椭圆方程及几何性质.pptx
(2)平面内点M与定点F的距离和它到定直线l的距离d的比是常数e(0e|F1F2|)M|e(0eb0)(ab0)第3页/共67页顶点顶点轴轴对称轴：对称轴：，长轴长：，长轴长：，短轴长：短轴长：焦点焦点准线准线方程方程A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)x轴、轴、y轴轴|A1A2|2a|B1B2|2bF1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)第4页/共67页焦半径焦半径焦距焦距离心率离心率通径通径|MF1|aex0，|MF2|aex0|MF1|aey0，|MF2|aey0|F1F2|2c(c0)，c2a2b2e (0en0”是“方程mx2ny21表示焦点在y轴上的椭圆”的_条件答案：充要第6页/共67页2.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为 ，且过P(5,4)，则椭圆的方程为_第7页/共67页3(08年浙江)已知F1、F2为椭圆 1(5b0)的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B点，若|F2A|F2B|12，则|AB|_.解：由椭圆定义知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，所以|AF1|BF1|AF2|BF2|4a，即|AB|AF2|BF2|4a，|AB|4a(|F2A|F2B|)45128.第8页/共67页4（2010全国卷）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF=2FD，则C的离心率为 .第9页/共67页5（2010湖北）:已知椭圆的两焦点分别为 ,点 满足 ,则|+|的取值范围为_，直线 与椭圆C的公共点个数_。第10页/共67页利用椭圆的定义可以将椭圆上的点到两个焦点的距离进行转化，一般地，解决与到焦点的距离有关的问题时，首先应考虑用定义来解题椭圆的定义及应用椭圆的定义及应用考点一考点一第11页/共67页例例1(09北京)椭圆 1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上若|PF1|4，则|PF2|_；F1PF2的大小为_第12页/共67页【答案】2120第13页/共67页【点评】椭圆的定义具有鲜明的特点，即须是椭圆上的点与焦点的连线出现时，才会出现椭圆的定义，因此，能不能应用定义，也就应注意条件中是否出现椭圆上的点与焦点的连线这种条件第14页/共67页椭圆中的最值问题椭圆中的最值问题考点二考点二例2：求椭圆 上的动点P到其中一个焦点F的距离的最大值和最小值。xyPF第15页/共67页练习练习1：已知已知A(-1,1),B(1,0)点点P在椭圆在椭圆 上运动，求上运动，求PA+2PB的最小值。的最小值。练习练习2 2：求求PA-PB的范围。的范围。练习练习3 3：求求PA+PB的最大值。的最大值。第16页/共67页练习练习4：求椭圆求椭圆 上上的动点的动点P到直线到直线 的距离的最小值。的距离的最小值。第17页/共67页例3：设P是椭圆 在第一象限的点，A(2,0)、B(0,1)，O为原点，求四边形OAPB的面积的最大值。xyAOPB第18页/共67页练习练习（2008 全国卷全国卷 ）设椭圆）设椭圆中心在坐标原点，点中心在坐标原点，点 是是它的两个顶点，直线它的两个顶点，直线 与与 相交于点相交于点 ，与椭圆相交于，与椭圆相交于 两点。两点。（）若 ，求 的值；（）求四边形 面积的最大值。第19页/共67页小结：椭圆中最值问题的求解策略：小结：椭圆中最值问题的求解策略：总方针：建立目标函数（或目标不等式）总方针：建立目标函数（或目标不等式）具体方法具体方法：（1）转化成二次函数的最值问题。）转化成二次函数的最值问题。（2）利用三角换元，转化成三角函数的最）利用三角换元，转化成三角函数的最值问题。值问题。（3）结合圆锥曲线的定义，利用图形的几）结合圆锥曲线的定义，利用图形的几何特征求最值。何特征求最值。（4）利用基本不等式放缩求最值。）利用基本不等式放缩求最值。第20页/共67页 椭圆标准方程的求法 (1)定义法；(2)待定系数法若已知焦点的位置可惟一确定标准方程；若焦点位置不确定，可采用分类讨论法来确定方程的形式，也可以直接设椭圆的方程为Ax2By21，其中A，B为不相等的正常数或由已知条件设椭圆系(如 ，0)来求解，以避免讨论和繁琐的计算椭圆的标准方程椭圆的标准方程考点三考点三第21页/共67页例例4第22页/共67页第23页/共67页(2)由题意，可知直线l的斜率存在，设直线斜率为k，则直线l的方程为yk(x1)，则有M(0，k)设Q(x1，y1)，由于Q、F、M三点共线，且根据题意得(x1，y1k)2(x11，y1)，第24页/共67页据题意得(x1，y1k)2(x11，y1)，解得k0，k4，所以直线l的斜率为0或4.第25页/共67页【点评】求椭圆的方程，关键在于寻找到能求a2，b2的关系式或条件，观察图形，由条件转化是常用到的解题办法第26页/共67页练习1(09年广东)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为 ，两个焦点分别为F1和F2，椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12.圆Ck：x2y22kx4y210(kR)的圆心为点Ak.(1)求椭圆G的方程；(2)求AkF1F2的面积；(3)问是否存在圆Ck包围椭圆G？