乘子的物理意义为由此得由此得由此得由此得H-WH-W变分原理泛函为变分原理泛函为变分原理泛函为变分原理泛函为第40页/共150页习题习题习题习题2 2 如图所示弹簧系统，在第一个和第三个自由度如图所示弹簧系统，在第一个和第三个自由度上施加外力，在第二个自由度上施加强制位移。用拉格上施加外力，在第二个自由度上施加强制位移。用拉格朗日乘子法和罚函数法计算第一个和第三个自由度的位朗日乘子法和罚函数法计算第一个和第三个自由度的位移，并计算第二个自由度上的作用力移，并计算第二个自由度上的作用力第41页/共150页n n几何关系几何关系 n n应力应变关系应力应变关系 p 杆单元的刚度矩阵和质量矩阵杆单元的刚度矩阵和质量矩阵第二章第二章 有限元离散有限元离散泛函泛函泛函泛函第42页/共150页p 杆单元的刚度矩阵和质量矩阵杆单元的刚度矩阵和质量矩阵取位移插值函数，用单元结点位移将杆内任意点位取位移插值函数，用单元结点位移将杆内任意点位取位移插值函数，用单元结点位移将杆内任意点位取位移插值函数，用单元结点位移将杆内任意点位移表示为移表示为移表示为移表示为第43页/共150页将式（将式（将式（将式（2 2）代入式（）代入式（）代入式（）代入式（1 1），得），得），得），得取变分，得取变分，得取变分，得取变分，得p 杆单元的刚度矩阵和质量矩阵杆单元的刚度矩阵和质量矩阵第44页/共150页记记记记将式（将式（将式（将式（8 8）代入式（）代入式（）代入式（）代入式（7 7），结合哈密顿原理，并考虑），结合哈密顿原理，并考虑），结合哈密顿原理，并考虑），结合哈密顿原理，并考虑到变分的任意性可解得到变分的任意性可解得到变分的任意性可解得到变分的任意性可解得p 杆单元的刚度矩阵和质量矩阵杆单元的刚度矩阵和质量矩阵第45页/共150页2 2结点杆单元的刚度矩阵和质量矩阵如式（结点杆单元的刚度矩阵和质量矩阵如式（结点杆单元的刚度矩阵和质量矩阵如式（结点杆单元的刚度矩阵和质量矩阵如式（1010）所示）所示）所示）所示p 杆单元的刚度矩阵和质量矩阵杆单元的刚度矩阵和质量矩阵若采用集中质量矩阵，则为若采用集中质量矩阵，则为若采用集中质量矩阵，则为若采用集中质量矩阵，则为第46页/共150页考虑在平面中变形的杆单元，如图所示考虑在平面中变形的杆单元，如图所示考虑在平面中变形的杆单元，如图所示考虑在平面中变形的杆单元，如图所示p 平面杆单元的坐标转换平面杆单元的坐标转换总体坐标系内的杆单元总体坐标系内的杆单元总体坐标系内的杆单元总体坐标系内的杆单元第47页/共150页则单元刚度矩阵、质量矩阵和载荷向量转换到总体则单元刚度矩阵、质量矩阵和载荷向量转换到总体则单元刚度矩阵、质量矩阵和载荷向量转换到总体则单元刚度矩阵、质量矩阵和载荷向量转换到总体坐标系中为坐标系中为坐标系中为坐标系中为p 平面杆单元的坐标转换平面杆单元的坐标转换对空间杆系，转换原理与平面杆系原理相同，转换对空间杆系，转换原理与平面杆系原理相同，转换对空间杆系，转换原理与平面杆系原理相同，转换对空间杆系，转换原理与平面杆系原理相同，转换矩阵可表示为矩阵可表示为矩阵可表示为矩阵可表示为第48页/共150页考虑如图所示杆系结构考虑如图所示杆系结构考虑如图所示杆系结构考虑如图所示杆系结构p 平面杆单元例子平面杆单元例子平面杆系结构平面杆系结构平面杆系结构平面杆系结构第49页/共150页总体坐标系下的单元刚度矩阵和单元质量矩阵为总体坐标系下的单元刚度矩阵和单元质量矩阵为总体坐标系下的单元刚度矩阵和单元质量矩阵为总体坐标系下的单元刚度矩阵和单元质量矩阵为p 平面杆单元例子平面杆单元例子第50页/共150页p 平面杆单元例子平面杆单元例子第51页/共150页p 有限元离散的一般流程有限元离散的一般流程n n几何体的离散逼近；几何体的离散逼近；n n自由度选择与形函数的确定；自由度选择与形函数的确定；n n单元应变场的表示；单元应变场的表示；n n单元应力场的表示；单元应力场的表示；n n哈密顿原理或达朗伯哈密顿原理或达朗伯-拉格朗日原理；拉格朗日原理；n n系统泛函变分；系统泛函变分；n n单元内部积分；单元内部积分；n n单元坐标系到总体坐标系的转换；单元坐标系到总体坐标系的转换；n n总体刚度矩阵和质量矩阵的组装；总体刚度矩阵和质量矩阵的组装；n n约束条件的处理或引入。