数学从力做的功到向量的数量积北师大必修.pptx

【探究新知】思考：请同学们回忆物理学中做功的含义?力做的功：W=|F|s|cos 是F与s的夹角问对一般的向量a和b，如何定义这种运算？sF第1页/共14页向量夹角的概念：=0=180OOOOOOAAAAAABBBBBBC范围0180第2页/共14页当=0时，两向量同向；当=180时，两向量反向；当=90时，两向量垂直，记作ab 由于零向量的方向是不确定的，为今后方便起见，我们规定零向量可与任一向量垂直.第3页/共14页思考与交流1.射影的概念是如何定义的？AOOBOB1OabAOOBOB1OabAOOBO(B1)Oab定义：|b|cos叫作向量b在a方向上的射影（也叫投影）.注意：射影也是一个数量，不是向量。当为锐角时射影为正值；当为钝角时射影为负值；当为直角时射影为0；当=0时射影为|b|；当=180时射影为|b|.第4页/共14页已知两个向量a和b，它们的夹角为，我们把|a|b|cos叫作a与b的数量积（或内积）.记作ab 即ab=|a|b|cos.第5页/共14页思考与交流 2如何定义向量数量积的几何意义？由向量数量积的几何意义你能得到两个向量的数量积哪些的性质?几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上射影|b|cos的乘积，或b的长度与a在b方向上 射影|a|cos的乘积。性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位 向量。第6页/共14页两个向量相等时，两向量的数量积有怎么算呢？向量长度的平方第7页/共14页 ea=ae=|a|cos（e 是单位向量）ab ab=0 当a与b同向时，ab=|a|b|；当a与b反向时，ab=|a|b|，特别的aa=|a|2。cos=ab|a|b|（|a|b|0）|ab|a|b|第8页/共14页巩固深化，发展思维判断下列各题正确与否：若a=0，则对任一向量b，有ab=0.（）若a 0，则对任一非零向量b，有ab 0.()若a 0，ab=0，则b=0.()若ab=0，则a、b至少有一个为零.()若a 0，ab=ac，则b=c.()若ab=ac，则b=c当且仅当a 0时成立.()对任意向量a、b、c，有(ab)c a(bc).()对任意向量a，有a2=|a|2.()第9页/共14页思考与交流思考：根据向量数量积的定义、物理意义及几何意义，你能否验证下列向量的数量积是否满足下列运算定律1.交换律：ab=ba2.数乘结合律：(a)b=(ab)=a(b)第10页/共14页3.分配律：(a+b)c=ac +bc一定要熟练掌握并能灵活运用这几个公式哦第11页/共14页例题讲评例1.已知a，b都是非零向量，且a+3b与7a 5b 垂直，a 4b与7a 2b垂直，求a，b的夹角。解：由(a+3b)(7a 5b)=0 7a2+16ab 15b2=0 (a 4b)(7a 2b)=0 7a2 30ab+8b2=0 两式相减：2ab=b2 代入或得：a2=b2 设a、b的夹角为，则cos=ab|a|b|=60第12页/共14页例2.用向量方法证明：菱形对角线互相垂直。证明：如图，设菱形的两边分别为a，bCABDabABCD为菱形|a|=|b|a b=(b+a)(b a)=b2 a2 =|b|2|a|2=0 a b即菱形对角线互相垂直。第13页/共14页感谢您的观看！第14页/共14页