请说明理由第27页/共67页第28页/共67页第29页/共67页(3)椭圆G与圆心Ak所在直线y2均关于y轴对称不妨考虑k0的情形，此时，圆心Ak(k,2)到椭圆G的右顶点N(6,0)的距离为点N(6,0)总在圆外；若k0，可知点(6,0)在圆Ck外所以任何圆Ck都不能包围椭圆第30页/共67页练习2、（2010安徽理数）已知椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，离心率0.5。()求椭圆E的方程；()求角F1AF2的角平分线所在直线的方程；()在椭圆E上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由。第31页/共67页1直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式来判断直线和椭圆相交、相切或相离2消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和与两根之积的形式，这是进一步解题的基础直线与椭圆的关系直线与椭圆的关系考点四考点四第32页/共67页本类问题中主要是直线与椭圆相交的问题，可以分为两类：直线过椭圆焦点（可以联想定义或焦半径等；直线不过椭圆焦点处理的办法也分为两种：设而不求(点差法，涉及中点）；直线与椭圆联立方程组，运用韦达定理处理第33页/共67页例例5 设F1、F2为椭圆C：1(ab0)的左、右两个焦点，若椭圆C上点A(1，)到F1、F2两点的距离之和等于4.(1)求出椭圆C的方程和焦点坐标；(2)过点P(0，)的直线与椭圆交于两点M、N，若以M、N为直径的圆通过原点，求直线MN的方程第34页/共67页【解】(1)椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a4，即a2.第35页/共67页第36页/共67页第37页/共67页总结：直线与椭圆相交往往是联立方程组，利用韦达定理等知识，但某些条件的转化应用往往是解题的突破口和关键，如本题中向量数量积的应用，这就要求解题过程中对条件的分析要准确，与其它知识点的转化要熟练第38页/共67页练习1已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且F1PF260.(1)求椭圆的离心率的范围；(2)求证：F1PF2的面积与椭圆的长轴无关第39页/共67页第40页/共67页第41页/共67页练习2第42页/共67页(1)求椭圆的方程；(2)若直线AB过椭圆的焦点F(0，c)(c为半焦距)，求直线AB的斜率k的值；(3)试问：AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由第43页/共67页第44页/共67页第45页/共67页第46页/共67页第47页/共67页第48页/共67页第49页/共67页试卷18题第50页/共67页主要问题有两类，第一类根据椭圆方程研究椭圆的几何性质，第二类根据椭圆的几何性质，综合其他知识求椭圆方程或者研究其他问题，这一类利用性质是关键椭圆的几何性质椭圆的几何性质考点五考点五第51页/共67页例例6(1)求椭圆C的方程(2)椭圆C上任一动点M(x0，y0)关于直线y2x的对称点为M1(x1，y1)，求3x14y1的取值范围第52页/共67页第53页/共67页第54页/共67页第55页/共67页3x14y15x0.点P(x0，y0)在椭圆C：1上，2x02，105x010.即3x14y1的取值范围为10,10第56页/共67页总结：椭圆的几何性质如离心率题，范围问题都是常考的内容，本题中是利用椭圆上点的横纵坐标的范围来转化的，这是解决有关范围问题常用的一个方法，但并不是惟一的方法，题目设置的条件不同，采用的方法也会随之不同，因此，需要在平时总结不同的题型，以便归纳规律和方法第57页/共67页练习：(2010年苏、锡、常、镇调研)已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为 ，点A、B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点，点O到直线AB的距离为 .(1)求椭圆求椭圆C的标准方程；的标准方程；(2)已知点已知点E(3,0)，设点，设点P、Q是椭圆是椭圆C的两个的两个动点，满足动点，满足EP EQ，求，求 的取值范的取值范围围第58页/共67页第59页/共67页第60页/共67页第61页/共67页规律方法总结1椭圆的定义有两种形式，习惯上称为第一定义和第二定义在第一定义中，描述椭圆为“到两定点的距离之和等于定长的点的集合(轨迹)”，其中限制条件为“两定点间距离小于定长”，这个定义中的条件是常考内容；在第二定义中，描述椭圆为“到定点和定直线的距离之比等于常数e(0eb0，e 等)及每个量的本质含义，并能熟练地应用于解题若已知焦点在x轴或y轴上，则标准方程惟一；若无法确定焦点位置，则需考虑两种形式第64页/共67页3求椭圆方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法(先定性、再定型、后定参)当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为 1(m0，n0)，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为Ax2By21(A0，B0)，这种形式在解题中简便第65页/共67页 4熟练掌握常用基本方法的同时，注意体会解题过程，并优化解题思维，特别是化简的过程需仔细揣摩第66页/共67页感谢您的观看！第67页/共67页