约束条件的处理或引入。第52页/共150页p 形函数的确定形函数的确定n n形函数的阶数与单元形式和自由度数有关形函数的阶数与单元形式和自由度数有关形函数的阶数与单元形式和自由度数有关形函数的阶数与单元形式和自由度数有关以平面三结点三角形单元为例以平面三结点三角形单元为例以平面三结点三角形单元为例以平面三结点三角形单元为例2 2、结点位移表示待定系数、结点位移表示待定系数、结点位移表示待定系数、结点位移表示待定系数1 1、假设域内位移的插值函数、假设域内位移的插值函数、假设域内位移的插值函数、假设域内位移的插值函数第53页/共150页p 形函数的确定形函数的确定3 3、解出系数，并合并关于结点位移的项次，得形函数、解出系数，并合并关于结点位移的项次，得形函数、解出系数，并合并关于结点位移的项次，得形函数、解出系数，并合并关于结点位移的项次，得形函数其中其中其中其中注意下标轮换注意下标轮换第54页/共150页p 形函数的确定形函数的确定4 4、确定由结点位移表示的域内位移场，并表示为矩阵、确定由结点位移表示的域内位移场，并表示为矩阵、确定由结点位移表示的域内位移场，并表示为矩阵、确定由结点位移表示的域内位移场，并表示为矩阵形式形式形式形式第55页/共150页p 形函数的确定形函数的确定形函数的几个性质形函数的几个性质形函数的几个性质形函数的几个性质n n结点上的插值函数满足结点上的插值函数满足n n单元中任意点处形函数和应有单元中任意点处形函数和应有n n选取多项式时，常数项和一次项要完备选取多项式时，常数项和一次项要完备n n为表达统一起见，可采用参数变换为表达统一起见，可采用参数变换第56页/共150页p 单元内部积分单元内部积分单元刚度矩阵和单元质量矩阵的一般形式单元刚度矩阵和单元质量矩阵的一般形式单元刚度矩阵和单元质量矩阵的一般形式单元刚度矩阵和单元质量矩阵的一般形式单元等效结点载荷的一般形式单元等效结点载荷的一般形式单元等效结点载荷的一般形式单元等效结点载荷的一般形式第57页/共150页p 单元内部积分单元内部积分定积分的数值积分（定积分的数值积分（定积分的数值积分（定积分的数值积分（GuassGuass积分）积分）积分）积分）核心思想核心思想核心思想核心思想 通过若干个点的函数值的加权组合计算通过若干个点的函数值的加权组合计算通过若干个点的函数值的加权组合计算通过若干个点的函数值的加权组合计算n n单点积分单点积分n n两点积分两点积分第58页/共150页p 单元内部积分单元内部积分GuassGuass积分点位置及权系数积分点位置及权系数积分点位置及权系数积分点位置及权系数第59页/共150页p 单元内部积分单元内部积分二维和三维问题二维和三维问题二维和三维问题二维和三维问题第60页/共150页p 约束条件的处理约束条件的处理n n直接代入法直接代入法特点特点n n方程阶数降低方程阶数降低第61页/共150页p 约束条件的处理约束条件的处理n n对角元素置对角元素置1 1法法特点特点n n适用于零位移情况适用于零位移情况第62页/共150页p 约束条件的处理约束条件的处理n n对角元素置大数法对角元素置大数法特点特点n n相当于罚函数法相当于罚函数法第63页/共150页p 等参变换等参变换等参变换的基本思想就是局部系向总体系的映射等参变换的基本思想就是局部系向总体系的映射等参变换的基本思想就是局部系向总体系的映射等参变换的基本思想就是局部系向总体系的映射n n局部坐标系向物理坐标系的映射局部坐标系向物理坐标系的映射类似于构造形函数，可构造物理坐标和局部坐标之类似于构造形函数，可构造物理坐标和局部坐标之间的关系。仍然以三角形平面单元为例间的关系。仍然以三角形平面单元为例第64页/共150页等参变换等参变换等参变换等参变换需要注意的地方需要注意的地方p 等参变换等参变换第65页/共150页等参变换等参变换等参变换等参变换对面积分来说对面积分来说三维问题？p 等参变换等参变换第66页/共150页等参变换后的单元刚度矩阵、单元质量矩阵格式等参变换后的单元刚度矩阵、单元质量矩阵格式等参变换后的单元刚度矩阵、单元质量矩阵格式等参变换后的单元刚度矩阵、单元质量矩阵格式p 等参变换等参变换单元等效结点载荷的一般形式单元等效结点载荷的一般形式单元等效结点载荷的一般形式单元等效结点载荷的一般形式第67页/共150页第三章第三章 大型系统特征值问题大型系统特征值问题p 系统运动方程系统运动方程对特征值问题，可建立系统运动方程如下对特征值问题，可建立系统运动方程如下对特征值问题，可建立系统运动方程如下对特征值问题，可建立系统运动方程如下自由振动解自由振动解自由振动解自由振动解将式（将式（将式（将式（2 2）代入式（）代入式（）代入式（）代入式（1 1），得），得），得），得第68页/共150页p 系统运动方程系统运动方程由式（由式（由式（由式（3 3）得特征方程）得特征方程）得特征方程）得特征方程解得解得解得解得n n个特征根及相应的特征向量个特征根及相应的特征向量个特征根及相应的特征向量个特征根及相应的特征向量n n次代数方程次代数方程次代数方程次代数方程另一种形式另一种形式另一种形式另一种形式第69页/共150页p 特征向量正交性特征向量正交性取取取取结合式（结合式（结合式（结合式（6 6），得），得），得），得第70页/共150页p 特征向量正交性特征向量正交性进一步得正交性关系进一步得正交性关系进一步得正交性关系进一步得正交性关系l 一个重要的关系一个重要的关系一个重要的关系一个重要的关系第71页/共150页n n刚度矩阵为半正定矩阵刚度矩阵为半正定矩阵n n质量矩阵为半正定矩阵质量矩阵为半正定矩阵p 半正定矩阵的特征值问题半正定矩阵的特征值问题特征向量特征向量特征向量特征向量 特征值特征值特征值特征值2自由度系统的例子第72页/共150页p Rayleigh商商对给定的振型向量，可定义对给定的振型向量，可定义对给定的振型向量，可定义对给定的振型向量，可定义RayleighRayleigh商商商商n nRayleighRayleigh商的上下界商的上下界商的上下界商的上下界考虑式（考虑式（考虑式（考虑式（1212），可将式（），可将式（），可将式（），可将式（1515）表示为）表示为）表示为）表示为第73页/共150页p Rayleigh商商将式（将式（将式（将式（1616）展开，得）展开，得）展开，得）展开，得n n物理意义物理意义 假设模态相当于增加了约束，使得假设模态相当于增加了约束，使得系统刚度提高系统刚度提高第74页/共150页p 误差估计误差估计设设设设 和和和和 是标准特征值问题的近似解，定义残差是标准特征值问题的近似解，定义残差是标准特征值问题的近似解，定义残差是标准特征值问题的近似解，定义残差考虑下式考虑下式考虑下式考虑下式得得得得第75页/共150页p 误差估计误差估计定义向量定义向量定义向量定义向量 和和和和 矩阵的矩阵的矩阵的矩阵的2 2范数范数范数范数对式（对式（对式（对式（2121）两边取）两边取）两边取）两边取2 2范数，整理得范数，整理得范数，整理得范数，整理得第76页/共150页p 误差估计误差估计由于由于由于由于将式（将式（将式（将式（2424）代入式（）代入式（）代入式（）代入式（2323）得）得）得）得式（式（式（式（2323）说明，只要残差的）说明，只要残差的）说明，只要残差的）说明，只要残差的2 2范数很小，给定的范数很小，给定的范数很小，给定的范数很小，给定的 就接就接就接就接近系统的某一阶特征值近系统的某一阶特征值近系统的某一阶特征值近系统的某一阶特征值第77页/共150页p 逆迭代法逆迭代法基本假定基本假定n n刚度矩阵非奇异刚度矩阵非奇异迭代方程迭代方程考虑到任意向量都可由特征向量表示为考虑到任意向量都可由特征向量表示为第78页/共150页p 逆迭代法逆迭代法综合式（综合式（2626）和式（）和式（2727），得），得第79页/共150页p 逆迭代法逆迭代法从式（从式（3030）中容易看出，当）中容易看出，当 考虑考虑RayleighRayleigh商商第80页/共150页p 逆迭代法逆迭代法结合式（结合式（2727）、（）、（2828）和（）和（2929）可将式（）可将式（3333）化为）化为 第81页/共150页p 逆迭代法逆迭代法逆迭代法的一般步骤逆迭代法的一般步骤n n给定初始迭代向量；给定初始迭代向量；n n若已计算出前若已计算出前i-1i-1阶模态，根据已得到的特征向量阶模态，根据已得到的特征向量进行正交化处理；进行正交化处理；第82页/共150页p 逆迭代法逆迭代法逆迭代法的一般步骤逆迭代法的一般步骤n n解方程；解方程；n n计算特征值计算特征值第83页/共150页p 逆迭代法逆迭代法几个要点几个要点n n正交化处理；正交化处理；n n归一化处理；归一化处理；n n当刚度矩阵奇异时的处理；当刚度矩阵奇异时的处理；n n系统包含近频时的处理系统包含近频时的处理移 轴 法第84页/共150页p 带移轴的逆迭代法带移轴的逆迭代法考虑特征值问题考虑特征值问题其特征值与原系统特征值之间满足如下关系其特征值与原系统特征值之间满足如下关系由式（由式（2626）给出的迭代关系可得）给出的迭代关系可得怎么定？第85页/共150页p Rayleigh商迭代法商迭代法RayleighRayleigh商迭代法商迭代法 以以RayleighRayleigh商作为移轴量商作为移轴量n n计算流程计算流程第86页/共150页p 变换法变换法变换法的基本思想是通过迭代的方法逐次构造变换变换法的基本思想是通过迭代的方法逐次构造变换矩阵矩阵 ，使矩阵，使矩阵 和和 趋近对角形，其趋近对角形，其一般迭代思路如下式所示一般迭代思路如下式所示当当 时，应有时，应有 第87页/共150页p 变换法变换法并且有并且有两类应用广泛的变换法两类应用广泛的变换法n n雅可比变换法雅可比变换法n nHouseholder-QRHouseholder-QR法法第88页/共150页p 雅可比变换法雅可比变换法适用范围适用范围 标准特征值问题，即标准特征值问题，即考虑标准特征值问题考虑标准特征值问题取正交矩阵取正交矩阵使得使得第89页/共150页p 雅可比变换法雅可比变换法雅可比法中选择的变换矩阵为旋转矩阵，在雅可比法中选择的变换矩阵为旋转矩阵，在一次变变换中使待变换矩阵中的换中使待变换矩阵中的一个一个非对角元变为零。非对角元变为零。例例第90页/共150页p 雅可比变换法雅可比变换法将将 变换为零，即变换为零，即 ，由此得，由此得第91页/共150页p 雅可比变换法雅可比变换法定义阀值定义阀值收敛条件收敛条件第92页/共150页p 雅可比变换法雅可比变换法收敛性检验收敛性检验考虑特征值问题考虑特征值问题 ，其中，其中由式（由式（4747）可计算得）可计算得第93页/共150页p 雅可比变换法雅可比变换法经第一次循环，对非对角元（经第一次循环，对非对角元（1 1，2 2）消零，得）消零，得由式（由式（5252）可计算得）可计算得第94页/共150页p 雅可比变换法雅可比变换法类似的，分别对非对角元（类似的，分别对非对角元（1 1，3 3）和（）和（2 2，3 3）消零，）消零，得得第95页/共150页p 雅可比变换法雅可比变换法雅可比变换法的一般步骤雅可比变换法的一般步骤n n给定当前循环的阀值，一般取第给定当前循环的阀值，一般取第mm次迭代的阀值次迭代的阀值为为1010-2m-2m；n n对上三角块的非对角元按式（对上三角块的非对角元按式（4848）计算，若计算）计算，若计算结果大于给定的阀值，则按式（结果大于给定的阀值，则按式（4747）进行旋转变）进行旋转变换；换；n n检查式（检查式（4949）式是否满足，若满足则由迭代最终）式是否满足，若满足则由迭代最终步骤计算出的矩阵给出特征值，计算特征向量，步骤计算出的矩阵给出特征值，计算特征向量，否则转向第否则转向第1 1步，开始新一轮循环。步，开始新一轮循环。第96页/共150页p 广义雅可比变换法广义雅可比变换法对雅可比变换矩阵进行修改，得转换矩阵对雅可比变换矩阵进行修改，得转换矩阵第97页/共150页p 广义雅可比变换法广义雅可比变换法系数的选取应使刚度矩阵和质量矩阵在变换后其第系数的选取应使刚度矩阵和质量矩阵在变换后其第i i行行j j列的元素同时为零，即列的元素同时为零，即若若 ，可取，可取 ，否则，否则第98页/共150页p 广义雅可比变换法广义雅可比变换法其中其中第99页/共150页p 广义雅可比变换法广义雅可比变换法例例1 1，用雅可比法求解图示系统的固有频率，用雅可比法求解图示系统的固有频率第100页/共150页p 广义雅可比变换法广义雅可比变换法第101页/共150页p 广义雅可比变换法广义雅可比变换法精确解精确解第102页/共150页p Householder-QR变换法变换法Householder-QRHouseholder-QR变换法可大致分为三个步骤变换法可大致分为三个步骤n nHouseholderHouseholder变换；变换；n n特征值的特征值的QRQR迭代计算；迭代计算；n n特征向量计算。特征向量计算。第103页/共150页p Householder-QR变换法变换法HouseholderHouseholder变换的目的在于将矩阵变换为三对角阵，变换的目的在于将矩阵变换为三对角阵，加速加速QRQR迭代收敛速度。迭代收敛速度。n n QRQR迭代迭代考虑到实对称矩阵可由正交矩阵和上三角矩阵分解考虑到实对称矩阵可由正交矩阵和上三角矩阵分解为为第104页/共150页p Householder-QR变换法变换法由此定义迭代格式由此定义迭代格式当当 时，时，第105页/共150页p Rayleigh-Ritz法法若假设振型与系统的第若假设振型与系统的第 i i 阶主振型相差一阶小量，则阶主振型相差一阶小量，则RayleighRayleigh商与系统的第商与系统的第 i i 阶特征值相差二阶小量。阶特征值相差二阶小量。假设近似振型为假设近似振型为其中其中里兹基向量里兹坐标第106页/共150页p Rayleigh-Ritz法法定义定义RayleighRayleigh商商取上式的驻值，得取上式的驻值，得第107页/共150页p Rayleigh-Ritz法法由式（由式（6565）可以计算出新系统的特征值和特征向量）可以计算出新系统的特征值和特征向量满足满足则原系统的特征值和特征向量为则原系统的特征值和特征向量为第108页/共150页n n给出的近似特征值前一半精度较高，因此，若需给出的近似特征值前一半精度较高，因此，若需要求解前要求解前 r r 阶模态，要先定义出阶模态，要先定义出 2r 2r 阶假设振型；阶假设振型；n n经变换后，系统规模大大降低；经变换后，系统规模大大降低；n nRayleigh-RitzRayleigh-Ritz法计算结果依赖于里兹基的选择；法计算结果依赖于里兹基的选择；n n里兹基可通过静力问题求得。里兹基可通过静力问题求得。p Rayleigh-Ritz法法Rayleigh-RitzRayleigh-Ritz法的特点法的特点第109页/共150页p Rayleigh-Ritz法法例例2 2，用，用Rayleigh-RitzRayleigh-Ritz法计算下述广义特征值问题的近法计算下述广义特征值问题的近似解。似解。假设载荷为假设载荷为第110页/共150页p Rayleigh-Ritz法法由新系统特征值问题解得由新系统特征值问题解得精确解精确解第111页/共150页p Rayleigh-Ritz法法如果假设载荷为如果假设载荷为由新系统特征值问题解得由新系统特征值问题解得第112页/共150页p Rayleigh-Ritz法法进一步得进一步得第113页/共150页p 子空间迭代法子空间迭代法子空间迭代法假设子空间迭代法假设 r r 个初始向量同时进行迭代，计个初始向量同时进行迭代，计算前算前 p p 个特征值和特征向量。子空间迭代法可以看个特征值和特征向量。子空间迭代法可以看为是逆迭代法的推广，算法步骤类似，其具体迭代为是逆迭代法的推广，算法步骤类似，其具体迭代步骤可表示为步骤可表示为1 1、初始计算、初始计算（1 1）形成刚度矩阵形成刚度矩阵 和质量矩阵和质量矩阵 ；（2 2）按所给定的边界条件修正刚度矩阵按所给定的边界条件修正刚度矩阵 ；（3 3）三角分解三角分解 ，得，得第114页/共150页p 子空间迭代法子空间迭代法2 2、给定初始迭代向量矩阵、给定初始迭代向量矩阵3 3、对每次迭代、对每次迭代 ，按下面步骤执行，按下面步骤执行（1 1）赋值：赋值：（2 2）求解方程组：求解方程组：（3 3）赋值：赋值：（4 4）赋值：赋值：（5 5）赋值：赋值：（6 6）解广义特征值问题：解广义特征值问题：第115页/共150页p 子空间迭代法子空间迭代法（7 7）检验特征值是否满足精度要求：检验特征值是否满足精度要求：若满足精度要求，则转到第若满足精度要求，则转到第 4 4 步，若不满足，则步，若不满足，则（8 8）赋值：赋值：（9 9）令：令：，并返回步骤（，并返回步骤（2 2）；）；4 4、赋值：、赋值：5 5、输出结果：、输出结果：第116页/共150页第四章第四章 系统动力学响应系统动力学响应p 系统运动方程系统运动方程对一般的振动响应，考虑初值问题可建立系统运动方程对一般的振动响应，考虑初值问题可建立系统运动方程对一般的振动响应，考虑初值问题可建立系统运动方程对一般的振动响应，考虑初值问题可建立系统运动方程如下如下如下如下求解方式求解方式求解方式求解方式n n振型叠加法振型叠加法n n直接积分法直接积分法第117页/共150页p 振型叠加法振型叠加法引入坐标变换引入坐标变换引入坐标变换引入坐标变换其中其中其中其中广义位移由式（由式（由式（由式（2 2）和式（）和式（）和式（）和式（1 1）得）得）得）得第118页/共150页p 振型叠加法振型叠加法若阻尼矩阵可解耦，则方程可变换为若阻尼矩阵可解耦，则方程可变换为若阻尼矩阵可解耦，则方程可变换为若阻尼矩阵可解耦，则方程可变换为利用利用利用利用DuhamelDuhamel积分，得积分，得积分，得积分，得第119页/共150页p 直接积分法直接积分法直接积分法不对运动方程进行任何变换，直接对方程进直接积分法不对运动方程进行任何变换，直接对方程进直接积分法不对运动方程进行任何变换，直接对方程进直接积分法不对运动方程进行任何变换，直接对方程进行积分求解。其原理基于两个基本概念行积分求解。其原理基于两个基本概念行积分求解。其原理基于两个基本概念行积分求解。其原理基于两个基本概念n n将求解域上任意时刻均需满足运动方程的要求更将求解域上任意时刻均需满足运动方程的要求更改为在一定条件下近似的满足运动方程，如，在改为在一定条件下近似的满足运动方程，如，在若干离散的时间点上满足方程；若干离散的时间点上满足方程；n n在一定数目的时间间隔区域内，假设位移、速度在一定数目的时间间隔区域内，假设位移、速度和加速度的近似插值函数。和加速度的近似插值函数。误差来源误差来源误差来源误差来源n n截断误差截断误差 近似表达式中略去高阶小量；近似表达式中略去高阶小量；n n舍入误差舍入误差 超过计算机字长的四舍五入。超过计算机字长的四舍五入。第120页/共150页p 直接积